2.3 三維MT矢量有限元分析

2.3.1 網(wǎng)格剖分

有限元法是求解工程問(wèn)題的一種近似數(shù)值方法, 近年來(lái)在工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。這種技術(shù)的應(yīng)用依賴于對(duì)區(qū)域的離散, 即對(duì)連續(xù)體進(jìn)行離散化, 這是數(shù)值解得到應(yīng)用的關(guān)鍵。這種離散提供了幾何簡(jiǎn)化單元集合作為整個(gè)復(fù)雜區(qū)域的近似。為使離散出的網(wǎng)格能更精確地逼近連續(xù)區(qū)域和有限元的結(jié)果在預(yù)定的誤差范圍內(nèi), 應(yīng)保證離散化后得到質(zhì)量較高的網(wǎng)格, 為此, 提出了許多方法來(lái)生成有限元網(wǎng)格。相比于四面體網(wǎng)格單元, 六面體單元, 特別是協(xié)調(diào)六面體單元, 因?yàn)槠湟韵聝?yōu)點(diǎn)而得到廣泛的關(guān)注: ①六面體單元可以給形函數(shù)提供附加的項(xiàng), 以提高解的精度; ②可以在不失去精度的情況下, 提供直接的尺寸; ③六面體網(wǎng)格可以降低整體單元的數(shù)量。大多數(shù)現(xiàn)在使用的六面體網(wǎng)格生成算法存在一定程度上的局限性, 即它們只能應(yīng)用于某類幾何體(區(qū)域)。

在保證計(jì)算精度的前提下, 考慮到實(shí)現(xiàn)的方便采用結(jié)構(gòu)化的六面體單元對(duì)模型進(jìn)行剖分, 針對(duì)結(jié)構(gòu)化的六面體三維模型選擇雙線性插值。這樣選擇主要是考慮到電磁場(chǎng)水平分量的連續(xù)性, 采用六面體單元能夠取得更高的精度, 同時(shí)也有利于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。

坐標(biāo)系取為如圖2-3中所示的一樣, 向右為x軸正方向, 向前為y軸正方向, 向下為z軸正方向。為了模擬的需要應(yīng)該對(duì)中心區(qū)域等距離剖分或者取較小的剖分尺寸進(jìn)行剖分, 遠(yuǎn)處可適當(dāng)加大剖分單元的尺寸。

2.3.2 三維矢量形函數(shù)

將積分區(qū)域用六面體單元對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散所形成的網(wǎng)格為結(jié)構(gòu)網(wǎng)格, 雖然不能模擬任意的三維空間。但由于它的基函數(shù)模型簡(jiǎn)單, 易于理解, 且操作容易, 應(yīng)用這種基函數(shù)對(duì)一些規(guī)則目標(biāo)進(jìn)行分析, 仍不失為一種較好選擇。

考慮圖2-4所示的矩形塊單元, 它在x, y, z方向的邊長(zhǎng)分別記為a、 b和c, 其中心坐標(biāo)為(xec, yec, zec)。通過(guò)分配切向場(chǎng)分量給單元的每一條邊, 單元內(nèi)x, y, z三個(gè)方向上場(chǎng)分量可分別表示為: