實(shí)用偏微分方程（英文版·原書第5版）

第1章　熱傳導(dǎo)方程1
11　引言1
12　一維桿中熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)2
13　邊界條件11
14　平衡溫度分布14
141　給定溫度14
142　絕熱邊界16
15　二維或三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)19
第2章　分離變量法32
21　引言32
22　線性性質(zhì)32
23　在有限端處具有零溫度的熱傳導(dǎo)方程35
231　概述35
232　分離變量35
233　時(shí)變常微分方程37
234　邊值問題38
235　乘積解和疊加原理43
236　正弦函數(shù)的正交性46
237　實(shí)例48
238　小結(jié)50
24　有關(guān)熱傳導(dǎo)方程的例子：其他邊值問題55
241　絕熱端桿中的熱傳導(dǎo)55
242　細(xì)絕熱圓環(huán)中的熱傳導(dǎo)59
243　邊值問題小結(jié)64
25　拉普拉斯方程：求解和定性性質(zhì)67
251　矩形區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程67
252　圓盤內(nèi)的拉普拉斯方程72
253　繞過圓柱體的流體流動（升力）76
254　拉普拉斯方程的定性性質(zhì)79
第3章　傅里葉級數(shù)86
31　引言86
32　收斂定理88
33　傅里葉余弦級數(shù)和傅里葉正弦級數(shù)92
331　傅里葉正弦級數(shù)92
332　傅里葉余弦級數(shù)102
333　用正弦級數(shù)和余弦級數(shù)表示f(x)105
334　偶部和奇部106
335　連續(xù)傅里葉級數(shù)107
34　傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)微分112
35　傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)積分123
36　傅里葉級數(shù)的復(fù)形式127
第4章　波動方程：振動弦與振動膜130
41　引言130
42　弦振動方程的建立130
43　邊界條件133
44　端點(diǎn)固定的振動弦137
45　振動膜143
46　電磁波與聲波的反射與折射145
461　斯涅耳折射定律146
462　反射波與折射波的強(qiáng)度（振幅）148
463　內(nèi)部全反射149
第5章　施圖姆–劉維爾特征值問題151
51　引言151
52　例子151
521　非均勻桿內(nèi)的熱流151
522　圓對稱熱流153
53　施圖姆–劉維爾特征值問題155
531　一般分類155
532　正則施圖姆–劉維爾特征值問題156
533　定理的舉例和說明157
54　例子：非均勻桿中的無熱源熱流163
55　自伴算子和施圖姆–劉維爾特征值問題167
56　瑞利商184
57　例子：非均勻弦的振動189
58　第三類邊界條件192
59　大特征值（漸近行為）207
510　逼近性質(zhì)211
第6章　偏微分方程的有限差分?jǐn)?shù)值法217
61　引言217
62　有限差分與截?cái)嗵├占墧?shù)217
63　熱傳導(dǎo)方程224
631　概述224
632　偏差分方程224
633　計(jì)算226
634　傅里葉–馮·諾伊曼穩(wěn)定性分析228
635　偏差分方程的分離變量和常差分方程的解析解235
636　矩陣記號238
637　非齊次問題242
638　其他數(shù)值格式242
639　其他類型的邊界條件243
64　二維熱傳導(dǎo)方程247
65　波動方程250
66　拉普拉斯方程253
67　有限元法260
671　非正交函數(shù)逼近（偏微分方程的弱形式）260
672　最簡三角形有限元263
第7章　高維偏微分方程268
71　引言268
72　時(shí)間變量的分離269
721　振動膜：任意形狀269
722　熱傳導(dǎo)：任意區(qū)域271
723　小結(jié)272
73　振動矩形膜272
74　特征值問題?φ+φ= 0的定理敘述和說明282
75　格林公式、自伴算子和多維特征值問題287
76　瑞利商和拉普拉斯方程293
761　瑞利商293
762　依賴時(shí)間的熱傳導(dǎo)方程與拉普拉斯方程294
77　振動圓形膜和貝塞爾函數(shù)295
771　概述295
772　分離變量296
773　特征值問題（一維情形）297
774　貝塞爾微分方程299
775　奇異點(diǎn)和貝塞爾微分方程299
776　貝塞爾函數(shù)及其漸近性質(zhì)（在z=0附近）301
777　涉及貝塞爾函數(shù)的特征值問題302
778　振動圓形膜的初值問題304
779　圓對稱情形305
78　貝塞爾函數(shù)的進(jìn)一步討論312
781　貝塞爾函數(shù)的定性性質(zhì)312
782　特征值的漸近公式313
783　貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)曲線314
784　貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表示316
79　圓柱體上的拉普拉斯方程319
791　概述319
792　分離變量320
793　側(cè)面及頂部或底部為零溫度的情形322
794　頂部和底部為零溫度的情形323
795　修正貝塞爾函數(shù)326
710　球內(nèi)的問題和勒讓德多項(xiàng)式330
7101　概述330
7102　分離變量和一維特征值問題330
7103　連帶勒讓德函數(shù)和勒讓德多項(xiàng)式332
7104　徑向特征值問題335
7105　乘積解、振動模式和初值問題335
7106　球內(nèi)部的拉普拉斯方程336
第8章　非齊次問題341
81　引言341
82　有源熱流與非齊次邊界條件341
83　帶齊次邊界條件的特征函數(shù)展開法（微分特征函數(shù)的級數(shù)）347
84　利用格林公式的特征函數(shù)展開法（帶或不帶齊次邊界條件）353
85　受迫振動膜與共振358
86　泊松方程366
第9章　定常問題的格林函數(shù)374
91　引言374
92　一維熱傳導(dǎo)方程374
93　常微分方程邊值問題的格林函數(shù)379
931　一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程379
932　參數(shù)變易法379
933　格林函數(shù)的特征函數(shù)展開法382
934　狄拉克δ函數(shù)及其與格林函數(shù)的關(guān)系384
935　非齊次邊界條件391
936　小結(jié)392
94　弗雷德霍姆擇一性與廣義格林函數(shù)398
941　概述398
942　弗雷德霍姆擇一性400
943　廣義格林函數(shù)402
95　泊松方程的格林函數(shù)409
951　概述409
952　多維狄拉克δ函數(shù)與格林函數(shù)410
953　用特征函數(shù)展開法表示格林函數(shù)與弗雷德霍姆擇一性411
954　格林函數(shù)的直接解法（一維特征函數(shù)）（可選）413
955　用格林函數(shù)解帶非齊次邊界條件的問題415
956　無窮空間格林函數(shù)416
957　用無窮空間格林函數(shù)得到有界區(qū)域的格林函數(shù)419
958　用無窮空間格林函數(shù)求半無窮平面（y>0）的格林函數(shù)：像源法420
959　圓的格林函數(shù)：像源法423
96　擾動特征值問題430
961　概述430
962　數(shù)學(xué)例子431
963　擬圓膜振動432
97　小結(jié)435
第10章　無窮域問題：偏微分方程的傅里葉變換解法437
101　引言437
102　無窮域上的熱傳導(dǎo)方程437
103　傅里葉變換對441
1031　傅里葉級數(shù)恒等式的啟示441
1032　傅里葉變換442
1033　高斯函數(shù)的傅里葉逆變換443
104　傅里葉變換與熱傳導(dǎo)方程450
1041　熱傳導(dǎo)方程450
1042　傅里葉變換熱傳導(dǎo)方程：導(dǎo)數(shù)的變換455
1043　卷積定理457
1044　傅里葉變換性質(zhì)小結(jié)461
105　傅里葉正弦和余弦變換：半無窮區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程463
1051　概述463
1052　半無窮區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程Ⅰ463
1053　傅里葉正弦和余弦變換465
1054　導(dǎo)數(shù)的變換466
1055　半無窮區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程Ⅱ467
1056　傅里葉正弦和余弦變換表469
106　應(yīng)用變換求解的例子473
1061　無窮區(qū)間上的一維波動方程473
1062　半無窮帶上的拉普拉斯方程475
1063　半平面上的拉普拉斯方程479
1064　四分之一平面上的拉普拉斯方程482
1065　平面上的熱傳導(dǎo)方程（二維傅里葉變換）486
1066　二重傅里葉變換表490
107　散射和逆散射495
第11章　波動方程和熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)499
111　引言499
112　波動方程的格林函數(shù)499
1121　概述499
1122　格林公式500
1123　互反性502
1124　使用格林函數(shù)504
1125　波動方程的格林函數(shù)506
1126　格林函數(shù)的另一個(gè)微分方程506
1127　一維波動方程的無窮空間格林函數(shù)和達(dá)朗貝爾解507
1128　三維波動方程的無窮空間格林函數(shù)（惠更斯原理）509
1129　二維無窮空間格林函數(shù)511
11210　小結(jié)511
113　熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)514
1131　概述514
1132　熱傳導(dǎo)方程的非自伴特性515
1133　格林公式516
1134　伴隨格林函數(shù)517
1135　互反性518
1136　用格林函數(shù)表示解518
1137　格林函數(shù)的另一個(gè)微分方程520
1138　擴(kuò)散方程的無窮空間格林函數(shù)521
1139　熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)（在半無窮域上）522
11310　熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)（在有限區(qū)域上）523
第12章　線性和擬線性波動方程的特征線法527
121　引言527
122　一階波動方程的特征線528
1221　概述528
1222　一階偏微分方程的特征線法529
123　一維波動方程的特征線法534
1231　通解534
1232　初值問題（無窮區(qū)域）536
1233　達(dá)朗貝爾解540
124　半無界弦和反射543
125　定長振動弦的特征線法548
126　擬線性偏微分方程的特征線法552
1261　特征線法552
1262　交通流量553
1263　特征線法(Q=0)555
1264　沖擊波558
1265　擬線性舉例570
127　一階非線性偏微分方程575
1271　由波動方程推導(dǎo)出的短時(shí)距方程575
1272　求解均勻介質(zhì)中的短時(shí)距方程和反射波576
1273　一階非線性偏微分方程579
第13章　偏微分方程的拉普拉斯變換解法581
131　引言581
132　拉普拉斯變換的性質(zhì)581
1321　概述581
1322　拉普拉斯變換的奇點(diǎn)582
1323　導(dǎo)數(shù)的變換586
1324　卷積定理587
133　常微分方程初值問題的格林函數(shù)591
134　波動方程的信號問題593
135　有限長度振動弦的信號問題597
136　波動方程及其格林函數(shù)600
137　用復(fù)平面上的圍線積分計(jì)算拉普拉斯逆變換603
138　利用拉普拉斯變換求解波動方程（復(fù)變量）608
第14章　色散波：緩變、穩(wěn)定性、非線性性和擾動法611
141　引言611
142　色散波和群速度612
1421　行波和色散關(guān)系612
1422　群速度Ⅰ615
143　波導(dǎo)617
1431　對f頻率集中周期性源的響應(yīng)620
1432　模式傳播的格林函數(shù)620
1433　模式不傳播的格林函數(shù)621
1434　設(shè)計(jì)思路622
144　光纖623
145　群速度Ⅱ和穩(wěn)定相位法627
1451　穩(wěn)定相位法628
1452　對線性色散波的應(yīng)用630
146　緩變色散波（群速度和焦散曲線）634
1461　色散偏微分方程的近似解634
1462　焦散曲線的形成636
147　波包絡(luò)方程（集中波數(shù)）642
1471　薛定諤方程643
1472　線性化KdV方程645
1473　非線性色散波：KdV方程647
1474　孤立子與逆散射650
1475　非線性薛定諤方程652
148　穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性656
1481　常微分方程和分歧理論簡介656
1482　偏微分方程穩(wěn)定平衡解的基本例子663
1483　偏微分方程的典型不穩(wěn)定平衡點(diǎn)和模式形成664
1484　不適定問題667
1485　微不穩(wěn)定色散波和線性化復(fù)金茨堡–朗道方程668
1486　非線性復(fù)金茨堡–朗道方程670
1487　長波的不穩(wěn)定性67