序與數(shù)：數(shù)概念的形成與演變

第 1 章  緒論  1 
1.1  十九世紀末葉思想者對自然數(shù)觀念的典型解釋  3 
1.1.1  弗雷格在《算術基礎》解釋自然數(shù)  3 
1.1.2  赫爾姆霍茲否定算術知識的先驗性  12 
1.1.3  克羅內克定義自然數(shù)  18 
1.1.4  戴德金論自然數(shù)的本質與含義  20 
1.1.5  皮亞諾算術公理  27 
1.1.6  對前述典型認知的幾點評注  29 
1.2  面臨的基本問題及基本假設  32 
1.2.1  思維過程涉及三種世界  33 
1.2.2  關于抽象與抽象能力  42 
1.2.3  關于數(shù)的哲學思考  44 
第 2 章  比較與排序  49 
2.1  生活中的比較問題  49 
2.2  等同  58 
2.2.1  相同關系  58 
2.2.2  等價類與商集  62 
2.3  關聯(lián)準線性序與自然離散線性序  66 
2.3.1  關聯(lián)準線性序關系  66
2.3.2  線性序  68 
2.3.3  關聯(lián)準線性序之群體效應  69 
2.3.4  關聯(lián)準線性序之提升  70 
2.3.5  一階邏輯之量詞  78 
2.3.6  量詞所轄變元之變化范圍問題  79 
2.3.7  關于抽象：從具體到一般  80 
2.3.8  序結構比較問題  81 
2.3.9  特殊字符串表及其字典序  85 
2.3.10  居民擴展名之等價類中名字的字典序  86 
2.3.11  商集 M/ 中的元素與商集 H0/中元素之比較  88 
2.3.12  竹簡書卷長短比較  89 
2.4  “正”字字符串  92 
2.4.1  從實物標識到“正”字字符串表示  92 
2.4.2  “正”字字符串之有界部分團  95 
第 3 章  序型算術與自然數(shù)  98 
3.1  序同構與序型比較  98 
3.1.1  等勢  98 
3.1.2  保序對應  101 
3.1.3  序同構法則  102 
3.1.4  自然離散線性序之剛性  102 
3.1.5  序型表示問題  106 
3.1.6  有限性與自然數(shù)  107 
3.1.7  “自然數(shù)”之內涵  108 
3.2  算術問題  108 
3.2.1  合并操作與整合操作  108 
3.2.2  無重合序合并與序型加法  109 
3.2.3  序型加法  111 
3.2.4  序型加法保持序型比較關系  112 
3.2.5  整合操作與干支乘積  123 
3.2.6  整合操作的基本性質  125 
3.3  序型算術的實現(xiàn)  126 
3.3.1  加法運算與乘法運算  126 
3.3.2  運算保序規(guī)律  131 
3.3.3  自然數(shù)數(shù)值內涵  134 
第 4 章  正分數(shù)  139 
4.1  平面直線線段長短比較問題  139 
4.1.1  平面直線線段長短比較  139 
4.1.2  平面長度度量假設  144 
4.2  平面整齊矩形面積量  146 
4.2.1  整齊矩形面積度量  146 
4.2.2  長度量之乘法以及面積量  148 
4.2.3  等分直線段與正分數(shù)  149 
4.3  正分數(shù)算術律  151 
4.3.1  發(fā)現(xiàn)正分數(shù)算術律  151 
4.3.2  長度量均分假設  155 
4.3.3  發(fā)現(xiàn)正真分數(shù)大小比較律  155 
第 5 章  幾何量  158 
5.1  發(fā)現(xiàn)非分數(shù)幾何量  158 
5.1.1  單位正方形主對角線長度問題  158 
5.1.2  發(fā)現(xiàn)雙倍面積定理  159 
5.1.3  發(fā)現(xiàn)勾股弦面積定理  162 
5.2  幾何原理  168 
5.2.1  默認假設追問  168 
5.2.2  歐幾里得幾何  169 
5.2.3  劉徽計算中的幾何直觀假設  171 
5.2.4  發(fā)現(xiàn)圓周率  172 
5.2.5  “數(shù)之法出于圓方”  173 
5.2.6  非有理幾何量  174 
5.2.7  無理數(shù)  175 
5.2.8  幾何量與正實數(shù)  175 
5.2.9  平面夾角及其大小比較  176 
5.2.10  平面上夾角的度量  178 
5.2.11  發(fā)現(xiàn)正弦變化律  179 
5.2.12  正弦值與三角形面積  183 
5.2.13  正無理長度  185 
5.2.14  正實數(shù)直線  185 
5.2.15  非負實數(shù)軸與平面直線線段長度  190 
5.2.16  鏡面反射與負數(shù)  192 
5.2.17  整數(shù)直線、分數(shù)直線、實數(shù)直線  192 
5.2.18  實數(shù)軸  195 
第 6 章  向量  198 
6.1  實數(shù)平面與實數(shù)立體幾何空間  198 
6.1.1  笛卡爾直角坐標系  198 
6.1.2  歐幾里得平面參照系  201 
6.1.3  笛卡爾距離空間  203 
6.1.4  立體歐幾里得空間參照系  206 
6.1.5  向量空間  208 
6.1.6  內積空間  214 
6.1.7  高維向量空間中的內積  216 
6.2  向量內積空間上的變換  217 
6.2.1  平移  217 
6.2.2  旋轉  220 
6.2.3  旋轉矩陣  221 
6.2.4  矩陣之代數(shù)運算  223 
6.2.5  旋轉復合  230 
第 7 章  超限序數(shù)  235 
7.1  對應與函數(shù)  235 
7.2  康托建立集合論  239 
7.2.1  認識實變函數(shù)  239 
7.2.2  區(qū)分可排列與不可排列  244 
7.2.3  康托引入超限序數(shù)  246 
7.2.4  公理化之路  254 
7.2.5  集合論語言：形式規(guī)則、形式語義以及形式判斷  256 
7.2.6  無窮集合存在性  259 
7.2.7  笛卡爾乘積以及交、并、差運算  268 
7.2.8  函數(shù)概念以及等價關系概念  271 
7.2.9  集合之勢比較與等勢  274 
7.3  有限數(shù)的集合表示  275 
7.3.1  自然數(shù)大小比較  275 
7.3.2  有限集合  276 
7.3.3  自然數(shù)平面之序與勢  278 
7.3.4  遞歸定義  280 
7.3.5  自然離散線性序表示定理  282 
7.3.6  自然數(shù)算術  285 
7.3.7  整數(shù)及其算術  286 
7.3.8  有理數(shù)算術及其線性序  287 
7.3.9  有理數(shù)基本序列  289 
7.3.10  實數(shù)有序域  291 
7.3.11  希爾伯特“關于實數(shù)概念”  298 
7.4  秩序與序數(shù)  301 
7.4.1  秩序集合  302 
7.4.2  序數(shù)  303 
7.4.3  秩序典型代表問題  306 
7.4.4  序數(shù)算術  309 
7.4.5  秩序化問題  313 
7.4.6  集合論論域累積層次  314 
7.4.7  集合論公理體系 ZFC  315 
7.4.8  基數(shù)  315 
7.4.9  基數(shù)之和與積  319 
第 8 章  無窮小量  321 
8.1  無窮小量與非標準實數(shù)軸  321 
8.2  非標準實數(shù)軸的超冪構造  324 
8.2.1  自然數(shù)集合上的超濾子  324 
8.2.2  實數(shù)軸的一個超冪  325 
8.2.3  自然數(shù)算術非標準模型  328 
索引  330