數(shù)值分析與算法

第1章 數(shù)值計算導論
1.1 概述
1.1.1 數(shù)值計算與數(shù)值算法
1.1.2 數(shù)值計算的問題與策略
1.1.3 數(shù)值計算軟件
1.2 誤差分析基礎
1.2.1 數(shù)值計算的近似
1.2.2 誤差及其分類
1.2.3 問題的敏感性與數(shù)據(jù)傳遞誤差估算
1.2.4 算法的穩(wěn)定性
1.3 計算機浮點數(shù)系統(tǒng)與舍入誤差
1.3.1 計算機浮點數(shù)系統(tǒng)
1.3.2 舍入與機器精度
1.3.3?? 浮點運算的舍入誤差
1.3.4 抵消現(xiàn)象
1.4 保證數(shù)值計算的準確性
1.4.1 減少舍入誤差的幾條建議
1.4.2 影響結(jié)果準確性的主要因素
評注
算法背后的歷史： 浮點運算的先驅(qū)--威廉·卡亨
練習題
上機題第2章 非線性方程求根
2.1 引言
2.1.1 非線性方程的解
2.1.2 問題的敏感性
2.2 二分法
2.2.1 方法原理
2.2.2 算法穩(wěn)定性和結(jié)果準確度
2.3 不動點迭代法
2.3.1 基本原理
2.3.2 全局收斂的充分條件
2.3.3 局部收斂性
2.3.4 穩(wěn)定性與收斂階
2.4 牛頓迭代法
2.4.1 方法原理
2.4.2 重根的情況
2.4.3 判停準則
2.4.4 牛頓法的問題
2.5 割線法與拋物線法
2.5.1 割線法
2.5.2?? 拋物線法
2.6 實用的方程求根技術
2.6.1 阻尼牛頓法
2.6.2?? 多項式方程求根
2.6.3?? 通用求根算法zeroin
應用實例： 城市水管應埋于地下多深？
2.7 非線性方程組和有關數(shù)值軟件
2.7.1?? 非線性方程組
2.7.2 非線性方程求根的相關軟件
評述
算法背后的歷史： 牛頓與牛頓法
練習題
上機題第3章 線性方程組的直接解法
3.1 基本概念與問題的敏感性
3.1.1 線性代數(shù)中的有關概念
3.1.2 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)
3.1.3 問題的敏感性與矩陣條件數(shù)
3.2 高斯消去法
3.2.1 基本的高斯消去法
3.2.2 高斯-若當消去法
3.3 矩陣的LU分解
3.3.1 高斯消去過程的矩陣形式
3.3.2 矩陣的直接LU分解算法
3.3.3 LU分解的用途
3.4 選主元技術與算法穩(wěn)定性
3.4.1 為什么要選主元
3.4.2 使用部分主元技術的LU分解
3.4.3 其他選主元技術
3.4.4 算法的穩(wěn)定性
3.5 對稱正定矩陣與帶狀矩陣的解法
3.5.1 對稱正定矩陣的Cholesky分解
3.5.2 帶狀線性方程組的解法
應用實例: 穩(wěn)態(tài)電路的求解
3.6 有關稀疏線性方程組的實用技術
3.6.1 稀疏矩陣基本概念
3.6.2 MATLAB中的相關功能
3.7 有關數(shù)值軟件
評述
算法背后的歷史: 威爾金森與數(shù)值分析
練習題
上機題第4章 線性方程組的迭代解法
4.1 迭代解法的基本理論
4.1.1 基本概念
4.1.2 1階定常迭代法的收斂性
4.1.3 收斂階與收斂速度
4.2 經(jīng)典迭代法
4.2.1 雅可比迭代法
4.2.2 高斯-賽德爾迭代法
4.2.3 逐次超松弛迭代法
4.2.4 三種迭代法的收斂條件
應用實例： 桁架結(jié)構(gòu)的應力分析
4.3 共軛梯度法
4.3.1 最速下降法
4.3.2?共軛梯度法
4.4 各種方法的比較
4.4.1 迭代法之間的比較
4.4.2 直接法與迭代法的對比
4.5 有關數(shù)值軟件
評述
算法背后的歷史： 雅可比
練習題
上機題第5章 矩陣特征值計算
5.1 基本概念與特征值分布
5.1.1 基本概念與性質(zhì)
5.1.2 特征值分布范圍的估計
5.2 冪法與反冪法
5.2.1 冪法
5.2.2 加速收斂的方法
5.2.3 反冪法159應用實例： Google的PageRank算法
5.3 矩陣的正交三角化
5.3.1 Householder變換
5.3.2 Givens旋轉(zhuǎn)變換
5.3.3 矩陣的QR分解
5.4 所有特征值的計算與QR算法
5.4.1 收縮技術
5.4.2 基本QR算法
5.4.3?實用QR算法的有關技術
5.5 有關數(shù)值軟件
評述
算法背后的歷史： A.Householder與矩陣分解
練習題
上機題第6章 函數(shù)逼近與函數(shù)插值
6.1 函數(shù)逼近的基本概念
6.1.1 函數(shù)空間
6.1.2 函數(shù)逼近的不同類型
6.2 連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近
6.2.1 一般的法方程方法
6.2.2 用正交函數(shù)族進行逼近
6.3 曲線擬合的最小二乘法
6.3.1 問題的矩陣形式與法方程法
6.3.2 用正交化方法求解最小二乘問題
應用實例: 原子彈爆炸的能量估計
6.4 函數(shù)插值與拉格朗日插值法
6.4.1 插值的基本概念
6.4.2 拉格朗日插值法
6.4.3 多項式插值的誤差估計
6.5 牛頓插值法
6.5.1 基本思想
6.5.2 差商與牛頓插值公式
6.6 分段多項式插值
6.6.1 高次多項式插值的病態(tài)性質(zhì)
6.6.2 分段線性插值
6.6.3 分段埃爾米特插值
6.6.4 保形分段插值
6.7 樣條插值函數(shù)
6.7.1 三次樣條插值
6.7.2 三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造
6.7.3 B-樣條函數(shù)
評述
算法背后的歷史: 拉格朗日與插值法
練習題
上機題第7章 數(shù)值積分與數(shù)值微分
7.1 數(shù)值積分概論
7.1.1 基本思想
7.1.2 求積公式的積分余項與代數(shù)精度
7.1.3 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性
7.2 牛頓-柯特斯公式
7.2.1 柯特斯系數(shù)與幾個低階公式
7.2.2 牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度
7.2.3 幾個低階公式的余項
7.3 復合求積公式
7.3.1 復合梯形公式
7.3.2 復合辛普森公式
7.3.3 步長折半的復合求積公式計算
7.4 Remberg積分算法
7.4.1 復合梯形公式的余項展開式
7.4.2 理查森外推法
7.4.3 Romberg算法
7.5 自適應積分算法
7.5.1 自適應積分的原理
7.5.2?? 一個具體的自適應積分算法
7.6 高斯求積公式
7.6.1 一般理論
7.6.2 高斯-勒讓德積分公式及其他
應用實例： 探月衛(wèi)星軌道長度計算
7.7 數(shù)值微分
7.7.1 基本的有限差分公式
7.7.2 插值型求導公式
7.7.3 數(shù)值微分的外推算法
評述
算法背后的歷史： “數(shù)學王子”高斯
練習題
上機題第8章 常微分方程初值問題的解法
8.1 引言
8.1.1 問題分類與可解性
8.1.2 問題的敏感性
8.2 簡單的數(shù)值解法與有關概念
8.2.1 歐拉法
8.2.2 數(shù)值解法的穩(wěn)定性與準確度
8.2.3 向后歐拉法與梯形法
8.3 龍格-庫塔方法
8.3.1 基本思想
8.3.2 幾種顯式R-K公式
8.3.3 顯式R-K公式的穩(wěn)定性與收斂性
8.3.4?自動變步長的R-K方法
8.4 多步法
8.4.1 多步法公式的推導
8.4.2 Adams公式
8.4.3 更多討論
8.5　常微分方程組與實用技術
8.5.1 1階常微分方程組
8.5.2 MATLAB中的實用ODE求解器
應用實例: 洛倫茲吸引子
評述
算法背后的歷史: “數(shù)學家之英雄”歐拉
練習題
上機題附錄A 有關數(shù)學記號的說明
附錄B MATLAB簡介
附錄C 部分習題答案
索引
參考文獻