測度論基礎與高等概率論

目錄
前言
第1章 集合論初步 1
1.1 集合運算 1
1.1.1 集合概念 1
1.1.2 基本運算 2
1.1.3 上極限和下極限 3
1.1.4 集類概念 5
1.2 映射、笛卡兒積與逆像 7
1.2.1 映射 7
1.2.2 示性函數 9
1.2.3 笛卡兒積 10
1.2.4 逆像 13
1.2.5 向量值函數的導數 15
1.3 集合的勢 18
1.3.1 Bernstein定理 18
1.3.2 可數集與不可數集 20
第2章 點集拓撲學初步 24
2.1 度量空間 24
2.1.1 度量空間的定義 24
2.1.2 度量空間中的開集和鄰域 25
2.1.3 完備度量空間 25
2.1.4 Banach 空間 26
2.1.5 乘積度量空間 27
2.2 拓撲空間 29
2.2.1 拓撲空間的定義 29
2.2.2 鄰域 30
2.2.3 基 31
2.2.4 子基 32
2.2.5 制作新拓撲空間的方法 32
2.2.6 閉包、內部和邊界 34
2.2.7 拓撲空間中序列的收斂性 34
2.3 連續(xù)映射 36
2.3.1 度量空間上的連續(xù)映射 36
2.3.2 拓撲空間上的連續(xù)映射 37
2.4 可數性和可分性 40
2.4.1 第一可數空間 40
2.4.2 第二可數空間 41
2.4.3 可分空間 43
2.5 分離性 44
2.5.1 Ti空間 44
2.5.2 Hausdorff空間 44
2.5.3 正規(guī)空間 44
2.6 緊性 47
2.6.1 緊空間 47
2.6.2 弱于緊性的幾種空間 49
2.7 度量空間中的緊性特征 52
2.7.1 Lebesgue數 52
2.7.2 完全有界集 53
2.7.3 一般度量空間中的緊性特征 55
2.7.4 歐氏空間中的緊性特征 56
第3章 集類 58
3.1 幾種常見的集類 58
3.1.1 幾個術語 58
3.1.2 半環(huán) 59
3.1.3 代數 60
3.1.4 *代數 60
3.1.5 單調類 61
3.1.6 入類 61
3.2 單調類定理和π-λ定理 63
3.2.1 生成元 63
3.2.2 單調類定理 64
3.2.3 π-λ定理 65
3.2.4 關于集合的典型方法 65
3.3 生成*代數的幾種常見方法 66
3.3.1 由一族*代數生成*代數 66
3.3.2 逆像*代數 67
3.3.3 跡*代數 67
3.3.4 可測空間與可測拓撲空間 68
3.4 與R相關的Borel*代數的結構 69
3.4.1 Rd上的Borel*代數的結構 69
3.4.2 C上的Borel*代數的結構 71
3.4.3 *上的Borel*代數的結構 72
第4章 測度與概率測度 76
4.1 測度的定義及基本性質 76
4.1.1 測度的定義 76
4.1.2 半環(huán)上的有限可加測度 78
4.1.3 半環(huán)上的測度 79
4.1.4 有限可加測度成為測度的條件 81
4.1.5 *有限測度 82
4.1.6 測度空間 82
4.2 測度從半環(huán)到*代數的擴張 85
4.2.1 外測度 85
4.2.2 由外測度誘導的測度 86
4.2.3 由半環(huán)上的測度誘導的外測度 87
4.2.4 測度擴張定理 89
4.3 測度空間的完備化 91
4.3.1 完備測度空間 91
4.3.2 測度空間的*小完備化 92
4.3.3 完備化的其他常見操作方法及等價性 94
4.3.4 與外測度有關的完備化 95
4.4 d 維歐氏空間中的L-S測度 97
4.4.1 從L-S函數到L-S測度 97
4.4.2 從L-S測度到L-S函數 101
4.4.3 有限測度與準分布函數的一一對應關系 102
4.4.4 連續(xù)點與連續(xù)集 103
4.5 d 維歐氏空間中的L測度 105
4.5.1 L函數與L測度 105
4.5.2 L測度的平移不變性 106
4.5.3 L測度的反射不變性 107
4.5.4 Rd中的非L可測集 108
4.5.5 三分Cantor集及其L測度 109
第5章 可測映射與隨機變量 111
5.1 可測映射 111
5.1.1 可測映射的定義 111
5.1.2 由映射生成*代數 112
5.2 可測函數 113
5.2.1 可測函數的定義 113
5.2.2 Baire*代數 114
5.2.3 可測函數的簡單判別法 114
5.2.4 可測函數的基本性質 115
5.2.5 可測函數的極限性質 117
5.2.6 向量值可測函數 118
5.2.7 復值可測函數 119
5.3 簡單可測函數和可測函數的結構性質 121
5.3.1 簡單可測函數 121
5.3.2 可測函數的結構性質 121
5.3.3 關于可測函數的典型方法 124
5.4 像測度和概率分布 126
5.4.1 像測度 126
5.4.2 從隨機變量到分布函數 127
5.4.3 從分布函數到隨機變量 129
5.4.4 復值隨機變量 130
第6章 幾乎處處收斂和依測度收斂 131
6.1 幾乎處處收斂及其基本列 131
6.1.1 幾乎處處成立 131
6.1.2 幾乎處處收斂 132
6.1.3 幾乎處處收斂的基本列 133
6.2 幾乎一致收斂 136
6.3 依測度收斂及其基本列 138
6.3.1 依測度收斂 138
6.3.2 依測度收斂的基本列 139
6.3.3 依概率收斂 142
6.3.4 子序列原理 144
第7章 Lebesgue積分與數學期望 147
7.1 Lebesgue積分的定義 147
7.1.1 非負簡單可測函數的L積分 147
7.1.2 非負可測函數的L積分 150
7.1.3 一般可測函數的L積分 151
7.1.4 復值可測函數的L積分 152
7.1.5 數學期望和方差 152
7.2 Lebesgue積分的性質 153
7.2.1 基本性質 153
7.2.2 可積性準則 157
7.3 三大積分收斂定理 158
7.3.1 單調收斂定理和典型方法 159
7.3.2 Fatou引理 163
7.3.3 控制收斂定理 164
7.4 Stieltjes積分 169
7.4.1 L-S積分 169
7.4.2 R-S積分 170
7.4.3 反常R-S積分 177
第8章 不定積分和符號測度 180
8.1 符號測度與Hahn-Jordan分解 180
8.1.1 不定積分 180
8.1.2 符號測度的定義 181
8.1.3 符號測度的Hahn-Jordan分解 183
8.1.4 符號測度的積分 187
8.2 絕對連續(xù)與Radon-Nikoym定理 189
8.2.1 絕對連續(xù) 189
8.2.2 Radon-Nikodym定理 190
8.3 相互奇異與Lebesgue分解定理 199
8.3.1 相互奇異 199
8.3.2 Lebesgue分解定理 199
8.4 分布函數的類型及分解 201
8.4.1 Rd上有限Borel測度的類型及分解 201
8.4.2 分布函數的類型 203
8.4.3 分布函數的分解 206
8.5 左連續(xù)逆和均勻分布的構造 207
8.5.1 左連續(xù)逆 207
8.5.2 均勻分布的構造 208
第9章 Lebesgue空間與一致可積性 211
9.1 幾個重要的積分不等式 211
9.1.1 Lebesgue空間的定義 211
9.1.2 積分形式的cr不等式 212
9.1.3 Jensen不等式 213
9.1.4 Kimball不等式 215
9.1.5 Holder不等式 216
9.1.6 Minkowski不等式 217
9.2 三類Lebesgue空間 219
9.2.1 函數空間Lp 220
9.2.2 函數空間* 222
9.2.3 符號測度空間 223
9.3 一致可積族 226
9.3.1 一致可積的定義 226
9.3.2 一致可積準則 227
9.3.3 Lp收斂準則 229
第10章 乘積可測空間上的測度與積分 232
10.1 乘積可測空間 232
10.1.1 有限乘積可測空間 232
10.1.2 任意乘積可測空間 232
10.1.3 與K有關的幾個乘積*代數 235
10.2 有限個測度空間的乘積 237
10.2.1 截口 238
10.2.2 乘積測度 240
10.3 Tonelli定理和Fubini定理 244
10.3.1 Tonelli定理 244
10.3.2 Fubini定理 246
10.4 無窮乘積可測空間上的概率測度 249
10.4.1 可數個概率空間的乘積 249
10.4.2 Kolmogorov相容性定理 251
10.4.3 任意多個概率空間的乘積 255
第11章 局部緊Hausdorff空間上的測度 257
11.1 局部緊Hausdorff空間上的連續(xù)函數 257
11.1.1 認識局部緊Hausdorff空間 257
11.1.2 局部緊Hausdorff空間上的連續(xù)函數 259
11.2 局部緊Hausdorff空間上的測度與Riesz表現定理 260
11.2.1 正則測度 260
11.2.2 Radon測度 263
11.2.3 Riesz表現定理 263
11.3 用連續(xù)函數逼近可測函數 269
11.3.1 引理9.20的深化 269
11.3.2 Luzin定理 270
11.4 Radon乘積測度 271
11.4.1 Radon乘積測度的定義 271
11.4.2 關于Radon乘積測度積分的Fubini定理 276
第12章 弱收斂 281
12.1 度量空間上有限測度的基本性質 281
12.1.1 基本性質 281
12.1.2 單個有限測度的胎緊性 283
12.2 度量空間上有限測度的弱收斂 284
12.2.1 弱收斂的定義 284
12.2.2 Portemanteau定理 284
12.2.3 連續(xù)映射定理 286
12.3 R上有界L-S函數的弱收斂 288
12.3.1 L-S函數弱收斂的定義 288
12.3.2 Helly弱緊準則 288
12.3.3 Helly-Bray定理 290
12.4 與R相關的度量空間上概率測度的弱收斂 295
12.4.1 弱收斂的充分條件 295
12.4.2 B（Rd）上概率測度的弱收斂 297
12.4.3 B（R*）上概率測度的弱收斂 298
12.5 隨機向量的依分布收斂 300
12.5.1 依分布收斂的定義 300
12.5.2 Slutzky定理 302
12.5.3 依分布收斂與依概率收斂的關系 303
12.6 左連續(xù)逆的收斂性和Skorohod表示定理 305
12.6.1 左連續(xù)逆的收斂性 305
12.6.2 Skorohod表示定理 306
12.7 相對緊、胎緊和Prokhorov定理 307
12.7.1 概率測度族的相對緊性 307
12.7.2 概率測度族的胎緊性 307
12.7.3 Prokhorov定理 308
參考文獻 314
索引 315