數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）

目錄
前言
第1章　集合與函數(shù)　1
1.1　集合　1
1.1.1　集合的概念　1
1.1.2　包含關(guān)系　2
1.1.3　集合的運(yùn)算　2
1.1.4　有限集與無(wú)限集　3
1.1.5　集合的笛卡兒乘積　5
1.2　實(shí)數(shù)　5
1.2.1　實(shí)數(shù)的無(wú)限小數(shù)表示與順序　6
1.2.2　實(shí)數(shù)系的連續(xù)性　9
1.3　函數(shù)　14
1.3.1　函數(shù)的概念　14
1.3.2　初等函數(shù)　15
1.3.3　函數(shù)的分段表示、隱式表示以及參數(shù)表示　17
1.3.4　函數(shù)的簡(jiǎn)單特性　20
1.3.5　由已知函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)的方法　21
1.3.6　幾個(gè)常用不等式　24
第2章　數(shù)列極限　28
2.1　數(shù)列極限的概念與性質(zhì)　28
2.1.1　數(shù)列極限的定義　28
2.1.2　數(shù)列極限的性質(zhì)　36
2.2　無(wú)窮大量　44
2.2.1　無(wú)窮大量的概念　44
2.2.2　無(wú)窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算　45
2.2.3　Stolz定理　47
2.3　單調(diào)收斂原理及應(yīng)用　53
2.3.1　單調(diào)收斂原理　53
2.3.2　無(wú)理數(shù)e和歐拉常數(shù)c　55
2.4　實(shí)數(shù)系基本定理　60
2.4.1　閉區(qū)間套定理　60
2.4.2　有限覆蓋定理　61
2.4.3　致密性定理　63
2.4.4　柯西收斂原理　65
2.4.5　實(shí)數(shù)系基本定理的等價(jià)性　69
2.5　數(shù)列的上極限與下極限　71
2.5.1　上極限與下極限的概念與性質(zhì)　71
2.5.2　上極限與下極限的運(yùn)算　75
2.5.3　上極限和下極限的等價(jià)定義　79
第3章　函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)　83
3.1　函數(shù)極限　83
3.1.1　函數(shù)極限的定義　83
3.1.2　函數(shù)極限的性質(zhì)　86
3.1.3　函數(shù)極限概念的推廣　90
3.1.4　函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系　97
3.1.5　函數(shù)極限的柯西收斂原理　100
3.2　函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)　104
3.2.1　函數(shù)的連續(xù)與間斷　104
3.2.2　間斷點(diǎn)的類(lèi)型　106
3.2.3　函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)和運(yùn)算　109
3.2.4　初等函數(shù)的連續(xù)性　112
3.3　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)　114
3.3.1　有界性定理　114
3.3.2　零點(diǎn)存在定理　115
3.3.3　*值定理　116
3.3.4　介值定理　117
3.3.5　一致連續(xù)　118
3.4　無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較　123
3.4.1　無(wú)窮小量的比較　123
3.4.2　無(wú)窮大量的比較　125
第4章　導(dǎo)數(shù)與微分　129
4.1　導(dǎo)數(shù)　129
4.1.1　引例　129
4.1.2　導(dǎo)數(shù)概念　130
4.1.3　導(dǎo)數(shù)的幾何意義　134
4.1.4　可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系　134
4.2　求導(dǎo)數(shù)的方法　136
4.2.1　導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則　137
4.2.2　反函數(shù)的求導(dǎo)法　139
4.2.3　復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法　140
4.2.4　隱函數(shù)的求導(dǎo)法　144
4.2.5　由參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導(dǎo)法　146
4.3　微分　149
4.3.1　微分的概念　149
4.3.2　微分的幾何意義　151
4.3.3　微分的運(yùn)算法則和基本微分公式　152
4.3.4　一階微分的形式不變性　153
4.3.5　微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用　155
4.4　高階導(dǎo)數(shù)與高階微分　157
4.4.1　高階導(dǎo)數(shù)　157
4.4.2　高階微分　165
第5章　微分中值定理及應(yīng)用　169
5.1　微分中值定理　169
5.1.1　費(fèi)馬定理　169
5.1.2　羅爾定理　170
5.1.3　拉格朗日中值定理　172
5.1.4　柯西中值定理　176
5.2　洛必達(dá)法則　180
5.2.1　*及*待定型　180
5.2.2　其他待定型　185
5.3　泰勒公式及應(yīng)用　190
5.3.1　帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式　191
5.3.2　帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式　197
5.3.3　泰勒公式的應(yīng)用　199
5.4　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　206
5.4.1　函數(shù)的單調(diào)性　206
5.4.2　函數(shù)的極值　208
5.4.3　函數(shù)的*值　210
5.4.4　函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)　212
5.4.5　漸近線(xiàn)　217
5.4.6　函數(shù)作圖　219
第6章　不定積分　225
6.1　原函數(shù)與不定積分　225
6.1.1　原函數(shù)與不定積分的概念　225
6.1.2　基本積分表　227
6.1.3　不定積分的基本性質(zhì)　228
6.2　換元積分法　231
6.2.1　第一類(lèi)換元法　231
6.2.2　第二類(lèi)換元法　236
6.3　分部積分法　240
6.4　有理函數(shù)的不定積分及應(yīng)用　248
6.4.1　有理函數(shù)的不定積分　248
6.4.2　可化為有理函數(shù)的不定積分　255
第7章　定積分　262
7.1　定積分的概念　262
7.1.1　引例　262
7.1.2　定積分的定義　265
7.1.3　定積分的幾何意義　267
7.2　可積性問(wèn)題　269
7.2.1　可積的必要條件　269
7.2.2　達(dá)布和　270
7.2.3　可積準(zhǔn)則　274
7.2.4　可積函數(shù)類(lèi)　277
7.2.5　再論可積性準(zhǔn)則　281
7.3　定積分的性質(zhì)　283
7.4　微積分基本定理　294
7.4.1　變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位置函數(shù)與速度之間的聯(lián)系　294
7.4.2　變限定積分　295
7.4.3　微積分基本定理　298
7.5　定積分的換元法和分部積分法　305
7.5.1　定積分的換元法　305
7.5.2　定積分的分部積分法　313
7.6　定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用　319
7.6.1　微元法　319
7.6.2　平面圖形的面積　320
7.6.3　平行截面面積已知的立體的體積　326
7.6.4　平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)　329
7.6.5　旋轉(zhuǎn)曲面的面積　332
7.7　定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用　335
7.7.1　平面曲線(xiàn)弧與平面圖形的質(zhì)心　336
7.7.2　轉(zhuǎn)動(dòng)慣量　340
7.7.3　變力沿直線(xiàn)所做的功　343
7.8　定積分的近似計(jì)算　344
7.8.1　梯形公式　344
7.8.2　拋物線(xiàn)公式　347
第8章　反常積分　351
8.1　無(wú)窮積分的概念和性質(zhì)　351
8.1.1　無(wú)窮積分的概念　351
8.1.2　無(wú)窮積分的性質(zhì)　353
8.1.3　無(wú)窮積分的計(jì)算　356
8.2　無(wú)窮積分的斂散性判別法　362
8.2.1　非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的斂散性判別法　362
8.2.2　任意函數(shù)無(wú)窮積分的斂散性判別法　367
8.3　瑕積分　377
8.3.1　瑕積分的概念　377
8.3.2　瑕積分的斂散性判別法　380
8.3.3　瑕積分的計(jì)算　385
部分習(xí)題答案與提示　389