工程數(shù)學(xué)

第1章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)1

1.1線性空間與賦范線性空間1

1.1.1線性空間（1）

1.1.2賦范線性空間（3）

1.2內(nèi)積空間7

1.2.1內(nèi)積及內(nèi)積空間的定義（7）

1.2.2內(nèi)積范數(shù)（9）

1.2.3內(nèi)積與正交投影及
投影向量（10）

1.2.4GramSchmidt正交化方法
（11）

1.2.5正交多項(xiàng)式（13）

1.2.6算子的概念（18）

1.3常用矩陣變換19

1.3.1Gauss變換陣與矩陣的
三角分解（19）

1.3.2Householder變換陣與矩陣的正交分解（22）

1.3.3Givens變換陣與正交分解（26）

1.3.4奇異值（SVD）分解（28）

1.3.5計(jì)算實(shí)例（29）

1.4算法穩(wěn)定性與有效數(shù)字35

1.4.1算法的穩(wěn)定性（35）

1.4.2誤差與有效數(shù)字（36）

習(xí)題137

第2章插值法38

2.1Lagrange插值法與
Newton插值法39

2.1.1多項(xiàng)式插值的存在唯一性（39）

2.1.2Lagrange插值法（40）

2.1.3Lagrange插值多項(xiàng)式的誤差（42）

2.1.4Newton（牛頓）插值法（43）

2.1.5Newton插值多項(xiàng)式的誤差（45）

2.1.6導(dǎo)數(shù)值作為插值條件的多項(xiàng)式插值（Hermite插值）（46）

2.2分段低次插值49

2.2.1高次插值的Runge現(xiàn)象（49）

2.2.2分段低次插值（50）

2.2.3三次樣條插值（52）

2.2.4實(shí)例計(jì)算（56）

2.3二元函數(shù)分片插值法59

2.3.1問(wèn)題的提出（59）

2.3.2矩形域上的分片插值問(wèn)題（60）

習(xí)題263

第3章小二乘原理及其應(yīng)用65

3.1小二乘原理65

3.2小二乘解的計(jì)算方法67

3.2.1內(nèi)積空間中小二乘解的計(jì)算方法（67）

3.2.2計(jì)算實(shí)例（73）

習(xí)題374

第4章數(shù)值積分法75

4.1等距節(jié)點(diǎn)的牛頓柯特斯公式76

4.1.1插值型求積公式（76）

4.1.2牛頓柯特斯（NewtonCotes）
求積公式（77）

4.1.3插值型求積公式的
代數(shù)精度（78）

4.1.4NewtonCotes公式的
截?cái)嗾`差（81）

4.1.5NewtonCotes公式的數(shù)值
穩(wěn)定性分析（83）

4.2復(fù)化求積法83

4.2.1復(fù)化求積公式（83）

4.2.2變步長(zhǎng)復(fù)化求積公式（85）

4.3Gauss型求積公式89

4.3.1構(gòu)造Gauss型求積公式的
基本原理（89）

4.3.2構(gòu)造Gauss型求積公式的
具體方法（93）

4.3.3Gauss型求積公式的
穩(wěn)定性分析（97）

4.3.4實(shí)例應(yīng)用（98）

習(xí)題499




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第5章線性代數(shù)方程組的數(shù)值
解法101

5.1解線性代數(shù)方程組的
直接解法101

5.1.1Gauss消元法及其矩陣表示（102）

5.1.2正交分解法及其矩陣表示（105）

5.2解線性代數(shù)方程組的誤差
分析106

5.3解線性代數(shù)方程組的
迭代解法109

5.3.1構(gòu)造迭代格式的基本思想和
收斂性（109）

5.3.2三種經(jīng)典的迭代格式（111）

5.4解線性代數(shù)方程組的
變分方法115

5.4.1對(duì)稱(chēng)正定線性代數(shù)方程組解的
變分原理（116）

5.4.2求解極小值點(diǎn)的一般方法（118）

5.4.3速下降法（119）

5.4.4共軛梯度法（120）

5.4.5計(jì)算實(shí)例（123）

習(xí)題5125

第6章非線性方程的數(shù)值解法127

6.1二分法128

6.1.1方程根的概念（128）

6.1.2二分法（129）

6.2迭代法及其收斂性130

6.2.1迭代格式的構(gòu)造及
收斂條件（130）

6.2.2迭代格式的局部收斂性（132）

6.3Newton迭代與割線法133

6.3.1Newton迭代格式（133）

6.3.2Newton迭代法的局部
收斂性（134）

6.3.3弦截法（134）

6.3.4計(jì)算實(shí)例（135）

6.4解非線性方程組的迭代法139

6.4.1不動(dòng)點(diǎn)迭代法（139）

6.4.2NewtonRaphson迭代法（140）

習(xí)題6141

第7章常微分方程數(shù)值解法初步143

7.1求解初值問(wèn)題數(shù)值方法的
基本原理144

7.1.1初值問(wèn)題的數(shù)值解（144）

7.1.2構(gòu)造初值問(wèn)題數(shù)值方法的
基本途徑（145）

7.1.3梯形公式與預(yù)估校正思想（146）

7.1.4單步法的誤差分析和
穩(wěn)定性（147）

7.2高精度的單步法152

7.2.1基本原理（152）

7.2.2二階RungeKutta方法
的推導(dǎo)（153）

7.2.3經(jīng)典的四階RK方法（154）

7.3線性多步法156

7.3.1基于數(shù)值積分的
Adams公式（157）

7.3.2預(yù)估校正算法（159）

7.4一階微分方程組的解法162

7.5邊值問(wèn)題的打靶法和差分法164

7.5.1打靶法（Shooting Method）（164）

7.5.2差分法（Difference Method）（165）

7.6計(jì)算實(shí)例167

習(xí)題7168

第8章微分方程變分原理與有限元
方法初步171

8.1Hilbert空間與
Sobolev空間171

8.1.1Hilbert空間（171）

8.1.2Sobolev空間（172）

8.2數(shù)學(xué)物理中的變分問(wèn)題175

8.3一維變分問(wèn)題177

8.4二維變分問(wèn)題182

8.4.1第一類(lèi)邊值問(wèn)題（182）

8.4.2其他邊值問(wèn)題（185）

8.5變分問(wèn)題的計(jì)算186

8.5.1Rtiz方法（186）

8.5.2Galerkin方法（187）

8.6有限元方法初步190

8.6.1從Ritz法出發(fā)（190）

8.6.2從Galerkin法出發(fā)（195）

習(xí)題8198

第9章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)199

9.1參數(shù)估計(jì)方法200

9.1.1點(diǎn)估計(jì)（200）

9.1.2區(qū)間估計(jì)（202）

9.2假設(shè)檢驗(yàn)203

9.2.1參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)（203）

9.2.2分布假設(shè)檢驗(yàn)（206）

習(xí)題9209

第10章回歸分析與方差分析211

10.1一元線性回歸212

10.1.1引言（212）

10.1.2一元線性回歸的
參數(shù)估計(jì)（213）

10.1.3模型檢驗(yàn)（215）

10.1.4預(yù)測(cè)（216）

10.1.5控制（217）

10.2多元線性回歸218

10.2.1模型和參數(shù)估計(jì)（218）

10.2.2多元回歸模型的檢驗(yàn)（221）

10.2.3預(yù)測(cè)（222）

10.2.4變量選擇及多元
共線性問(wèn)題（223）

10.2.5線性回歸的推廣（228）

10.3方差分析229

10.3.1一元方差分析（229）

10.3.2二元方差分析（232）

習(xí)題10238

第11章線性反演理論初步243

11.1反演問(wèn)題的基本概念243

11.1.1反演問(wèn)題及其主要內(nèi)容（243）

11.1.2線性反演問(wèn)題及其
一般論述（245）

11.1.3一些非線性問(wèn)題線性化的
方法（249）

11.2離散型線性反演問(wèn)題的
小長(zhǎng)度解250

11.2.1長(zhǎng)度及其對(duì)反演問(wèn)題
求解的影響（250）

11.2.2適定和超定問(wèn)題的求解（251）

11.2.3純欠定問(wèn)題的求解（253）

11.2.4混定問(wèn)題的求解——
馬夸特法（254）

11.2.5長(zhǎng)度的加權(quán)度量與
反演問(wèn)題的求解（255）

11.3BackusGilbert反演理論257

11.3.1在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)
介質(zhì)的反演理論（258）

11.3.2BG線性評(píng)價(jià)（263）

習(xí)題11269

參考文獻(xiàn)271