現(xiàn)代應用數(shù)學手冊（離散數(shù)學卷）

符號表
集合論
1基本概念
1.1引言
1.2集合的古典定義
1.3集合及其表示法
1.3.1顯式法(枚舉法)
1.3.2隱式法
1.3.3特征函數(shù)法
1.4子集與集合的包含關系

2集合代數(shù)
2.1集合上的運算
2.1.1集合上的基本運算
2.1.2基本運算的重要性質(zhì)
2.1.3集合的對稱差
2.1.4冪集與冪運算
2.2集合的Venn圖

3關系
3.1關系及其表示法
3.1.1集合的Descartes積
3.1.2n元關系
3.2二元關系與映射
3.2.1二元關系
3.2.2關系運算
3.3特殊的二元關系
3.3.1概念
3.3.2關系的限制與擴充
3.3.3關系的閉包與閉包運算
3.4等價關系與劃分
3.5序關系與偏序集
3.5.1引言
3.5.2偏序集的性質(zhì)

4映射(函數(shù))
4.1映射(函數(shù))的概念
4.2復合映射與逆映射
4.3函數(shù)概念的拓展

5集合的基數(shù)
5.1有限集與無限集
5.2可列集與不可列集
5.3集合的基數(shù)
5.3.1基數(shù)的比較
5.3.2Cantor猜想--連續(xù)統(tǒng)假設(CH)

6集合論悖論與公理集合論
6.1悖論
6.1.1Burali-Forti悖論(最大序數(shù)悖論)
6.1.2Cantor悖論(最大基數(shù)悖論)
6.1.3Russell悖論
6.1.4Richard悖論
6.1.5Berry悖論
6.1.6Grelling悖論
6.1.7理發(fā)師悖論
6.1.8Minimanoff悖論
6.2公理集合論
6.2.1ZFC系統(tǒng)
6.2.2注記
6.2.3GBN系統(tǒng)

組合學與圖論
7若干著名的組合學和圖論問題
7.1幻方與中國古代的傳說
7.236軍官問題和拉丁方
7.3從Konigsberg7橋問題與中國郵遞員問題
7.4鴿子籠原理與Ramsey數(shù)
7.5地圖著色與四色猜想(定理)
7.6繞行世界與旅行商問題
7.7電路與網(wǎng)絡
7.8從分子結構到圖的計數(shù)
7.9Kirkman女生問題與三元系
7.10試驗設計與組合設計

8組合公式和組合數(shù)
8.1二項式系數(shù)的基本恒等式
8.2二項式定理及有關和式
8.3二階組合恒等式
8.4三階組合恒等式
8.5廣義二項式定理
8.6多項式系數(shù)
8.7Gauss二項式系數(shù)
8.8排列數(shù)
8.9組合數(shù)
8.10映射數(shù)與序列數(shù)
8.1l第一類Stirling數(shù)
8.12第二類Stirling數(shù)
8.13Bell數(shù)
8.14Fibonacci數(shù)
8.15Lucas數(shù)
8.16Catalan數(shù)
8.17Ramsey數(shù)
8.18Lah數(shù)
8.19Bernoulli數(shù)和Euler數(shù)

9組合計數(shù)方法與問題
9.1初等計數(shù)原理
9.2包含與排斥原理
9.3有限集的子集的計數(shù)問題
9.4置換的計數(shù)問題
9.5集合的劃分數(shù)
9.6整數(shù)的分拆數(shù)
9.7Burnside引理
9.8置換群的輪換指標
9.9Polya定理
9.10Palya定理的應用
9.10.1著色問題
9.10.2布置問題
9.10.3開關線路與布爾函數(shù)的計數(shù)問題
9.10.4圖的計數(shù)問題
9.11圖的計數(shù)

10圖的基本概念與參數(shù)
10.1圖的定義與簡單分類
10.2鄰接與關聯(lián)
10.3度.度序列與邊數(shù)
10.4子圖
10.5路與圈
10.6距離與中心
10.7圖的運算
10.8圖的同構.同態(tài)與同胚
10.9圖的獨立集.團和覆蓋
10.10一些特殊圖類

11圖論中若干問題
11.1圖的連通性
11.1.1基本概念
11.1.2連通圖的性質(zhì)
11.2圖的平面性
11.2.1平面圖及有關參數(shù)
11.2.2平面圖的條件及性質(zhì)
11.3圖的拓撲不變量
11.3.1定向曲面與非定向曲面
11.3.2圖的曲面嵌入與虧格
11.4圖的Hamilton問題
11.4.1Hamilton圖的必要條件
11.4.2Hamilton圖的充分條件
11.4.3Hamilton圖的幾個等價條件
11.4.4圖的泛圈性
11.5圖的匹配與因子分解問題
11.5.1基本概念
11.5.2圖中存在完全匹配的條件
11.5.3匹配與覆蓋的關系
11.6圖的著色問題
11.6.1點著色與邊著色
11.6.2色數(shù)X(G)的性質(zhì)
11.6.3邊色數(shù)X'(G)的性質(zhì)
11.6.4平面圖的著色
11.6.5圖的運算的色多項式
11.7圖的代數(shù)理論

12離散變換與反演公式
12.1離散變換的一般形式
12.2二項式變換
12.2.1二項式變換的一般形式
12.2.2常用的二項式變換
12.2.3應用
12.3Stirling變換
12.4Mobius變換
12.4.1Mobius反演公式的一般形式
12.4.2整數(shù)因子格上的Mobius反演公式
12.4.3應用
12.4.4有限集的冪集格上的Mobius反演公式
12.4.5有限集的劃分格上的Mobius反演公式
12.4.6應用
12.5離散Fourier變換
12.6Lagrange變換(反演公式)
12.7Lah變換(反演公式)

13組合設計
13.1區(qū)組設計與拉丁方
13.1.1基本概念
13.1.2拉丁方與拉丁矩形的計數(shù)問題
13.2正交設計與正交試驗設計
13.2.1正交拉丁方與正交表
13.2.2正交試驗設計與試驗用正交表
13.2.3正交試驗表的一般形式
13.2.4正交拉丁方組的構造方法
13.2.5應用
13.3平衡不完全區(qū)組設計
13.4三元系
13.4.1三元系與Steiner三元系
13.4.2Steiner三元系的性質(zhì)
13.4.3Steiner三元系的構造方法
13.4.4Steiner三元系大集問題
13.4.5應用

代數(shù)結構與泛代數(shù)
14半群與群
14.1引言
14.2半群的定義及例子
14.3半群的基本性質(zhì)
14.3.1半群中元素的表示法
14.3.2循環(huán)半群
14.3.3可逆元子半群
14.4半群的同態(tài)與同構
14.5半群在自動機理論及形式語言中的應用
14.5.1有限狀態(tài)機器
14.5.2由字母表生成的自由單元半群
14.5.3商單元半群及機器的單元半群
14.6群的定義及例子
14.7群的基本性質(zhì)
14.8子群
14.9特殊群
14.9.1變換群
14.9.2置換群
14.9.3循環(huán)群
14.10群的分解
14.10.1群的陪集分解
14.10.2正規(guī)子群與商群
14.11群的同態(tài)與同構
14.12群在編碼理論中的應用
14.12.1糾錯碼及其有關概念
14.12.2編碼與譯碼
14.12.3碼的檢錯及糾錯能力
14.12.4利用矩陣及群進行編碼及譯碼
14.12.5Hamming碼

15環(huán)與域
15.1定義.例子及簡單性質(zhì)
15.2特殊環(huán)
15.2.1n階全方陣環(huán)
15.2.2四元數(shù)除環(huán)
15.3子環(huán)與中心
15.4理想與商環(huán)
15.5環(huán)的同態(tài).同構與反同構
15.6環(huán)的特征
15.7利用最大理想造域
15.8環(huán)的嵌入
15.9分式域
15.10多項式環(huán)
15.11域的單擴張
15.12任意域的構造
15.13代數(shù)閉域與多項式的分裂域
15.14有限域(Galois域)
15.15可分擴域
15.16整環(huán)中的因子分解
15.16.1素元.因子與唯一分解
15.16.2唯一分解整環(huán)
15.16.3多項式環(huán)的因子分解
15.17環(huán)論在編碼理論中的應用
15.17.1多項式碼
15.17.2BCH碼
15.18拉丁方與有限幾何學

16模
16.1定義及例子
16.2子模與商模
16.3模同態(tài)及基本定理
16.4加群上的及模上的自同態(tài)環(huán)
16.5自由模
16.5.1定義和性質(zhì)
16.5.2自由模的同態(tài)與矩陣
16.6模的直和
16.?主理想整環(huán)上的有限生成模
16.7.1初步結果
16.7.2主理想整環(huán)上矩陣的等價
16.7.3主理想整環(huán)上有限生成模的構造定理
16.7.4扭模.準素分量與不變性定理
16.8應用

17域上的代數(shù)
17.1結合代數(shù)的定義及例子
17.2外代數(shù)
]7.3結合代數(shù)的正則矩陣表示
17.4非結合代數(shù).李代數(shù)及約當代數(shù)
17.4.1非結合代數(shù)
17.4.2李代數(shù)
17.4.3約當代數(shù)
17.5有限維結合可除代數(shù)

18格與Boole代數(shù)
18.1偏序集與格
18.2子格與格同態(tài)
18.3格的分類
18.4Boole代數(shù)的定義.例子及性質(zhì)
18.5Boole代數(shù)的構造
18.6Boole函數(shù)及其表達式
18.7Boole函數(shù)的極小化
18.8Boole函數(shù)在電路設計中的應用
18.8.1開關電路的分析與綜合
18.8.2邏輯門電路

19范疇與函子
19.1范疇的定義及例子
19.2某些基本的范疇概念
19.2.1子范疇和小范疇
19.2.2對偶范疇與積范疇
19.2.3同構態(tài)射與等價對象
19.2.4始對象與終對象
19.2.5單態(tài)射與滿態(tài)射
19.3對偶原則
19.4函子
19.5自然變換
19.6范疇的等價
19.7積與上積
19.8核與上核
19.9拉回與推出
19.10hom函子與可表示函子
19.11加法范疇與Abel范疇
19.12通用結構
19.13伴隨函子

20泛代數(shù)
20.1代數(shù)
20.2子代數(shù)與積
20.3同態(tài)與同余
20.4同余格與子直積
20.5正向極限與逆向極限
20.6超積
20.7自由代數(shù)
20.8簇

數(shù)理邏輯
21標準(古典)命題邏輯
21.1命題符號化
21.2命題聯(lián)結詞,真
21.3其他聯(lián)結詞
21.4聯(lián)結詞的功能完備集(完全集)
21.5命題形式與等價(等值)演算
21.5.1命題形式(合式公式)
21.5.2命題等值式(等價式)
21.5.3等值演算的幾個重要定理
21.5.4等值演算中常用的命題等值式與重言式
21.6范式與真值表技術
21.7命題邏輯的推理系統(tǒng)命題演算
21.7.1公理系統(tǒng)L
21.7.2自然推理系統(tǒng)G
21.7.3其他形式系統(tǒng)

22標準(古典)謂詞邏輯
22.1謂詞與量詞
22.2函數(shù),項與合式公式(謂詞公式)
22.3結構,可滿足性,真值,模型
22.4謂詞公式(命題函數(shù))與等值演算
22.5謂詞邏輯的推理系統(tǒng)
22.5.1一階理論K(K)
22.5.2一階理論的性質(zhì)
22.5.3完全性定理
22.5.4前束范式
22.5.5帶等詞的一階理論

23非標準(非古典)邏輯
23.1引言
23.2模態(tài)邏輯
23.2.1模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)
23.2.2模態(tài)命題邏輯的語義及普效性
23.2.3模態(tài)謂詞邏輯系統(tǒng)
23.3多值邏輯
23.3.13-值命題邏輯
23.3.2多值命題邏輯
23.3.3多值命題邏輯的重言式與特指真值(特指值)
23.3.4多值命題邏輯的公理系統(tǒng)

附錄
中文一外文名詞索引
外文-中文名詞索引
外國人名表
參考文獻