應用近世代數(shù)

　　內容提要近世代數(shù)（又名抽象代數(shù)）是現(xiàn)代數(shù)學的重要基礎，在計算機科學、信息科學、近代物理與近代化學等方面有廣泛的應用，是從事現(xiàn)代科學技術人員所必需的數(shù)學基礎。本書介紹群、環(huán)、域的基本理論與應用。適用于數(shù)學與應用數(shù)學、計算機科學、無線電、物理、化學、生物醫(yī)學等專業(yè)的學生、研究生以及專業(yè)人員。片斷：歷史上，有幾個幾何作圖問題曾經困擾人們很長時間，它們是：（1）二倍立方體問題作一個立方體使其體積為一已知立方體體積的兩倍。（2）三等分任意角問題給定任意一個角，將其三等分。（3）圓化方問題給定一個圓（即已知其半徑r），作一個正方形使其面積等于已知圓的面積。（4）n等分一個圓周這些問題直到近世代數(shù)理論出現(xiàn)以后才得到完全的解決。8.代數(shù)方程根式求解問題我們知道，任何一個一元二次代數(shù)方程可用根式表示它的兩個解。對于一元三次和四次代數(shù)方程，古人們經過長期的努力也巧妙地做到了這一點。于是人們自然要問：是否任何次代數(shù)方程的根均可用根式表示？許多努力都失敗了，但這些努力促使了近世代數(shù)的產生，并最終解決了這個問題。19世紀初，法國青年數(shù)學家伽羅瓦（Galois）在研究五次代數(shù)方程的解法時提出了著名的伽羅瓦理論，成了近世代數(shù)的先驅。但他的工作未被當時的數(shù)學家所認識，他于21歲就過早地去世了。直到19世紀后期，他的理論才由別的數(shù)學家加以進一步的發(fā)展和系統(tǒng)的闡述。這樣一門具有悠久歷史、充滿許多有趣問題和故事的數(shù)學分支，在近代又得到了蓬勃發(fā)展和廣泛應用，出現(xiàn)了許多應用于某一領域的專著，正吸引越來越多的科技人員和學生來學習和掌握它。習題1.11.用2種顏色的珠子做成有5顆珠子的項鏈，可做成多少種不同的項鏈？2.對正四面體的頂點用兩種顏色著色，有多少種本質上不同的著色法？3.有4個頂點的圖共有多少個？其中互不同構的有多少個？4.如何用圓規(guī)和直尺5等分一個圓周？5.如何用根式表示3次和4次代數(shù)方程的根？1.2集合與映射前已指出，近世代數(shù)研究的對象是所謂代數(shù)系，它是一個集合，并在其中定義了一種或若干種運算。因此，我們必須對集合的基本理論很熟悉。由于大家從中學開始就對集合與映射有所了解，這里只作一些復習、補充和約定。1.集合的記號集合的表示方法通常有兩種：一種是直接列出所有的元素，另一種是規(guī)定元素所具有的性質。例如：A＝｛1，2，3｝，S＝｛X｜P（x）｝，其中p（x）表示元素x具有的性質。本書中經常用到以下的集合及記號：整數(shù)集合Z＝｛0，士1，±2，±3，…｝，正整數(shù)集合Z＋＝｛1，2，3，…｝，有理數(shù)集合Q，實數(shù)集合R，復數(shù)集合C等。一個集合A的元素個數(shù)用｜A｜表示。當A中有有限個元素時，稱為有限集，否則稱為無限集。用｜A＝∞表示A是無限集，｜A｜＜∞表示A是有限集。本書前言前言為了滿足數(shù)學與應用數(shù)學以及理工科專業(yè)學生和科技人員學習近世代數(shù)的需要，本書盡力做到聯(lián)系實際，多舉例子，使讀者感到有趣想學。在敘述方法上盡力做到連貫、前后呼應、合乎中文習慣。對部分定理的證明采用提示式、部分論證式等方式給出，留有思考余地，讀者若能邊學邊動手按提示完成證明或計算，會收到滿意效果。每節(jié)后的習題均附有提示或答案，便于自學。本書出版后受到讀者的歡迎，并得到同行的好評和支持，榮獲國家教委第三屆高校優(yōu)秀教材二等獎。本次再版時，根據(jù)讀者和同行的意見與建議做了修改與補充。在此，作者向所有給予本書關心、支持與提供寶貴意見的讀者、同行和編輯表示衷心的感謝。

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