數(shù)學物理方程與進階分析工具

目錄
前言
第一部分 數(shù)學物理方程之二階線性偏微分方程
第1章 波動方程 3
1.1 弦振動方程的導出與定解條件 3
1.1.1 弦振動方程的導出 3
1.1.2 定解條件 7
1.1.3 偏微分方程分類概述 8
1.2 弦振動方程柯西問題的求解 9
1.2.1 達朗貝爾公式 10
1.2.2 達朗貝爾公式的物理意義與特征線 12
1.2.3 半無限長弦振動方程的求解 14
1.2.4 齊次化原理 18
1.3 分離變量法 19
1.3.1 初邊值問題的提法 19
1.3.2 含齊次控制方程問題的分離變量法求解 20
1.3.3 分離變量法解的物理意義 25
1.3.4 非齊次方程初邊值問題的求解 26
1.4 高維波動方程 28
1.4.1 薄膜振動方程的導出 28
1.4.2 定解問題提法 31
1.4.3 高維波動方程柯西問題的解及其基本性質(zhì) 32
1.5 波動方程解性質(zhì)的討論 36
1.5.1 能量表達式 36
1.5.2 波動方程解性質(zhì)分析 37
課后習題 39
第2章 熱傳導方程 44
2.1 熱傳導方程的導出與定解條件 44
2.1.1 熱傳導方程的導出 44
2.1.2 熱傳導方程的定解條件 46
2.1.3 擴散過程的數(shù)學描述 47
2.2 柯西問題的求解與積分變換法 48
2.2.1 卷積與傅里葉變換 48
2.2.2 熱傳導方程柯西問題的求解 50
2.2.3 柯西問題解性質(zhì)分析 53
2.3 分離變量法 56
2.3.1 熱傳導方程初邊值問題的分離變量法 56
2.3.2 施圖姆-劉維爾型方程及其性質(zhì) 61
2.3.3 齊次化原理 64
2.4 熱傳導方程解的性質(zhì) 64
2.4.1 極值原理 65
2.4.2 熱傳導方程初邊值問題的唯一性 66
2.4.3 熱傳導方程的穩(wěn)定性 66
課后習題 67
第3章 泊松方程 70
3.1 泊松方程與調(diào)和方程 70
3.1.1 方程形式 70
3.1.2 物理背景 71
3.1.3 泊松方程的定解條件 74
3.2 變分原理 75
3.3 調(diào)和方程極坐標系表達與徑向解 78
3.3.1 拉普拉斯算子極坐標系表達 78
3.3.2 調(diào)和方程的徑向解 80
3.4 格林函數(shù)法 81
3.4.1 格林公式的應(yīng)用 81
3.4.2 格林函數(shù)法求解泊松方程.84
3.4.3 格林函數(shù)的性質(zhì)與討論 85
3.5 靜電源像法 86
3.5.1 三維半空間問題靜電源像法 86
3.5.2 球域問題的靜電源像法 88
3.6 狄拉克函數(shù)與基本解 90
3.6.1 狄拉克函數(shù) 90
3.6.2 線性偏微分方程的基本解 92
3.6.3 狄拉克函數(shù)與格林函數(shù) 93
3.7 定解問題的唯一性 93
3.7.1 平均值公式 94
3.7.2 極值原理與狄利克雷問題解的唯一性 95
3.7.3 強極值原理與諾依曼型邊值定解問題解的唯一性 96
3.7.4 能量方法與泊松方程解的唯一性 97
課后習題 97
第4章 二階線性偏微分方程的分類 101
4.1 二階線性偏微分方程的分類 101
4.1.1 二階偏微分方程的標準型 101
4.1.2 二階線性偏微分方程的分類總結(jié) 106
4.1.3 多個自變量二階線性偏微分方程的分類 108
4.2 二階線性偏微分方程的相關(guān)討論 113
課后習題 118
第二部分 進階分析工具之特殊函數(shù)
第5章 貝塞爾函數(shù) 121
5.1 貝塞爾方程的導出與貝塞爾函數(shù) 121
5.1.1 貝塞爾方程的導出 121
5.1.2 第一類貝塞爾函數(shù) 123
5.1.3 第二類貝塞爾函數(shù) 126
5.2 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì) 129
5.2.1 遞推公式 129
5.2.2 貝塞爾函數(shù)的零點 131
5.2.3 近似公式 132
5.2.4 由貝塞爾函數(shù)組成的完備正交系 133
5.2.5 與正余弦函數(shù)性質(zhì)類比 136
5.3 利用貝塞爾函數(shù)求解偏微分方程 138
課后習題 145