矩陣論

前言1
 
章  線性空間與內(nèi)積空間1
§1.1集合與映射1
  一、集合1
  二、映射2
§1.2線性空間及其基與維數(shù)4
  一、線性空間的定義4
  二、基、維數(shù)與坐標(biāo)6
  三、基變換與坐標(biāo)變換8
§1.3線性子空間11
  一、線性子空間11
  二、子空間的交與和12
  三、直和14
§1.4*線性空間的同構(gòu)17
§1.5內(nèi)積空間18
  一、歐氏空間18
  二、標(biāo)準(zhǔn)正交基與GramSchmidt正交化過(guò)程22
  三、子空間25
  四*、同構(gòu)27
  五、酉空間28
習(xí)題一29
 
第二章  線性變換和矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形33
§2.1線性變換與線性變換的矩陣33
  一、線性變換33
  二、線性變換的矩陣35
  三、線性變換在不同基下的矩陣39
  四、正交變換40
§2.2特征值與特征向量41
  一、基本概念41
  二、矩陣對(duì)角化的相似條件43
  三、HamiltonCaylay定理44
§2.3不變子空間與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形45
  一、值域與核45
  二、不變子空間48
  三、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形51
§2.4對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化52
§2.5λ矩陣54
  一、基本概念54
  二、標(biāo)準(zhǔn)形55
  三、不變因子57
  四、初等因子59
§2.6Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)60
  一、矩陣的相似性條件60
  二、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形64
  三、小多項(xiàng)式68
習(xí)題二70
 
第三章  范數(shù)與極限74
§3.1范數(shù)74
  一、向量范數(shù)74
  二、矩陣范數(shù)76
  三、賦范線性空間81
§3.2矩陣序列與矩陣級(jí)數(shù)82
  一、矩陣序列與收斂性82
  二、矩陣級(jí)數(shù)84
習(xí)題三88
 
第四章  矩陣函數(shù)與函數(shù)矩陣90
§4.1矩陣函數(shù)90
  一、矩陣多項(xiàng)式90
  二、矩陣函數(shù)的解析定義94
  三、矩陣函數(shù)的一般定義96
§4.2函數(shù)矩陣及其導(dǎo)數(shù)101
  一、函數(shù)矩陣101
  二、函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)103
  三、函數(shù)矩陣的二階導(dǎo)數(shù)與Hessian矩陣110
習(xí)題四111
 
第五章  矩陣分解114
§5.1約化矩陣114
  一、Gauss矩陣114
  二、Householder矩陣115
  三、Givens矩陣116
§5.2三角分解117
  一、LU分解117
  二、平方根分解121
§5.3QR分解122
§5.4Schur分解125
§5.5奇異值分解127
§5.6其他分解130
習(xí)題五132
 
第六章  一些特殊矩陣134
§6.1正規(guī)矩陣134
§6.2Hermite矩陣135
  一、Hermite矩陣136
  二、Hermite矩陣的特征值極性137
§6.3Hermite正定矩陣141
§6.4不可約矩陣和對(duì)角占優(yōu)矩陣143
  一、不可約矩陣143
  二、對(duì)角占優(yōu)矩陣144
§6.5投影矩陣147
習(xí)題六151
 
第七章  非負(fù)矩陣153
§7.1 非負(fù)矩陣及其譜半徑性質(zhì)153
§7.2 Perron定理和Frobenius定理155
§7.3 隨機(jī)矩陣與單調(diào)矩陣159
  一、隨機(jī)矩陣159
  二、單調(diào)矩陣161
§7.4 M矩陣161
習(xí)題七166
 
第八章  Kronecker積與矩陣方程167
§8.1 Kronecker積167
  一、矩陣Kronecker積的定義和基本性質(zhì)167
  二、矩陣Kronecker積的特征值168
  三、矩陣Kronecker積的秩170
  四、矩陣Kronecker積的冪171
§8.2 矩陣方程171
  一、矩陣的向量化171
  二、線性矩陣方程172
§8.3 矩陣方程AX XB＝C173
  一、Sylvester方程174
  二、Sylvester方程解的形式174
  三、Lyapunov方程簡(jiǎn)介176
§8.4* 求解矩陣方程的數(shù)值解法176
  一、中小規(guī)模Sylvester方程的數(shù)值解法176
  二、Sylvester方程系數(shù)矩陣A為大規(guī)模矩陣，B為小矩陣177
  三、Sylvester方程系數(shù)矩陣A，B均為大規(guī)模矩陣179
習(xí)題八180
 
第九章  小二乘問(wèn)題182
§9.1 小二乘問(wèn)題的基本性質(zhì)182
  一、小二乘問(wèn)題的基本概念182
  二、小二乘問(wèn)題的數(shù)學(xué)性質(zhì)182
§9.2 滿秩矩陣的小二乘問(wèn)題184
  一、法方程（Normal equation）184
  二、曲線擬合問(wèn)題185
  三、基于Cholesky分解求解的小二乘解187
  四、基于QR分解求解的小二乘解187
  五、奇異值分解方法191
§9.3 秩顯分解和秩虧小二乘問(wèn)題193
  一、帶列選主元的QR分解193
  二、數(shù)值秩顯分解195
  三、秩虧小二乘問(wèn)題195
§9.4 廣義逆矩陣195
一、廣義逆矩陣195
二、廣義逆的應(yīng)用198
習(xí)題九199
 
附錄 一元多項(xiàng)式202
  一、一元多項(xiàng)式及其基本運(yùn)算202
  二、整除203
  三、公因式204
  四、多項(xiàng)式函數(shù)206
  參考文獻(xiàn)208