矢量有限元方法或稱為基于棱邊的有限元方法(Edge-based FEM )將自由度賦予單元棱邊而非單元節(jié)點(diǎn), 使得邊界條件的加載非常方便; 在尖劈頂點(diǎn)不會出現(xiàn)奇點(diǎn); 合理選擇基函數(shù), 直接模擬離散單元內(nèi)矢量場而非位函數(shù)或矢量場的分量, 保證矢量場的散度為零, 從而克服了傳統(tǒng)有限元方法所存在的偽解現(xiàn)象。相對于經(jīng)典的標(biāo)量有限元法, 矢量有限元法還有如下優(yōu)點(diǎn): ①它自然滿足電場或磁場在介質(zhì)分界面上的切向連續(xù)性條件; ②由于棱邊與棱邊的耦合弱于節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的耦合, 因而所得到的總體矩陣具有較少的非零元和較大的稀疏度, 從而減少了計(jì)算量。

矢量有限元分析步驟與標(biāo)量有限元法分析過程相同, 唯一有區(qū)別的是在各個離散單元內(nèi), 矢量有限元通過矢量基函數(shù)直接離散矢量場, 而標(biāo)量有限元方法應(yīng)用標(biāo)量基函數(shù)離散標(biāo)量場。本章是矢量有限元的基礎(chǔ), 從Maxwell方程組出發(fā), 分析了邊界條件、準(zhǔn)靜態(tài)極限下的電場矢量波動方程和三維邊值問題, 推導(dǎo)了三維MT的伽遼金有限元公式系統(tǒng), 建立起三維MT矢量有限元算法, 并選擇幾個典型計(jì)算模型來驗(yàn)證算法的正確性。

2.1 MT的三維邊值問題

2.1.1 Maxwell方程組

Maxwell方程組是描述電磁場的一組基本的經(jīng)驗(yàn)公式, 含有彼此獨(dú)立的4個方程, 分別反映了4條基本的物理定律, 其基本形式如下: 

麥克斯韋方程組建立了場強(qiáng)矢量、 電流密度及電荷密度之間的關(guān)系。作為確定電磁場和電荷、 電流系統(tǒng)運(yùn)動的完整方程組, 除了Maxwell方程組和電流連續(xù)性方程之外還必須補(bǔ)充幾個關(guān)系式以給出電場強(qiáng)度E和電位移矢量D、 電場強(qiáng)度E和電流密度j以及磁場強(qiáng)度H和磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間的關(guān)系。這幾個關(guān)系與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān), 稱為物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系, 即: