數(shù)學(xué)分析 第二版

　　《數(shù)學(xué)分析 第二版》第一章進(jìn)行了全面改寫。從求和談起，逐漸引入積分問題。強(qiáng)調(diào)了將求和轉(zhuǎn)化為求差的基本想法，為積分和微分這一對(duì)矛盾的互相轉(zhuǎn)化埋下了伏筆。在這一章的附錄中我們還簡要介紹了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義。第二章變化不大，對(duì)實(shí)數(shù)系基本性質(zhì)的證明次序做了調(diào)整，Baire綱定理移到第十章中進(jìn)行了統(tǒng)一處理。第三章對(duì)連續(xù)函數(shù)的積分給出了新的處理方法，這里強(qiáng)調(diào)了積分與求和之間的聯(lián)系，求和與求平均值之間的聯(lián)系。利用積分我們很快給出了算術(shù)一幾何平均值不等式、Young不等式以及Holder不等式的證明。利用積分和平均值之間的聯(lián)系，我們還討論了Weierstrass逼近定理以及Bernstein多項(xiàng)式。第四章中，我們很快就給出了Newton-Leibniz公式的證明，緊接著就討論積分的計(jì)算，因此也就不用再重點(diǎn)介紹不定積分了。第五章中，對(duì)于凸函數(shù)引進(jìn)了支撐線的概念，它可以加深對(duì)凸函數(shù)的直觀認(rèn)識(shí)。在函數(shù)作圖中增加了簡單的曲線作圖，從而為積分的幾何應(yīng)用做了一點(diǎn)準(zhǔn)備。第六章是由第一版第六章和第七章合并優(yōu)化而來的。第三章中連續(xù)函數(shù)積分的處理和第四章中Newton-Leibniz公式的處理為這種優(yōu)化提供了基礎(chǔ)。在Riemann積分的基本性質(zhì)中，強(qiáng)調(diào)了階梯逼近和分段線性逼近的思想，重新處理了分部積分和積分第二中值定理。在積分的幾何應(yīng)用中，還介紹了等周不等式。第七章注重?zé)o窮級(jí)數(shù)和廣義積分之間的聯(lián)系，由此可以統(tǒng)一處理許多結(jié)果。鑒于無窮乘積的重要性，我們將它單獨(dú)成節(jié)。在補(bǔ)充內(nèi)容中，我們還簡單地討論了Abel求和、Cesaro求和以及Tauber型定理。第八章考慮了廣義積分與求極限次序的可交換性，為第十五章中無窮區(qū)間上廣義積分可交換次序問題的簡單解決做了準(zhǔn)備。第九章利用分段線性逼近的思想給出了Parseval等式的簡單證明。在進(jìn)一步的討論中還給出了周期的Holder函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的一致收斂性。第十章關(guān)于度量空間的內(nèi)容做了重要的調(diào)整，現(xiàn)在可以在更少的課時(shí)內(nèi)講授完。我們還介紹了壓縮映射原理和Baire綱定理在研究處處連續(xù)但無處可導(dǎo)函數(shù)方面的應(yīng)用。第十一章增加了Lagrange乘數(shù)法的幾何解釋，在補(bǔ)充材料中還介紹了一般歐氏空間中的外積運(yùn)算，為超曲面的定向和面積元的計(jì)算做了準(zhǔn)備。第十二章和第十三章的內(nèi)容僅做了一些微調(diào)。第十四章關(guān)于微分形式的內(nèi)容做了較大的改寫。我們強(qiáng)調(diào)了場(chǎng)的觀念，增加了微分形式與線性代數(shù)之間的聯(lián)系。在Gauss-Green公式的應(yīng)用中增加了Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理和毛球定理。第十五章關(guān)于含參變量積分性質(zhì)的證明做了不少優(yōu)化。對(duì)于Gamma函數(shù)，還給出了Stir-ling漸近公式的簡單證明。在Fourier分析的應(yīng)用中，還介紹了處理Weierstrass函數(shù)的新方法，并且簡要討論了Riemann-Zeta函數(shù)。第二版全書共十五章，分三個(gè)學(xué)期講授時(shí)每學(xué)期安排五章可以講完。除了正文內(nèi)容之外，書中習(xí)題也做了部分更新和調(diào)整。為了鼓勵(lì)學(xué)生刻苦鉆研，去掉了原少數(shù)習(xí)題前的星號(hào)標(biāo)記。

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