數(shù)值分析

目錄
第1章 緒論 1
1.1 數(shù)值分析的研究對(duì)象 1
1.2 誤差的來源 1
1.3 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差與有效數(shù)字 2
1.3.1 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差 2
1.3.2 有效數(shù)字 4
1.4 誤差的傳播 5
1.4.1 一元函數(shù)計(jì)算誤差的傳播 5
1.4.2 多元函數(shù)計(jì)算誤差的傳播 6
1.5 在近似計(jì)算中需要注意的一些問題 7
1.5.1 算法的數(shù)值穩(wěn)定性 7
1.5.2 數(shù)值算法設(shè)計(jì)的若干原則 9
習(xí)題1 12
第2章 解線性方程組的直接方法 14
2.1 引言 14
2.2 Gauss消元法 15
2.2.1 Gauss消元法的基本思想 15
2.2.2 Gauss消元法的計(jì)算公式 15
2.2.3 Gauss消元法的計(jì)算量 19
2.3 選主元素的Gauss消元法 20
2.3.1 列主元消元法 20
2.3.2 全主元消元法 21
2.4 Gauss-Jordan消元法 23
2.4.1 Gauss-Jordan消元法的過程 23
2.4.2 方陣求逆 24
2.5 直接三角分解法 25
2.5.1 Gauss消元法的矩陣形式 25
2.5.2 矩陣的三角分解 26
2.5.3 直接三角分解法的計(jì)算公式 29
2.6 平方根法與改進(jìn)的平方根法 31
2.6.1 平方根法 31
2.6.2 改進(jìn)的平方根法 34
2.7 追趕法 36
2.8 方程組的性態(tài)與誤差分析 38
2.8.1 向量與矩陣的范數(shù) 38
2.8.2 條件數(shù)與病態(tài)方程組 41
2.8.3 誤差分析 44
2.8.4 病態(tài)方程組的求解 45
2.9 應(yīng)用舉例 46
習(xí)題2 48
第3章 解線性方程組的迭代法 50
3.1 迭代法概述 50
3.1.1 向量序列與矩陣序列的收斂性 50
3.1.2 迭代法的一般形式 51
3.2 幾種常用的迭代法 52
3.2.1 Jacobi迭代法 52
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法 54
3.2.3 松弛法 55
3.3 迭代法的收斂條件及誤差分析 57
3.3.1 矩陣的譜半徑 57
3.3.2 迭代法的收斂條件 59
3.3.3 誤差估計(jì) 63
3.4 應(yīng)用舉例 64
習(xí)題3 66
第4章 非線性方程與方程組的數(shù)值解法 68
4.1 二分法 68
4.2 迭代法 70
4.2.1 迭代法的基本思想 70
4.2.2 不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其幾何意義 70
4.2.3 迭代法的收斂條件 73
4.2.4 迭代法收斂速度 76
4.2.5 Steffensen方法—簡(jiǎn)單迭代法的加速 77
4.3 Newton迭代法與弦截法 78
4.3.1 Newton迭代法 78
4.3.2 弦截法 81
4.4 拋物線法 82
4.5 非線性方程組的求根 83
4.5.1 不動(dòng)點(diǎn)迭代法 83
4.5.2 Newton迭代法 85
4.6 應(yīng)用舉例 87
習(xí)題4 89
第5章 插值法 91
5.1 插值問題與插值多項(xiàng)式 91
5.1.1 插值問題 91
5.1.2 插值多項(xiàng)式 91
5.2 Lagrange插值 93
5.2.1 線性插值 93
5.2.2 二次插值 94
5.2.3 n次插值 95
5.3 Newton插值 97
5.3.1 差商及其性質(zhì) 97
5.3.2 Newton插值公式 99
5.3.3 差分及其性質(zhì) 102
5.3.4 等距節(jié)點(diǎn)插值公式 104
5.4 Hermite插值 105
5.4.1 Hermite插值公式 105
5.4.2 Hermite插值的唯一性及余項(xiàng) 107
5.4.3 Hermite插值的一般形式 109
5.5 分段低次插值 110
5.5.1 高次多項(xiàng)式插值的Runge現(xiàn)象 110
5.5.2 分段線性插值 111
5.5.3 分段Hermite插值 113
5.6 三次樣條插值 113
5.6.1 樣條插值函數(shù)的定義 114
5.6.2 三彎矩插值法 115
5.6.3 誤差限與收斂性 118
5.7 應(yīng)用舉例 118
習(xí)題5 120
第6章 函數(shù)逼近與曲線擬合 123
6.1 預(yù)備知識(shí) 123
6.1.1 權(quán)函數(shù)與內(nèi)積 123
6.1.2 正交性 124
6.2 常用的正交多項(xiàng)式 126
6.2.1 Legendre多項(xiàng)式 126
6.2.2 第一類Chebyshev多項(xiàng)式 127
6.2.3 第二類Chebyshev多項(xiàng)式 128
6.2.4 Laguerre多項(xiàng)式 129
6.3 函數(shù)的*佳平方逼近 130
6.3.1 *佳平方逼近函數(shù)及其求法 130
6.3.2 基于正交函數(shù)的*佳平方逼近 133
6.4 曲線擬合的*小二乘法 134
6.4.1 問題描述與求解 134
6.4.2 多項(xiàng)式擬合 138
6.4.3 幾種具體的擬合曲線類型 140
6.4.4 用正交多項(xiàng)式作曲線擬合 142
6.5 應(yīng)用舉例 143
習(xí)題6 145
第7章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 148
7.1 求積公式 148
7.1.1 數(shù)值積分的基本思想 148
7.1.2 插值型求積公式 149
7.1.3 代數(shù)精度 150
7.2 Newton-Cotes求積公式 151
7.2.1 Newton-Cotes公式介紹 151
7.2.2 常見的Newton-Cotes公式 152
7.2.3 Newton-Cotes公式的截?cái)嗾`差 153
7.3 復(fù)化求積公式 155
7.3.1 復(fù)化梯形公式 155
7.3.2 復(fù)化Simpson公式 156
7.3.4 逐次分半算法 158
7.4 Romberg積分法 161
7.4.1 Richardson外推法 161
7.4.2 Romberg求積公式 162
7.5 Gauss型求積公式 164
7.5.1 一般理論 164
7.5.2 常用的Gauss型求積公式 167
7.6 數(shù)值微分 171
7.6.1 差商型求導(dǎo)公式 171
7.6.2 插值型求導(dǎo)公式 173
7.6.3 Taylor展開法 176
7.6.4 數(shù)值微分的外推算法 177
7.7 應(yīng)用舉例 178
習(xí)題7 179
第8章 常微分方程的數(shù)值解法 181
8.1 Euler方法與向后Euler方法 183
8.1.1 Euler方法 183
8.1.2 Euler方法的誤差估計(jì) 184
8.1.3 向后Euler方法 185
8.2 梯形方法與改進(jìn)的Euler方法 186
8.2.1 梯形方法 186
8.2.2 改進(jìn)的Euler方法 187
8.3 Runge-Kutta方法 189
8.3.1 Runge-Kutta方法的構(gòu)造思想 189
8.3.2 顯式Runge-Kutta方法 190
8.3.3 隱式Runge-Kutta方法 193
8.4 單步法的相容性、收斂性與穩(wěn)定性 194
8.4.1 相容性 194
8.4.2 收斂性 195
8.4.3 穩(wěn)定性 196
8.5 線性多步法 198
8.5.1 線性多步法的導(dǎo)出 198
8.5.2 常用的線性多步法 199
8.5.3 預(yù)測(cè)-校正方法 201
8.6 一階常微分方程組與高階微分方程 203
8.6.1 一階微分方程組的數(shù)值解法 203
8.6.2 高階微分方程的數(shù)值解法 204
8.7 應(yīng)用舉例 205
習(xí)題8 207
第9章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算 209
9.1 預(yù)備知識(shí) 209
9.2 冪法與反冪法 211
9.2.1 冪法 211
9.2.2 冪法的加速 214
9.2.3 反冪法 216
9.3 Jacobi方法 219
9.4 Householder方法 225
9.4.1 Householder 變換 225
9.4.2 化矩陣為上Hessenberg陣 226
9.4.3 對(duì)稱三對(duì)角矩陣的特征值計(jì)算 230
9.4.4 對(duì)稱三對(duì)角矩陣特征向量的計(jì)算 232
9.5 QR方法 232
9.5.1 矩陣的QR分解 233
9.5.2 QR方法及其收斂性 234
9.5.3 帶原點(diǎn)平移的QR方法 236
9.6 應(yīng)用實(shí)例 237
習(xí)題9 238
第10章 MATLAB數(shù)學(xué)軟件與數(shù)值計(jì)算 240
10.1 MATLAB介紹 240
10.2 MATLAB數(shù)值處理簡(jiǎn)介 241
10.2.1 向量及其運(yùn)算 241
10.2.2 矩陣及其運(yùn)算 242
10.3 MATLAB程序設(shè)計(jì)入門 243
10.3.1 運(yùn)算符與操作符 243
10.3.2 M文件簡(jiǎn)介 245
10.3.3 程序結(jié)構(gòu)與控制 246
10.4 MATLAB繪圖功能簡(jiǎn)介 249
10.4.1 MATLAB的圖形窗口 249
10.4.2 基本二維圖形繪制 250
10.4.3 繪圖輔助函數(shù)—坐標(biāo)軸和標(biāo)注 252
10.4.4 多窗口繪圖函數(shù) 254
10.5 線性方程組的數(shù)值解法 256
10.5.1 直接法 256
10.5.2 迭代法 261
10.6 非線性方程求根 262
10.6.1 二分法 262
10.6.2 Newton法 263
10.7 插值方法 263
10.7.1 Lagrange插值 263
10.7.2 Newton插值 265
10.8 數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近 266
10.8.1 多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合 266
10.8.2 非線性擬合 267
10.8.3 *佳平方逼近 268
10.9 數(shù)值積分 269
10.9.1 非復(fù)化的數(shù)值積分 269
10.9.2 復(fù)化的數(shù)值積分 270
10.10 常微分方程初值問題數(shù)值解 271
10.10.1 單步法 271
10.10.2 線性多步法 274
10.11 方陣的特征值與特征向量 275
10.11.1 冪法 275
10.11.2 Jacobi方法 276
參考文獻(xiàn) 278