復分析

譯者的話
前言
引言
第1 章　 復分析預備知識 1
1　 復數(shù)和復平面 1
1. 1　 基本性質(zhì) 1
1. 2　 收斂性 3
1. 3　 復平面中的集合 4
2　 定義在復平面上的函數(shù) 5
2. 1　 連續(xù)函數(shù) 5
2. 2　 全純函數(shù) 6
2. 3　 冪級數(shù) 10
3　 沿曲線的積分 13
4　 練習 17
第2 章　 柯西定理及其應用 23
1　 Goursat 定理 24
2　 局部原函數(shù)的存在和圓盤內(nèi)的柯西定理 26
3　 一些積分估值 29
4　 柯西積分公式 32
5　 應用 37
5. 1　 Morera 定理 37
5. 2　 全純函數(shù)列 37
5. 3　 按照積分定義全純函數(shù) 39
5. 4　 Schwarz 反射原理 40
5. 5　 Runge 近似定理 42
6　 練習 44
7　 問題 47
第3 章　 亞純函數(shù)和對數(shù) 50
1　 零點和極點 51
2　 留數(shù)公式 54
2. 1　 例子 55
3　 奇異性與亞純函數(shù) 58
4　 輻角原理與應用 62
5　 同倫和單連通區(qū)域 65
6　 復對數(shù) 68
7　 傅里葉級數(shù)和調(diào)和函數(shù) 70
8　 練習 72
9　 問題 75
第4 章　 傅里葉變換 78
1　 F 類 79
2　 作用在 F 類上的傅里葉變換 80
3　 Paley.Wiener 定理 85
4　 練習 90
5　 問題 94
第5 章　 整函數(shù) 96
1　 Jensen 公式 97
2　 有限階函數(shù) 99
3　 無窮乘積 101
3. 1　 一般性 101
3. 2　 例子　 正弦函數(shù)的乘積公式 102
4　 Weierstrass 無窮乘積 104
5　 Hadamard 因子分解定理 106
6　 練習 110
7　 問題 113
第6 章　 Gamma 函數(shù)和 Zeta 函數(shù) 115
1　 Gamma 函數(shù) 115
1. 1　 解析延拓 116
1. 2　 Γ 函數(shù)的性質(zhì) 118
2　 Zeta 函數(shù) 122
2. 1　 泛函方程和解析延拓 122
3　 練習 127
4　 問題 131
第7 章　 Zeta 函數(shù)和素數(shù)定理 133
1　 Zeta 函數(shù)的零點 134
1. 1　 1／ ζ（s）的估計 137
2　 函數(shù) ψ 和 ψ1 的簡化 138
2. 1　 ψ1 的漸近證明 142
3　 練習 146
4　 問題 149
第8 章　 共形映射 151
1　 共形等價和舉例 152
1. 1　 圓盤和上半平面 153
1. 2　 進一步舉例 154
1. 3　 帶形區(qū)域中的 Dirichlet 問題 156
2　 Schwarz 引理　 圓盤和上半平面的自同構(gòu) 160
2. 1　 圓盤內(nèi)的自同構(gòu) 161
2. 2　 上半平面的自同構(gòu) 163
3　 黎曼映射定理 164
3. 1　 必要條件和定理的陳述 164
3. 2　 Montel 定理 165
3. 3　 黎曼映射定理的證明 167
4　 共形映射到多邊形上 169
4. 1　 一些例子 169
4. 2　 Schwarz.Christoffel 積分 172
4. 3　 邊界表現(xiàn) 174
4. 4　 映射公式 177
4. 5　 返回橢圓積分 180
5　 練習 181
6　 問題 187
第9 章　 橢圓函數(shù)介紹 192
1　 橢圓函數(shù) 193
1. 1　 Liouville 定理 194
1. 2　 Weierstrass 函數(shù) 196
2　 橢圓函數(shù)的模特征和 Eisenstein 級數(shù) 200
2. 1　 Eisenstein 級數(shù) 201
2. 2　 Eisenstein 級數(shù)和除數(shù)函數(shù) 203
3　 練習 205
4　 問題 207
第10 章　 Theta 函數(shù)的應用 209
1　 Jacobi Theta 函數(shù)的乘積公式 209
1. 1　 進一步的變換法則 214
2　 母函數(shù) 216
3　 平方和定理 218
3. 1　 二平方定理 219
3. 2　 四平方定理 224
4　 練習 228
5　 問題 232
附錄 A　 漸近 236
1　 Bessel 函數(shù) 237
2　 Laplace 方法　 Stirling 公式 239
3　 Airy 函數(shù) 243
4　 分割函數(shù) 247
5　 問題 253
附錄 B　 單連通和 Jordan 曲線定理 256
1　 單連通的等價公式 257
2　 Jordan 曲線定理 261
2. 1　 柯西定理的一般形式的證明 268
注釋和參考書目 270
參考文獻 273