高等幾何

第一章變換群與幾何學
§1變換與變換群
1.1映射與變換
1.2映射的乘積與逆
1.3變換的不動元素與不動子集
1.4變換群
習題
§2仿射坐標和仿射平面
2.1仿射坐標和仿射坐標變換
2.2在仿射平面上的幾個常用結論
2.3仿射平面A的定義
習題
§3仿射變換
3.1透視仿射變換
3.2仿射變換的定義與基本性質
3.3仿射變換的表達式和例子
3.4關于仿射變換的幾個重要定理
習題
§4歐氏平面和保距變換
4.1歐氏平面正E2的定義
4.2保距變換的定義和表達式
4.3保距變換的直觀實現
4.4保距變換的性質
習題
§5幾何學與變換群的關系
5.1歐氏幾何與歐氏群
5.2克萊因觀點介紹
5.3仿射群與仿射幾何
習題
第二章射影平面
§1擴大仿射平面
1.1中心射影的直觀討論
1.2點的齊次仿射坐標
1.3直線的齊次仿射坐標方程
習題
§2射影平面
2.1射影平面和它的性質
2.2射影平面P2的定義和它的模型
2.3射影坐標和射影坐標變換
2.4直線與點列一維射影坐標
2.5德薩格定理
習題
§3交比與調和共軛
3.1在擴大歐氏平面上的直觀討論
3.2交比的定義和計算
3.3交比與射影坐標的關系
3.4交比的分組
3.5調和共軛
3.6完全四點形的調和性質
習題
§4對偶原理
4.1點坐標與線坐標
4.2對偶原理
4.3幾種重要的對偶圖形和命題
習題
第三章射影變換
§1一維射影變換
1.1透視對應
1.2一維基本形之間的射影對應
1.3射影對應與透視的關系
1.4一維射影變換
1.5對合
習題
§2直射變換
2.1直射變換的定義和表達式
2.2射影群和基本射影性質
2.3關于直射的基本定理
2.4直射變換的不動元素
2.5同調與直移
習題
§3對射變換與配極
3.1對射變換
3.2配極變換
3.3共軛元素與配極原則
3.4配極的分類與自極三點形
3.5配極誘導的對合
習題
第四章二次曲線的射影理論
§1配極變換與二次曲線
1.1二階曲線與二級曲線
1.2極點與極線二次曲線
1.3二次曲線方程的簡化形式
習題
§2一維射影對應與二次曲線
2.1二次曲線的射影定義
2.2帕斯卡定理與布利安香定理
習題
63二次曲線上的射影變換
3.1二階曲線上的射影變換
3.2二階曲線上的對合
習題
§4二次曲線的射影分類
4.1退化二階曲線和奇異點
4.2二次曲線的射影分類
習題
第五章射影幾何的子幾何
§1無窮遠直線與仿射幾何
1.1擴大仿射平面和仿射變換
1.2仿射性質
1.3二次曲線的仿射理論
習題
§2圓環(huán)點與歐氏幾何
2.1虛元素復射影平面
2.2絕對對合與直角坐標
2.3保距變換與歐氏度量
2.4二次曲線的度量性質
習題
§3實二次曲線與雙曲幾何
3.1自同構群與射影測度
3.2第五公設與羅巴切夫斯基幾何的產生
3.3實二次曲線與雙曲運動群
3.4雙曲度量
3.5羅巴切夫斯基幾何的克萊因模型
習題
§4射影幾何的其他子幾何
4.1虛二次曲線和橢圓幾何
4.2伽利略幾何簡介
4.3閔科夫斯基幾何簡介
習題
第六章幾何基礎介紹
§1公理法簡介
1.1公理法的產生
1.2公理法的結構
1.3公理系統的和諧性.獨立性和完備性
§2歐氏平面幾何的公理系統
2.1絕對幾何
2.2歐氏幾何與非歐幾何
習題
§3平面射影幾何的公理系統
3.1平面射影幾何的一個公理系統
3.2平面射影幾何公理系統的算術模型
習題
§4有限幾何介紹
4.1有限域GF(q)與有限射影平面PG(2,q)
4.2有限射影平面PG(2,2)介紹
4.3有限仿射平面AG(2,2)介紹
§5射影幾何的歷史概述
5.1射影幾何的萌芽時期
5.2射影幾何創(chuàng)立初期
5.3射影幾何的形成和繁榮時期
5.4射影幾何在中國
第七章高等幾何與中學幾何
§1高等幾何對中學幾何的一般指導意義
1.1幾何學的對象和分類
1.2對坐標系的認識
1.3關于直線形
1.4關于二次曲線理論
1.5綜合法與解析法
討論題
§2中學幾何命題的發(fā)現
2.1從已知射影命題設計出初等命題
2.2變換已知命題,得出新命題
習題
§3用高等幾何方法證明中學幾何題
3.1仿射變換的應用
3.2射影變換的應用
3.3關于點線結合命題的證明
習題
§4直尺作圖
4.1利用完全四點形的調和性質作圖
4.2有關不可到達的點和直線的作圖
4.3有關二次曲線的作圖
習題
參考書目