微分方程數(shù)值方法

第一部分 常微分方程的數(shù)值解法
第1章 常微分方程初值問題
　　1.1 基本概念Euler法與梯形法
　　　1.1.1 Euler法
　　　1.1.2 梯形法
　　1.2 Runge-Kutta方法及一般單步方法
　　　1.2.1 RK方法的構(gòu)造
　　　1.2.2 單步方法的相容性與收斂性
　　　1.2.3 單步方法整體截?cái)嗾`差漸近展開及其應(yīng)用
　　1.3 線性多步方法
　　　1.3.1 線性多步方法的構(gòu)造
　　　1.3.2 線性多步方法的應(yīng)用
　　1.4 線性差分方程的基本知識(shí)
　　　1.4.1 一般性質(zhì)
　　　1.4.2 常系數(shù)齊次差分方程的基本解組
　　　l.4.3 常系數(shù)差分方程解的漸近性質(zhì)
　　1.5 一般多步方法的收斂性
　　　1.5.1 多步方法的收斂性
　　　1.5.2 線性多步方法情形的進(jìn)一步結(jié)果
　　1.6 數(shù)值穩(wěn)定性
　　　1.6.1 線性多步方法的絕對(duì)穩(wěn)定性
　　　1.6.2 絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間的確定
　　　1.6.3 Runge-Kutta方法的絕對(duì)穩(wěn)定性
　　1.7 一階方程組與剛性問題
　　　1.7.1 一階方程組
　　　1.7.2 剛性問題
　　本章小結(jié)與補(bǔ)充討論　
　　習(xí)題
　　主要參考書目
第二部分 偏微分方程的差分方法
　第2章 橢圓型方程
　　2.1 兩點(diǎn)邊值問題的差分格式
　　　2.1.1 用差商代替導(dǎo)數(shù)的方法
　　　2.1.2 積分插值法
　　　2.1.3 邊界條件的處理
　　2.2 二階橢圓型方程邊值問題的差分格式
　　　2.2.1 區(qū)域的矩形網(wǎng)格剖分
　　　2.2.2 矩形區(qū)域上的差分格式
　　　2.2.3 矩形區(qū)域上邊界條件的處理
　　　2.2.4 非矩形區(qū)域上的差分格式與邊界條件的處理
　　2.3 用積分插值法構(gòu)造差分格式
　　　2.3.1 偏微分萬程的積分形式
　　　2.3.2 用積分插值法構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)的差分格式
　　　2.3.3 用積分插值法構(gòu)造邊界點(diǎn)的差分格式
　　2.4 極值原理與差分格式的收斂性
　　　2.4.1 線性橢圓型差分方程的一般形式
　　　2.4.2 極值原理及差分格式之解的先驗(yàn)估計(jì)
　　　2.4.3 五點(diǎn)格式的穩(wěn)定性與收斂性
　　2.5 能量估計(jì)與差分格式的收斂性
　　　2.5.1 記號(hào)，若干差分公式與不等式
　　　2.5.2 差分算子的特征值與特征函數(shù)
　　　2.5.3 兩點(diǎn)邊值問題差分格式之解的先驗(yàn)估計(jì)及收斂性
　　　2.5.4 二階自共軛橢圓型方程邊值問題之解的先驗(yàn)估計(jì)及收斂性
　　2.6 交替方向迭代法
　　　2.6.1 模型問題
　　　2.6.2 Peaceman-Rachford迭代格式
　　　2.6.3 PR迭代格式中迭代參數(shù)的選擇
　　　2.6.4 其它交替方向迭代格式
　　2.7 預(yù)處理共軛梯度法
　　　2.7.1 共軛梯度法主要步驟與性質(zhì)
　　　2.7.2 預(yù)處理共軛梯度法的步驟及預(yù)優(yōu)矩陣的構(gòu)造
　　2.8 多重網(wǎng)格法
　　　2.8.1 一維模型問題與古典迭代的光滑效應(yīng)
　　　2.8.2 二重網(wǎng)格法
　　　2.8.3 多重網(wǎng)格法　
　　本章小結(jié)與補(bǔ)充討論
　　習(xí)題
　第3章 拋物型方程
　　3.1 一維拋物型方程初邊值問題的差分格式
　　　3.1.1 常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的古典格式
　　　3.1.2 變系數(shù)方程的差分格式
　　3.2 差分格式的穩(wěn)定性與收斂性
　　　3.2.1 差分格式的穩(wěn)定性
　　　3.2.2 差分格式的相容性與收斂性
　　3.3 穩(wěn)定性研究中的矩陣方法
　　　3.3.1 矩陣方法的一般討論
　　　3.3.2 常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程古典格式的穩(wěn)定性
　　　3.3.3 第三邊值問題差分格式的穩(wěn)定性
　　3.4 穩(wěn)定性研究中的分離變量法
　　　3.4.1 分離變量法的一般討論
　　　3.4.2 對(duì)多個(gè)空間變量情形的應(yīng)用
　　　3.4.3 對(duì)三層格式的應(yīng)用
　　3.5 用能量估計(jì)方法分析熱傳導(dǎo)方程差分格式穩(wěn)定性
　　　3.5.1 熱傳導(dǎo)系數(shù)與時(shí)間無關(guān)的情形
　　　3.5.2 熱傳導(dǎo)系數(shù)與時(shí)間相關(guān)的情形
　　3.6 差分格式的單側(cè)逼近性質(zhì)及其應(yīng)用
　　3.7 交替方向隱格式及相關(guān)的格式
　　　3.7.1 PR格式
　　　3.7.2 Douglas格式
　　　3.7.3 非齊次邊界條件情形下過渡層邊值的取法
　　　3.7.4 局部—維格式寫預(yù)測-校正格式
　　本章小結(jié)與補(bǔ)充討論
　　習(xí)題
　第4章 雙曲型方程
　　4.1 一階線性雙曲型方程的差分格式
　　　4.1.1 一階常系數(shù)方程初值問題
　　　4.1.2 一階常系數(shù)方程初邊值問題
　　　4.1.3 一階變系數(shù)方程初邊值問題
　　4.2 一階常系數(shù)線性雙曲型方程組的差分格式
　　4.3 二階線性雙曲型方程的差分格式
　　　4.3.1 一維常系數(shù)波動(dòng)方程
　　　4.3.2 一維變系數(shù)波動(dòng)方程
　　　4.3.3 二維波動(dòng)方程
　　4.4 交替方向隱格式
　　4.5 對(duì)流擴(kuò)散方程的特征差分格式
　　　4.5.1 問題敘述
　　　4.5.2 基于線性插值的特征差分格式
　　　4.5.3 基于二次插值的特征差分格式
　　本章小結(jié)與補(bǔ)充討論
　　習(xí)題
　　主要參考書目
第三部分 偏微分方程的有限元方法
　第5章 邊值問題的變分原理
　　5.1 古典變分法的一些概念
　　　5.1.1 泛函的極值與Euler方程
　　　5.1.2 自然邊界條件
　　　5.1.3 多個(gè)自變量的情形
　　　5.1.4 自然邊界條件(續(xù))
　　5.2 邊值問題的變分原理
　　　5.2.1 邊值問題與最小位能原理
　　　5.2.2 虛功原理　
　　　5.2.3 邊值問題與變分問題的關(guān)系
　　　5.2.4 內(nèi)邊界條件
　　5.3 Sobolev空間與廣義解
　　　5.3.1 廣義導(dǎo)數(shù)　
　　　5.3.2 Sobolev空間
　　　5.3.3 廣義解的存在性和唯一性
　　5.4 變分近似法
　　　5.4.1 Ritz方法
　　　5.4.2 Galerkin方法
　　　5.4.3 投影定理
　　本章小結(jié)與補(bǔ)充討論
　　習(xí)題
　第6章 有限元方法的基本結(jié)構(gòu)
　　6.1 兩點(diǎn)邊值問題的有限元方法
　　　6.1.1 用Ritz方法建立有限元方程
　　　6.1.2 用Galerkin方法建立有限元方程
　　6.2 二維邊值問題的有限元方法
　　　6.2.1 三角剖分與分片插值
　　　6.2.2 單元分析與總體合成
　　　6.2.3 積分的計(jì)算
　　　6.2.4 本質(zhì)邊界條件的處理
　　　6.2.5 有限元方程的求解
　　　6.2.6 有限元方法的一般過程
　　本章小結(jié)與補(bǔ)充討論
　　習(xí)題
　　附錄：數(shù)值積分公式
　第7章 有限元方法的幾個(gè)問題
　　7.1 形狀函數(shù)與有限元空間
　　　7.1.1 引言
　　　7.1.2 一維高次元的形狀函數(shù)
　　　7.1.3 一維Hermite型的形狀函數(shù)
　　　7.1.4 二維矩形單元的形狀函數(shù)
　　　7.1.5 二維三角形單元的形狀函數(shù)
　　　7.1.6 等參數(shù)單元
　　　7.1.7 三維情形
　　　7.1.8 單元形狀函數(shù)小結(jié)
　　7.2 收斂性與誤差估計(jì)
　　　7.2.1 引言
　　　7.2.2 Sobolev空間的插值理論
　　　7.2.3 有限元方法的收斂性與誤差估計(jì)
　　7.3 拋物型方程的有限元方法
　　　7.3.1 引言
　　　7.3.2 半離散的有限元方程
　　　7.3.3 全離散的有限元方程
　　本章小結(jié)與補(bǔ)充討論
　　習(xí)題
　　主要參考書目