微分學

上編 微分學
第一章 巴拿赫空間中的微分學
1.關(guān)于巴拿赫空間及連續(xù)線性映射概念的回頤
1.1.向量空間E上的范數(shù)
1.2.巴拿赫空間的例子
1.3.巴拿赫空間中的正規(guī)收斂級數(shù)
1.4.連續(xù)線性映射
1.5.連續(xù)線性映射的復合
1.6.賦范向量空間的同構(gòu)；賦范向量空間上的等價范數(shù)
1.7.空間的例子
1.8.連續(xù)多重線性映射
1.9.自然等距映射
2.可微映射
2.1.可微映射的定義
2.2.復合映射的導出映射
2.3.導出映射的線性
2.4.特殊映射的導出映射
2.5.在幾個巴拿赫空間的積中取值的映射
2.6.U是幾個巴拿赫空間的積中開集情形
2.7.2.5及2.6段中所研究情形的組合
2.8.最后的注記：可微性及C可微性的比較
3.有限增量定理；應用
3.1.主要定理的敘述
3.2.主要定理的特殊情形
3.3.變量在巴拿赫空間中的有限增量定理
3.4.有限增量定理續(xù)論
3.5.習題
3.6.有限增量定理的第一種應用：可微映射序列的收斂性
3.7.有限增量定理的第二種應用：偏可微性與可微性之間的關(guān)
3.8.有限增量定理的第三種應用：嚴格可微映射概念
4.C1類映射的局部反演.隱映射定理
4.1.C1類的微分同胚
4.2.局部反演定理
4.3.局部反演定理的證明：第一步化簡
4.4.命題4.3.1的證明
4.5.定理4.4.1的證明
4.6.有限維情形下的局部反演定理
4.7.隱映射定理
5.高階導出映射
5.1.二階導出映射
5.2.E是乘積空間情形
5.3.逐階導出映射
5.4.n次可微映射的例子
5.5.泰勒公式：特別情形
5.6.泰勒公式：一般情形
6.多項式
6.1.n次齊次多項式
6.2.不一定齊次的多項式
6.3.多項式的逐次“差分”
6.4.E及F是賦范向量空間情形
7.有限展開式
7.1.定義
7.2.f在點a處n次可微情形
7.3.有限展開式的運算
7.4.兩個有限展開式的復合
7.5.計算復合映射的逐階導出映射
8.相對極大與極小
8.1.相對極小的第一個必要條件
8.2.相對極小的二階條件
8.3.嚴格相對極小的充分條件
習題
第二章 微分方程
1.定義與基本定理
1.1.一階微分方程
1.2.n階微分方程
1.3.近似解
1.4.例：線性微分方程.
1.5.李普希茨情形：基本引理
1.6.基本引理的應用：唯一性定理
1.7.李普希茨情形下的存在定理
1.8，是局部李普希茨情形
1.9.線性微分方程情形
1.10.對初始值的依賴性
1.11.微分方程依賴于一個參變量情形
2.線性微分方程
2.1.通解的形式
2.2.齊次線性方程研究
2.3.E有有限維情形
2.4.“帶右端項的”線性方程
2.5.n階齊次線性微分方程情形
2.6.“帶右端項的”階線性微分方程
2.7.常系數(shù)線性微分方程
2.8.常系數(shù)方程：E有有限維情形
2.9.常系數(shù)n階線性微分方程
3.一些問題
3.1.含一個參變量的線性自同構(gòu)群
3.2.含一個參變量之群的芽
3.3.可微性問題
3.4.可微性問題(續(xù))：對初始值u的可微性
3.5.定理3.4.2的證明
3.6.對微分方程所含一個參變量的可微性
3.7.高階可微性
3.8.二階微分方程情形
3.9.不含自變量的微分方程
3.10.“未解出的”微分方程
4.首次積分與線性偏微分方程
4.1.微分方程組的首次積分的定義
4.2.首次積分的存在性
4.3.非齊次線性偏微分方程
4.4.例
習題
下編 微分形式
第一章 微分形式
1.交錯多重線性映射
1.1.交錯多重線性映射的定義
1.2.排列群
1.3.交錯多重線性映射的性質(zhì)
1.4.交錯多重線性映射的乘法
1.5.外乘法的性質(zhì)
1.6.n個線性形式的外乘積
1.7.E有有限維情形
2.微分形式
2.1.微分形式的定義
2.2.微分形式的運算
2.3.外微分的運算
2.4.外微分運算的性質(zhì)
2.5.外微分的基本性質(zhì)
2.6.有限維空間上的微分形式
2.7.按典范寫出的微分形式的算法
2.8.微分形式中的變量代換
2.9.變量代換中映射的性質(zhì)
2.10.按典范寫出的的計算
2.11.變量代換的可遞性
2.12.微分形式等于的條件
2.13.龐加萊定理的證明
3.一次微分形式的線積分
3.1.C1類道路
3.2.線積分
3.3.參變量代換
3.4.是映射的微分情形
3.5.一次閉微分形式
3.6.閉形式沿一條道路的原映射
3.7.兩條道路的同倫
3.8.單連通開集
4.次數(shù)>1的微分形式的積分
4.1.單位的可微分解
4.2.平面中帶邊界的緊集
4.3.微分2形式在帶邊界的緊集K上的積分
4.4.平面上的斯托克斯定理
4.5.定理4.4.1(斯托克斯定理)的證明
4.6.重積分中的變量代換
4.7.空間中的流形
4.8.流形的定向
4.9.微分2彤式在C1類2維定向緊流彤上的積分
4.10.n重積分
4.11.在流形A，上的微分形式
4.12.p維流形的p維體積元素
5.流形上數(shù)值函數(shù)的極大與極小
5.1.第一階條件
5.2.第二階條件
6.弗羅貝尼烏斯定理
6.1.問題的地位
6.2第一存在定理
6.3.第二存在定理
6.4.第二存在定理證明的終結(jié)
6.5基本定理
6.6.用微分形式的解釋
習題
第二章 變分學原理
1.問題的地位
1.1.C1類曲線的空間
1.2.曲線的泛函
1.3.例
1.4.極小問題
1.5.極值條件的變換
1.6.對于極值曲線的計算
2.歐拉方程的研究：極值曲線的存在性例
2.1.形下的歐拉方程
2.2.例
2.3.力學中的拉格朗日方程
2.4.回到一般情形：與t無關(guān)情肜
2.5.F是y的二次齊次式情形
2.6.流形的測地線情形
2.7.流形上曲線的極值問題
2.8.上列情形的變換
3.二維問題
3.1.問題的地位
3.2.極值條件的變換
習題
第三章 活動標架法對曲線及曲面論的應用
1.活動標架
1.1.微分形式及的定義
1.2.形式及所滿足的關(guān)系式
1.3.標準正交標架
1.4.中定向曲線的弗雷內(nèi)標架
1.5.中定向曲面S上定向曲線C的達布標架
1.6.測地曲率、法曲率及測地撓率的計算
2.與中曲面相聯(lián)系的含三個參變量的標架族
2.1.定向曲面的標架流形
2.2.曲面上標架的運動方程
2.3.曲面S的面積元素
2.4.曲面S的第二基本二次形式
2.5.已定方向上法曲率及測地撓率的計算
2.6.主方向；曲率線
2.7.測地曲率的微分形式
2.8.標架場的應用
2.9.沿曲線的平行移動
2.10.全曲率與平行移動的關(guān)系
2.11.用第一基本形式計算曲面的全曲率
習題
索引上編：微分學
索引下編：微分形式
外國人名譯名對照表
譯后記