代數(shù)學(xué)教程 第三卷：數(shù)論原理

第一章  自然數(shù)理論//1
§1  自然數(shù)  //1
1.1  數(shù)和數(shù)數(shù)  //1
1.2  自然數(shù)及其運(yùn)算  //3§2  自然數(shù)的序  //8
2.1  最小數(shù)原理與數(shù)學(xué)歸納法  //8
2.2  歸納定義·若干個數(shù)的和與積  //11
§3  自然數(shù)的整除性理論  //17
3.1  自然數(shù)的整除性  //17
3.2  輾轉(zhuǎn)相除法  //19
3.3  素數(shù)  //20
§4  自然數(shù)的公理  //24
4.1  自然數(shù)的公理系統(tǒng)  //24
4.2  自然數(shù)的運(yùn)算  //25
4.3  關(guān)于自然數(shù)公理系統(tǒng)的評論  //32
§5  記數(shù)制度  //37
5.1  制度數(shù)  //37
5.2  研究在制度數(shù)上運(yùn)算的方法·數(shù)的比較  //40
5.3  加法·減法  //43
5.4  乘法·除法  //47
5.5  從一個記數(shù)制度換到另一個  //51
第二章  整數(shù)環(huán)//56
§1  整數(shù)的定義  //56
1.1  算術(shù)和代數(shù)中的擴(kuò)張?jiān)瓌t·等價關(guān)系的基本定理  //56
1.2  整數(shù)環(huán)的定義  //59
1.3  整數(shù)的性質(zhì)  //67§2  整數(shù)的整除性//71
2.1  整數(shù)的整除性理論  //71
2.2  不可分解的整數(shù)·整數(shù)的唯一分解定理  //75
2.3  半交換環(huán)  //77
第三章  有理數(shù)域//81
§1  有理數(shù)域的定義  //81
1.1  前言·有理數(shù)的定義  //81
1.2  有理數(shù)域的建立  //83
§2  有理數(shù)的性質(zhì)  //88
2.1  有理數(shù)的性質(zhì)  //88
2.2 n進(jìn)有理數(shù)  //94
2.3  商域  //97
第四章  實(shí)數(shù)域//99
§1  實(shí)數(shù)域的第一種定義  //99
1.1  前言·連續(xù)性的第一種表述  //99
1.2  有理數(shù)域的不連續(xù)性·實(shí)數(shù)域的定義  //104
§2  實(shí)數(shù)域的戴德金構(gòu)造  //110
2.1  分割集的序  //110
2.2  分割的加法運(yùn)算  //113
2.3  分割加法的逆·減法運(yùn)算  //115
2.4  分割的乘法運(yùn)算  //118
2.5  分割的除法運(yùn)算  //121
2.6  實(shí)數(shù)集R的密集性與連續(xù)性  //126 §3 實(shí)數(shù)域的第二種定義 //130 3.1 數(shù)列的極限·有理數(shù)域的不完備性 //130 3.2 連續(xù)性的第二種表述 //141 §4 實(shí)數(shù)域構(gòu)造的康托方法 //145 4.1 實(shí)數(shù)域的定義及其性質(zhì) //145 4.2 實(shí)數(shù)域的構(gòu)造//149 4.3 實(shí)數(shù)的性質(zhì) //157 §5 實(shí)數(shù)域的公理化定義 //168 5.1 實(shí)數(shù)域的公理化定義 //168 5.2 兩種連續(xù)公理的統(tǒng)一 //174 §6 用小數(shù)書寫實(shí)數(shù) //180 6.1 基本定理·第一部分的證明//180 6.2 第二部分的證明 //186 §7 連分?jǐn)?shù)理論 //193 7.1 引言·連分?jǐn)?shù)的基本概念 //193 7.2 漸近分?jǐn)?shù) //196 7.3 無限連分?jǐn)?shù) //200 7.4 以自然數(shù)為元素的連分?jǐn)?shù) //204 7.5 用連分?jǐn)?shù)表示實(shí)數(shù) //207 7.6 漸近分?jǐn)?shù)作為最佳逼近 //210 7.7 二次無理數(shù)和循環(huán)連分?jǐn)?shù) //217 7.8 連分?jǐn)?shù)的幾何解釋 //219 第五章 復(fù)數(shù)域//222 §1 復(fù)數(shù) //222 1.1 引言·復(fù)數(shù)域的定義 //222 1.2 復(fù)數(shù)域的構(gòu)造 //225 §2 復(fù)數(shù)的性質(zhì) //229 2.1 復(fù)數(shù)的三角形式與幾何表示法 //229 2.2 復(fù)數(shù)的開方 //235 2.3 共軛復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的模//238 §3  超復(fù)數(shù)  //243
3.1  超復(fù)數(shù)系//243
3.2  四元數(shù)  //246
3.3  弗羅貝尼烏斯定理  //252
§4  復(fù)數(shù)的歷史發(fā)展  //258
4.1  復(fù)數(shù)的起源  //258
4.2  復(fù)數(shù)的發(fā)展//260
第六章  代數(shù)數(shù)域//264
§1  代數(shù)數(shù)與超越數(shù)  //264
1.1  代數(shù)數(shù)與超越數(shù)  //264
1.2  數(shù)e和π的超越性·代數(shù)數(shù)域的可數(shù)性  //267
1.3  代數(shù)數(shù)的極小多項(xiàng)式  //274
1.4代數(shù)數(shù)的性質(zhì)  //276
§2  高斯整數(shù)的整除性理論  //279
2.1  高斯整數(shù)環(huán)·高斯整數(shù)的整除性·高斯整數(shù)的范數(shù)  //279
2.2  高斯整數(shù)環(huán)的單位·高斯素數(shù)  //280
2.3  高斯整數(shù)的帶余除法和最大公因數(shù)  //282
2.4  高斯整數(shù)的唯一因子分解  //286 §3  代數(shù)整數(shù)的整除性理論  //288
3.1  代數(shù)整數(shù)環(huán)  //288
3.2  有理數(shù)域上的代數(shù)數(shù)域  //291
3.3  代數(shù)數(shù)域的基底  //294
3.4  代數(shù)整數(shù)環(huán)中的算術(shù)  //298
3.5  二次代數(shù)整數(shù)的因子分解  //300 §4  理想數(shù)的唯一分解定理  //303
4.1  理想數(shù)的概念與乘法  //303
4.2  理想數(shù)的唯一分解定理及其應(yīng)用//308 參考文獻(xiàn)  //312