隨機(jī)過程教程

目錄
前言
第1章 通用概念 1
1.1 概率空間 2
1.2 隨機(jī)過程 3
1.3 停時(shí) 6
1.4 適應(yīng)過程與循序可測過程 8
1.5 時(shí)變 10
1.6 可選過程 12
1.7 初遇與截口 17
1.8 Kolmogorov連續(xù)性準(zhǔn)則 19
1.9 連續(xù)過程的弱收斂性 22
習(xí)題1 26
第2章 Brown運(yùn)動 30
2.1 定義及構(gòu)造 31
2.2 基本性質(zhì) 35
2.2.1 軌道的H*lder連續(xù)性 35
2.2.2 軌道的平方變差 35
2.2.3 自相似性 38
2.3 Brown運(yùn)動的Markov性 39
2.4 Wiener空間與Wiener積分 51
2.5 經(jīng)典Wiener空間與Cameron-Martin定理 57
習(xí)題2 60
第3章 離散時(shí)間鞅 65
3.1 基本定義 65
3.2 Doob分解 68
3.3 鞅與停時(shí) 69
3.4 平方變差過程 81
3.5 鞅的收斂定理 87
3.6 逆鞅 92
3.7 鞅收斂定理的初步應(yīng)用例子 96
3.7.1 條件期望的計(jì)算 96
3.7.2 無窮維分布的絕對連續(xù)性 98
3.7.3 Kolmogorov大數(shù)定律 102
習(xí)題3 103
第4章 連續(xù)時(shí)間鞅 108
4.1 隨機(jī)區(qū)間與簡單過程 108
4.2 閉區(qū)間上的鞅 109
4.3 左閉右開區(qū)間上的鞅 116
4.4 不連續(xù)鞅的例子 120
4.5 簡單過程的隨機(jī)積分 121
4.6 平方變差過程 124
4.7 局部鞅 128
4.8 半鞅 134
4.9 時(shí)變下的半鞅 134
習(xí)題4 135
第5章 Markov過程與半群 139
5.1 Markov鏈：從一個(gè)例子談起 139
5.2 過程的Markov性與活動概率空間 142
5.3 Markov族 149
5.4 擴(kuò)展Markov性與強(qiáng)Markov族 155
5.5 強(qiáng)Markov性的兩個(gè)應(yīng)用 161
5.5.1 Dynkin公式 161
5.5.2 Kolmogorov-It*不等式 162
5.6 與Markov過程聯(lián)系的半群 164
5.7 由生成元確定Markov過程 170
5.8 Markov過程與鞅 174
5.9 初始分布為任意概率測度的Markov過程 177
5.10 緊空間上的Markov族 180
習(xí)題5 182
第6章 關(guān)于Brown運(yùn)動的隨機(jī)積分 188
6.1 有限區(qū)間的情形 188
6.2 [0，∞)的情形 200
習(xí)題6 200
第7章 關(guān)于鞅的隨機(jī)積分 204
7.1 隨機(jī)Stieltjes積分 204
7.2 簡單過程的隨機(jī)積分 206
7.3 可積函數(shù)類及其逼近 208
7.4 隨機(jī)積分的構(gòu)造及性質(zhì) 212
7.5 關(guān)于局部鞅的隨機(jī)積分 216
7.6 關(guān)于半鞅的隨機(jī)積分 217
7.7 隨機(jī)微分 217
7.8 隨機(jī)積分的積分號下取極限 219
7.9 隨機(jī)積分的Fubini定理 221
7.10 隨機(jī)積分與時(shí)間變換 225
7.11 Stratonovich積分 226
習(xí)題7 227
第8章 It*公式 230
8.1 一個(gè)分析引理 230
8.2 有限變差過程的It*公式 231
8.3 半鞅的It*公式 231
8.4 兩個(gè)直接應(yīng)用 235
8.4.1 常數(shù)變易法——Doss-Sussmann方法 235
8.4.2 狀態(tài)空間改變法——Zvonkin方法 237
習(xí)題8 238
第9章 It*公式的一些重要應(yīng)用 241
9.1 Lévy-Kunita-Watanabe定理 241
9.2 連續(xù)局部鞅作為Brown運(yùn)動的時(shí)變 243
9.3 鞅的隨機(jī)積分表示(關(guān)于既定Brown運(yùn)動)247
9.4 鞅的隨機(jī)積分表示(關(guān)于待定Brown運(yùn)動)249
9.5 指數(shù)鞅與Girsanov定理 252
9.6 鞅的矩估計(jì)——BDG不等式 259
9.7 局部時(shí)與Tanaka公式 264
習(xí)題9 270
第10章 隨機(jī)微分方程 276
10.1 基本記號 278
10.2 解及其唯一性的定義 280
10.3 強(qiáng)解 283
10.4 Lipschitz系數(shù)的方程 286
10.5 Lipschitz條件下強(qiáng)解的存在唯一性 289
10.6 局部Lipschitz系數(shù)的方程 291
10.7 解的Markov性 293
10.8 更一般條件下強(qiáng)解的存在性 296
10.9 對初值的可微性 303
10.10 極限定理與時(shí)間反演 307
10.11 隨機(jī)同胚流 317
習(xí)題10 318
第11章 隨機(jī)微分方程與偏微分方程 323
11.1 基本記號和假設(shè) 324
11.2 橢圓方程 325
11.3 拋物方程 331
習(xí)題11 334
第12章 附錄 336
12.1 不等式 336
12.2 凸函數(shù) 339
12.3 Helly第二定理 340
12.4 特征函數(shù) 340
12.5 遞增函數(shù) 341
12.6 反函數(shù)定理 342
參考文獻(xiàn) 343
索引 348