力學與工程問題的分數(shù)階導數(shù)建模

前言　
主要符號說明　
第一章　概論　
　1.1　分數(shù)階微積分的歷史　
　1.2　分數(shù)階導數(shù)方程的幾何和物理解釋　
　　1.2.1　任意頻率依賴的能量耗散過程　
　　1.2.2　分形描述和冪律現(xiàn)象　
　　1.2.3　反常擴散　
　　1.2.4　復雜材料本構關系　
　　1.2.5　分數(shù)階薛定諤方程　
　1.3　科學和工程應用　
　參考文獻　
第二章　分數(shù)階微積分數(shù)學基礎　
　2.1　分數(shù)階微積分的定義　
　　2.1.1　riemann-liouville定義　
　　2.1.2　caputo定義　
　　2.1.3　grtinwald-letnikov定義　
　　2.1.4　空間分數(shù)階拉普拉斯算子的riesz定義　
　2.2　分數(shù)階微積分的性質(zhì)　
　　2.2.1　riemann-liouville算子的一些簡單性質(zhì)　
　　2.2.2　常見函數(shù)的分數(shù)階微積分　
　　2.2.3　不同定義的關系　
　2.3　分數(shù)階微積分的傅里葉與拉普拉斯變換　
　　2.3.1　分數(shù)階微積分的?里葉變換　
　　2.3.2　分數(shù)階微積分的拉普拉斯變換　
　2.4　求解分數(shù)階微分方程的解析方法　
　　2.4.1　積分變換方法　
　　2.4.2　格林函數(shù)法　
　　2.4.3　adomian分解法　
　　2.4.4　同倫函數(shù)法　
　　2.4.5　其他迭代方法　
　2.5　問題及討論　
　　2.5.1　分形導數(shù)、正定分數(shù)階導數(shù)、變導數(shù)和隨機導數(shù)　
　　2.5.2　空間分數(shù)階導數(shù)的討論　
　　2.5.3　分數(shù)階微積分的幾何和物理解釋的討論　
　參考文獻　
第三章　分形幾何與分數(shù)階微積分　
　3.1　分形簡介及其應用　
　　3.1.1　簡單的分形幾何　
　　3.1.2　分形的基本性質(zhì)　
　　3.1.3　分形維數(shù)的測量　
　　3.1.4　分形的應用　
　3.2　分形與分數(shù)階微積分的聯(lián)系　
　　3.2.1　一類分形函數(shù)的分數(shù)階微積分　
　　3.2.2　分形函數(shù)的維數(shù)與其分數(shù)階微積分階數(shù)的關系　
　　3.2.3　分數(shù)階微積分在描述分形介質(zhì)本構關系中的應用　
　　3.2.4　分形介質(zhì)中的分數(shù)階動力學方程　
　參考文獻　
第四章　分數(shù)階反常擴散模型、非常規(guī)統(tǒng)計分布和隨機過程　
　4.1　分數(shù)階導數(shù)反常擴散方程　
　　4.1.1　反常擴散問題的統(tǒng)計描述　
　　4.1.2　分數(shù)階反常擴散方程　
　　4.1.3　分數(shù)階fick定律　
　　4.1.4　分數(shù)階對流與擴散方程　
　4.2　湍流粒子加速度分布的統(tǒng)計模型　
　　4.2.1　現(xiàn)有的模型　
　　4.2.2　冪律—擴展高斯聯(lián)合分布模型　
　　4.2.3　比較與討論　
　4.3　levy穩(wěn)態(tài)分布　
　　4.3.1　一般形式下的levy分布　
　　4.3.2　在x＞0情形下的levy分布　
　　4.3.3　穩(wěn)態(tài)分布　
　4.4　擴展高斯分布　
　4.5　tsallis分布　
　　4.5.1　tsallis熵　
　　4.5.2　tsallis分布　
　4.6　伊藤公式　
　　4.6.1　伊藤積分的概念　
　　4.6.2　伊藤公式　
　4.7　隨機行走模型　
　4.8　問題與討論　
　　4.8.1　統(tǒng)計分布的應用背景　
　　4.8.2　統(tǒng)計分布、擴散過程與微分方程的關系　
　　4.8.3　levy穩(wěn)態(tài)分布和頻率依賴聲波耗散的指數(shù)(0，2]分布　
　參考文獻　
第五章　分數(shù)階微分方程的典型應用　
　5.1　冪律現(xiàn)象與非梯度本構關系　
　　5.1.1　冪律分?現(xiàn)象與分數(shù)維　
　　5.1.2　冪律分布現(xiàn)象的形成機理　
　　5.1.3　冪律現(xiàn)象與非梯度本構關系　
　5.2　分數(shù)階langevin方程　
　　5.2.1　langevin方程　
　　5.2.2　分數(shù)階iangevin方程　
　5.3　復雜阻尼振動　
　　5.3.1　振子模型　
　　5.3.2　分數(shù)階振子　
　5.4　黏彈性與流變材料本構模型　
　　5.4.1　元件模型　
　　5.4.2　松弛模量和蠕變?nèi)崃俊?br />　　5.4.3　復松弛模量和復蠕變?nèi)崃俊?br />　　5.4.4　分數(shù)階黏彈性模型中的復松弛模量和復蠕變?nèi)崃俊?br />　　5.4.5　黏彈性體的分數(shù)階力學模型　
　　5.4.6　土流變試驗數(shù)據(jù)擬合與分析　
　　5.4.7　stokes第二類問題分數(shù)階導數(shù)模型的精確解　
　5.5　聲波的任意階頻率依賴耗散　
　　5.5.1　波在彈性固體中傳播　
　　5.5.2　波在黏彈性介質(zhì)中耗散傳播的經(jīng)典模型　
　　5.5.3　波在黏彈性介質(zhì)中耗散傳播的分數(shù)階模型　
　　5.5.4　流體中的聲波　
　　5.5.5　聲波的吸收與頻率依賴耗散　
　　5.5.6　任意階頻率依賴耗散聲波傳播的分數(shù)階拉普拉斯方程模型　
　　5.5.7　非線性聲?的分數(shù)階導數(shù)耗散模型　
　　5.5.8　分數(shù)階導數(shù)地震波模型　
　5.6　力學中的分數(shù)階變分原理　
　　5.6.1　力學變分原理　
　　5.6.2　分數(shù)階變分原理　
　5.7　分數(shù)階薛定諤方程　
　　5.7.1　波粒二象性　
　　5.7.2　薛定諤方程　
　　5.7.3　波函數(shù)的物理意義　
　　5.7.4　時間分數(shù)階薛定諤方程　
　　5.7.5　路徑積分原理和薛定諤方程　
　　5.7.6　空間分數(shù)階薛定諤方程　
　　5.7.7　分數(shù)階薛定諤方程的分形時空起源　
　5.8　其他應用領域　
　　5.8.1　分數(shù)階微積分在斷裂力學中的應用　
　　5.8.2　分數(shù)階微積分在系統(tǒng)控制中的應用　
　　5.8.3　分數(shù)階導數(shù)模型的反問題　
　5.9　變導數(shù)、分布式導數(shù)與隨機導數(shù)的建模與應用　
　　5.9.1　變導數(shù)的建模與應用　
　　5.9.2　分布式導數(shù)的建模與應用　
　　5.9.3　隨機導數(shù)的建模與應用　
　參考文獻　
第六章　分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法　
　6.1　時間分數(shù)階微分方程　
　　6.1.1　有限差分與積分方程法　
　　6.1.2　時間分數(shù)階導數(shù)方程數(shù)值算法的總結與分析　
　6.2　空間分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法　
　　6.2.1　主要的數(shù)值解法簡介　
　　6.2.2　三種求解空間分數(shù)階反常擴散方程的方法比較　
　6.3　存在的問題　
　6.4　分形導數(shù)方程數(shù)值解法　
　6.5　正定分數(shù)階導數(shù)方程數(shù)值解法　
　參考文獻　
第七章　分數(shù)階微積分的發(fā)展情況與展望　
　7.1　總結與討論　
　　7.1.1　研究與應用現(xiàn)狀　
　　7.1.2　關鍵問題　
　7.2　展望　
附錄i　特殊函數(shù)　
　i.1　伽馬函數(shù)　
　i.2　貝塔函數(shù)　
　i.3　dirac-delta函數(shù)　
　i.4　mittag-leffler函數(shù)　
　i.5　wrrighe函數(shù)　
　i.6　h-fox函數(shù)　
　參考文獻　
附錄ii　分數(shù)階動力學相關的電子資源　
　參考文獻