新譯幾何原本序代曾文正公　　　

張文虎

幾何原本前六卷明徐文定公受之西洋利瑪竇氏同時李涼庵匯入天學(xué)初函而圜容較義測量法義諸書其引幾何頗有出六卷外者學(xué)者因以不見全書為憾咸豐閑海甯李壬叔始與西士偉烈亞力續(xù)譯其后九卷復(fù)為之訂其舛誤此書遂為完帙松江韓綠卿嘗刻之印行無幾而板毀于寇壬叔從余安慶軍中以是書予曰此算學(xué)家不可少之書失今不刻行復(fù)絕矣會余移駐金陵因?qū)偃墒迦『缶啪碇匦８犊^思無前六卷則初學(xué)無由得其蹊徑而亂后書籍蕩泯天學(xué)初函世亦稀覯近時廣東海山仙館刻本紕繆實多不足貴重因并取六卷者屬校刊之蓋我中國算書以九章分目皆因事立名各為一法學(xué)者泥其而求之往往畢生習(xí)算知其然而不知其所以然遂有苦其繁而視為絕學(xué)者無他徒眩其法而不知求其理也傳曰物生而后有象象而后有滋滋而后有數(shù)然則數(shù)出于象觀其象而通其理然后立法以求其數(shù)則雖未前人已成之法刱而設(shè)之若合符契至于探賾索隱推廣古法之所未備則益遠(yuǎn)而無窮也幾何原本不言法而言理括一切有形而概之曰點線面體點線面體者象也點相引而成線線相遇而成面面相疊而成體而線與線面與面體與體其形有相兼有相似其數(shù)有和有較有有等有無等有有比例有無比例洞悉乎點線面體而御之以加減乘除譬諸閉門造車出門而合轍也奚敝敝然逐物而求之哉然則九章可廢乎非也學(xué)者通乎聲音訓(xùn)詁之端而后古書之奧衍者可讀也明乎點線面體之理而后數(shù)之繁難者可通也九章之法各適其用幾何原本則徹乎九章立法之源而凡九章所未及者無不賅也致其知于此而驗其用于彼其如肆力小學(xué)而收效于籍者歟

象數(shù)一原序一　　　

項名達(dá)

方圜率古不相通也徑求周以勾股衍算不易割圜弧矢率又甚西人八妙矣求八必資六宗三要二簡法非可徑求所以然者方有盡圜無窮勢難強合也自杜氏術(shù)出而方圜之率始通其術(shù)用連比例一率半徑二率通弦三率倍矢由是遞求諸率有徑即得周有弦矢即得弧有弧亦即得弦矣其算捷其數(shù)亦最真顧是術(shù)也梅氏赤水遺珍載焉而未釋明靜庵先生捷法解釋焉而未抉其原當(dāng)自為一書非正釋也自董氏術(shù)出而方圜率相通之理始顯術(shù)凡四曰求倍分弦矢求析分弦矢審定乘除法以明率數(shù)倍分率圜所以通方也析分率方所以通圜也其釋倍分率以方錐堆而方錐堆實出于三角堆弦之二率即兩堆根相并數(shù)四率即兩立積相并數(shù)矢之三率即兩平積相并數(shù)五率即兩三乘積相并數(shù)四五率以下多乘積以還莫不如是故遞次乘除皆求堆積法也而即以之求弦矢弦之分有奇無偶矢之分奇偶俱全至析分率則三角堆無其數(shù)即假倍分之率較量而反釋之可為獨具只眼矣所疑者堆積既與率數(shù)合何以有倍分無析分倍分中弦率又何以有奇分無偶分且弦矢聯(lián)于圜中于三角堆何與蓄是疑有年丁酉歸自苕南舟中偶念此恍然曰三角堆數(shù)起于一遞加一得堆根遞加根得平積遞加平積得立積蓋遞加數(shù)也弦矢率由圜中兩等邊三角挨次比例而生亦起于半徑之一半徑即一率遞加一率得二率遞加二率得三率遞加三率得四率亦遞加數(shù)也數(shù)有整必有零起整分者曰整數(shù)遞加祗一式即三角堆相連兩根積相并與倍分矢率倍分中奇分弦率等數(shù)起零分者曰零數(shù)遞加有無量式不可以三角堆名依式推衍倍分中偶分弦率及析分弦矢率實參列其間不惟若是倍分者一分弧之幾常以一為分母析分者幾分弧之一常以一為分子今得零分則分子母不必定一任設(shè)幾分弧之幾無不可求因立此弧求他弧兩術(shù)以補所未備又不惟若是分子母既可任設(shè)則六十度通弦倍矢與半徑等諸率齊同取為分母任設(shè)某度為分子并諸率本數(shù)可省去不求但求遞加差數(shù)即得逐度分秒之通弦倍矢亦即得逐度分秒之正弦正矢因更立半徑求弦矢兩術(shù)以備制表之用似便于用弧約言之弦矢諸率其比例生于兩等邊三角其數(shù)本于遞加兩等邊三角尖象也遞加數(shù)尖數(shù)也通方圜必以尖故自來割圜術(shù)不離勾股而得其象未得其數(shù)取數(shù)不無繁重自有零整分遞加而后象與數(shù)會分于是定率亦于是通分即遞加數(shù)之根率即遞加數(shù)之積分以子母管乎外圜涵方也率以奇偶應(yīng)乎內(nèi)方就圜也割圜術(shù)至此始無余蘊爰乘數(shù)月暇著為圖說二卷友人王子琴逸嗜算術(shù)遍涉中西見是術(shù)愛之欲與杜董術(shù)合刊為一冊囑余序其大意余因詳術(shù)所由不嫌辭費者亦以此通貫方圜之率非董氏理無自彰非杜氏法無自立非勾股割圜等法以為導(dǎo)亦無自察象稽數(shù)以底于至精然則古人創(chuàng)始之難其可忽哉

象數(shù)一原序二　　　

項名達(dá)

向玩弦矢諸率會得遞加數(shù)復(fù)析圜得兩等邊三角其象適與數(shù)會因草成圖解一冊聊自達(dá)意而脫甚多丙午冬謝去紫陽講席筆墨就閑漸編定整分半分起度兩種弦矢率而梁楚香中丞復(fù)以紫陽大小課藝囑選辭不獲遂又見阻楊緗蕓農(nóng)部在京見舊刻割圜捷術(shù)序中言及圖解亟思一見丁未冬來杭見訪因示以所編緗蕓謂書未半而君年垂邁是書斷不可不成且不可緩成克期以一載臨別尚諄切致囑余感其意為之定書名曰象數(shù)一原卷一曰整分起度弦矢率論卷二曰半分起度弦矢率論卷三卷四曰零分起度弦矢率論卷五曰諸術(shù)通詮卷六曰諸術(shù)明變隨將卷三編定選課畢復(fù)阻于病今夏始將卷四著有六紙不料病軀重感濕熱兼肝乘脾幾不可救醫(yī)治兩月無起色乃又重感燥火致臟腑無不病者遍體血脈不行醫(yī)盡束手自知殘燈微焰斷難久延而是書從此擱筆矣缺而不完世間事大都如是何必戀戀所歉者負(fù)緗蕓諄囑之心耳然書雖未完而零分各腰率零分遞加數(shù)卷三中已衍成其式惟義賾緒繁擬分條詳論于卷四業(yè)論至易率法之相當(dāng)率寄分畢則論用率寄分論定率寄分皆宜分別奇偶論之而易率法畢次論衍遞加數(shù)法亦論寄分論子母論正負(fù)論奇行偶行積子母互異論直行并行積子母互異而遞加數(shù)畢次論遞加數(shù)即各形腰率而正負(fù)不同論心角形腰與腰較率正負(fù)相反論并積即弦矢率易正負(fù)有定法論矢率弦率子母全半之不同而弦矢率畢末乃依半分起度式分六術(shù)以明其算特彼論全半此論子母異同處略一分別可也至卷五卷六皆有舊稿且經(jīng)編定只須照式錄之今將各卷總為一束設(shè)有本鄙意而續(xù)成者惟條論稍難六術(shù)則易于從事無續(xù)成者卷四作未完之書亦無不可

對數(shù)簡法跋　　　

項名達(dá)

求對數(shù)舊法言之綦詳而數(shù)重緒多初學(xué)恒未易了鄂士先生揭其精要而變通之著為對數(shù)簡法首論開方自淺入深而約以七術(shù)繼復(fù)立累除法省數(shù)十次開方用表已備極能事尤妙者舍開而求假設(shè)數(shù)夫?qū)?shù)折半真數(shù)開方開至單一下空多位之零數(shù)于是真數(shù)對數(shù)遂得其會通此開方所由重也顧必累開不已始得會通何如逕就會通處假一數(shù)以通之迨展轉(zhuǎn)相通而七十二對數(shù)之等差已備具于假設(shè)諸數(shù)中一比例而定準(zhǔn)之?dāng)?shù)出矣以是知數(shù)之為用帶零求整難設(shè)整御零易憑所知課所求順推而入難借所求通所知逆轉(zhuǎn)而出易茍悟此可以得用數(shù)之方豈惟是對數(shù)一門有裨后學(xué)耶

對數(shù)簡法識　　　

戴煦

對數(shù)以加減代乘除用之甚便而求之甚難舊法求諸對數(shù)皆先求自一至九遞至單一下九空位零一至九之九十九數(shù)而求之之法大略有三先定十百千萬之對數(shù)而其間之零數(shù)則用中比例累求而得以首率末率兩真數(shù)相乘開方得中率之真數(shù)以首率末率兩假數(shù)相加折半得中率之假數(shù)漸求漸近以至適合如舊法求九之假數(shù)用中比例求至二十六次而得八位之對數(shù)此一法也凡假數(shù)之首位因真數(shù)之位數(shù)而遞加以真數(shù)遞次自乘至多位而其位數(shù)即假數(shù)首位以前之?dāng)?shù)然后以自乘第幾率除之即得真數(shù)第一率之假數(shù)如舊法求二之對數(shù)自乘至一千三百余億率除自乘之位數(shù)四百十余億位而得十二位之假數(shù)又一法也既定十之對數(shù)為一乃以真數(shù)十開方五十四次三十三位以假數(shù)折半五十四次為逐次假數(shù)列為開方表乃以第五十四次真假兩數(shù)比例得單一下十五空位零一之假數(shù)為率于是以應(yīng)求對數(shù)之真數(shù)開方四五十次求得十五空位與為比例然后以開方第幾次之率數(shù)乘之而得二十二位之假數(shù)或真數(shù)開方二十余次求得九空位與表內(nèi)九空位開方數(shù)為比例亦以率數(shù)乘之而得十三四位之假數(shù)如舊法求二與六之對數(shù)又一法也顧此數(shù)法布算極繁甚至經(jīng)旬累月而不能竟求一數(shù)故言算者鮮不望之而生畏夫立法太繁則較算不易深慮寖久而失其真也因復(fù)詳加探索始悟求十一二位之對數(shù)開方表祗須二十一次一十四位已屬敷用而既有開方表則求諸對數(shù)可不必更開方較之舊法省算數(shù)倍且不特此也凡諸對數(shù)皆定于十之對數(shù)而實生于單一下五六空位零一之對數(shù)今欲以十之對數(shù)求單一下五六空位零一之對數(shù)勢不得不屢次開方若借一算為單一下五六空位零一之對數(shù)轉(zhuǎn)求十之借數(shù)即可得其比例之率知累除之法可代開方而用二十一次之開方表猶屬舍易求難然是術(shù)也立法殊簡用意非深西士若往訥白爾之徒既能刱立對數(shù)慮無有不知此者意者彼時歐邏巴人故匿其易而衒其難以夸中土歟茲為揭出俾求對數(shù)者有取焉

續(xù)對數(shù)簡法　　　

戴煦

　前歲之秋予以對數(shù)簡法呈梅侶項先生翼日謂予曰遞求數(shù)可開平方亦可開諸乘方會得二術(shù)屬稿未定予歸而思之亦得二術(shù)以呈先生而先生亦以定稿見示其逐數(shù)皆正一術(shù)與予正負(fù)相閑者不同其第一數(shù)正而以下皆負(fù)一術(shù)則若合符節(jié)焉于是開諸乘方遂有三術(shù)予思既有三術(shù)必更有一術(shù)因補衍之將呈先生而先生適以補衍一術(shù)見示又若合符節(jié)焉惟先生以乘數(shù)加一為廉率謂諸乘方第一廉與末一廉之?dāng)?shù)也而予以連比例率推之復(fù)一一合因以其法用代累乘求積亦無不可通乃知廉率本生于連比例率也夫?qū)?shù)開平方多次以開方舊法至十二乘已屬繁重斷難開至億兆乘故以平方代開耳今開諸乘方既通為一法可不必代開由是因繁得簡復(fù)推得開極多位九乘方之法而對數(shù)之簡法出矣蓋前術(shù)用假設(shè)對數(shù)乃立天元一術(shù)即西人之借根方但天元一可乘而不受除常寄除法為母今須累除數(shù)百次則寄母極繁不可算不得不徑用除法既用除法則數(shù)百次之畸零累積其差甚大故難求至多位不如連比例遞求數(shù)之所差極微也至對數(shù)還原即代累乘求積之法而變通之因亦類焉

對數(shù)生于連比例率如設(shè)一數(shù)為本數(shù)第一率命為方根則其自乘之積為倍大第二率再自乘之積為倍大第三率三自乘之積為倍大第四率故以本數(shù)之對數(shù)二乘之即自乘積之對數(shù)三乘之即再乘積之對數(shù)四乘之即三乘積之對數(shù)若反言之則設(shè)一數(shù)為本數(shù)第一率命為方積而其開平方之根為折小第二率開立方之根為折小第三率三乘方之根為折小第四率故以本數(shù)之對數(shù)二除之即平方根之對數(shù)三除之即立方根之對數(shù)四除之即三乘方根之對數(shù)推之多乘其倍大折小之率莫不皆然然倍大各率與連比例率相應(yīng)而折小各率不相應(yīng)者謂二率平方積自乘一率方根除之得三率立方積二三率平方立方二積相乘一率方根除之得四率三乘方積推之各率皆然折小各率則不然蓋倍大之率率數(shù)也故求對數(shù)用乘法折小之率率分也故求對數(shù)用除法倍大不僅率數(shù)亦有率分如以二率之二除一率之一得五即倍大第二率之率分以三率之三除一率之一得三三三零即倍大第三率之率分折小不僅率分亦有率數(shù)如五即折小第二率之率數(shù)三三三零即折小第三率之率數(shù)其倍大折小同率之率分率數(shù)恒兩兩反對其每率之率分率數(shù)恒與第一率之一為三率連比例而必以一為中率故以率分除之或以率數(shù)乘之得數(shù)必同且不特此也率有整亦有零整率者如倍大折小一二三四第率非率分為整數(shù)即率數(shù)為整數(shù)零率者如有一數(shù)較本數(shù)開平方根則不足較本數(shù)開立方根則有余其率分必為二而下帶畸零小余或較本數(shù)自乘積則有余較本數(shù)再乘積則不足其率數(shù)亦必為二而下帶畸零小余而以此種帶畸零之率分或率數(shù)為首率一為中率求其末率必仍帶畸零是此種倍大折小之率分率數(shù)皆帶畸零而成零率矣若今所用之對數(shù)正真數(shù)之率數(shù)也非率分而其本數(shù)第一率為一故一之對數(shù)為一即一率之一而一為本數(shù)倍大第二率其對數(shù)亦為二一為本數(shù)倍大第三率其對數(shù)亦為三若一以上一以下自二至九則不滿一率故對數(shù)首位為而下帶畸零一以上一以下自十一至九十九則不滿二率故對數(shù)首位為一而下帶畸零此即所謂零率也知對數(shù)之為連比例率數(shù)而求對數(shù)之法可得而言矣

倍大率

率數(shù)

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

一率

方根

二率

平方積

三率

立方積

四率

三乘方積

五率

四乘方積

六率

五乘方積

七率

六乘方積

八率

七乘方積

九率

八乘方積

十率

九乘方積

率分

一

五

三三三

二五

二

一六六

一四二

一二五

一一一

一

折小率

率數(shù)

一

五

三三三

二五

二

一六六

一四二

一二五

一一一

一

一率

方積

二率

平方根

三率

立方根

四率

三乘方根

五率

四乘方根

六率

五乘方根

七率

六乘方根

八率

七乘方根

九率

八乘方根

十率

九乘方根

率分

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

以本數(shù)為積求折小各率

第一術(shù)

法檢本率乘數(shù)之開方初商表取其較小于本數(shù)者以其根為第一數(shù)正　次以本數(shù)為除法以初商實減本數(shù)其減余數(shù)為乘法其所求第幾率名為率分乃以乘法乘第一數(shù)除法除之又以率分除之為第二數(shù)正以乘法乘第二數(shù)除法除之又以率分加一乘之二因率分除之為第三數(shù)正　乘法乘第三數(shù)除法除之二因率分加一乘之三因率分除之為第四數(shù)正　乘法乘第四數(shù)除法除之三因率分加一乘之四因率分除之為第五數(shù)正　如是遞求至應(yīng)求位數(shù)乃諸正數(shù)得所求

　按此術(shù)項氏所定

第二術(shù)

法檢本率乘數(shù)之開方初商表取其較小于本數(shù)者以其根為第一數(shù)正　次以初商實為除法以初商實減本數(shù)其減余數(shù)為乘法乃以乘法乘第一數(shù)除法除之又以率分除之為第二數(shù)正　乘法乘第二數(shù)除法除之又以率分減一乘之二因率分除之為第三數(shù)負(fù)　乘法乘第三數(shù)除法除之二因率分減一乘之三因率分除之為第四數(shù)正　乘法乘第四數(shù)除法除之三因率分減一乘之四因率分除之為第五數(shù)負(fù)　如是遞求至應(yīng)求位數(shù)乃諸正數(shù)又諸負(fù)數(shù)減之得所求

　按此術(shù)予所定

第三術(shù)

法檢本率乘數(shù)之開方初商表取其較大于本數(shù)者以其根為第一數(shù)正　次以初商實為除法初商實內(nèi)減本數(shù)其減余數(shù)為乘法乃以乘法乘第一數(shù)除法除之又以率分除之為第二數(shù)負(fù)　乘法乘第二數(shù)除法除之又以率分減一乘之二因率分除之為第三數(shù)負(fù)　乘法乘第三數(shù)除法除之二因率分減一乘之三因率分除之為第四數(shù)負(fù)　乘法乘第四數(shù)除法除之三因率分減一乘之四因率分除之為第五數(shù)負(fù)　如是遞求至應(yīng)求位數(shù)乃諸負(fù)數(shù)減第一正數(shù)得所求

按前開平方七術(shù)即此法

第四術(shù)

法檢本率乘數(shù)之開方初商表取其較大于本數(shù)者以其根為第一數(shù)正　次以本數(shù)為除法初商實內(nèi)減本數(shù)其減余數(shù)為乘法乃以乘法乘第一數(shù)除法除之又以率分除之為第二數(shù)負(fù)　乘法乘第二數(shù)除法除之又以率分加一乘之二因率分除之為第三數(shù)正　乘法乘第三數(shù)除法除之二因率分加一乘之三因率分除之為第四數(shù)負(fù)　乘法乘第四數(shù)除法除之三因率分加一乘之四因率分除之為第五數(shù)正　如是遞求至應(yīng)求位數(shù)乃諸正數(shù)又諸負(fù)數(shù)減之得所求

按前二術(shù)予所定與項氏所定暗合

以本數(shù)為根求倍大各率

第一術(shù)

法任截本數(shù)幾位依本率乘數(shù)累乘之為第一數(shù)正　次以本數(shù)為除法本數(shù)內(nèi)減截去數(shù)為乘法其所求第幾率名為率數(shù)乃以乘法乘第一數(shù)除法除之又以率數(shù)乘之為第二數(shù)正　乘法乘第二數(shù)除法除之又以率數(shù)加一乘之二除之為第三數(shù)正　乘法乘第三數(shù)除法除之率數(shù)加二乘之三除之為第四數(shù)正　乘法乘第四數(shù)除法除之率數(shù)加三乘之四除之為第五數(shù)正　如是遞求至單位下乃諸正數(shù)得所求

第二術(shù)

法任截本數(shù)幾位依本率乘數(shù)累乘之為第一數(shù)正　次以截去數(shù)為除法本數(shù)內(nèi)減截去數(shù)其減余數(shù)為乘法乃以乘法乘第一數(shù)除法除之又以率數(shù)乘之為第二數(shù)正　乘法乘第二數(shù)除法除之率數(shù)減一乘之二除之為第三數(shù)正　乘法乘第三數(shù)除法除之率數(shù)減二乘之三除之為第四數(shù)正　乘法乘第四數(shù)除法除之率數(shù)減三乘之四除之為第五數(shù)正　如是遞求至率數(shù)減盡而止乃諸正數(shù)得所求

第三術(shù)

法任截本數(shù)幾位于末位加一依本率乘數(shù)累乘之為第一數(shù)正　次以截去數(shù)加一為除法截去數(shù)加一內(nèi)減本數(shù)其減余數(shù)為乘法乃以乘法乘第一數(shù)除法除之又以率數(shù)乘之為第二數(shù)負(fù)　乘法乘第二數(shù)除法除之率數(shù)減一乘之二除之為第三數(shù)正　乘法乘第三數(shù)除法除之率數(shù)減二乘之三除之為第四數(shù)負(fù)乘法乘第四數(shù)除法除之率數(shù)減三乘之四除之為第五數(shù)正　如是遞求至率數(shù)減盡而止乃諸正數(shù)又諸負(fù)數(shù)減之得所求

第四術(shù)

法任截本數(shù)幾位依前術(shù)加一依本率乘數(shù)累乘之為第一數(shù)正　次之本數(shù)為除法截去數(shù)加一內(nèi)減本數(shù)其減余數(shù)為乘法乃以乘法乘第一數(shù)除法除之又以率數(shù)乘之為第二數(shù)負(fù)　乘法乘第二數(shù)除法除之率數(shù)加一乘之二除之為第三數(shù)正　乘法乘第三數(shù)除法除之率數(shù)加二乘之三除之為第四數(shù)負(fù)　乘法乘第四數(shù)除法除之率數(shù)加三乘之四除之為第五數(shù)正　如是遞求至單位下乃諸正數(shù)又諸負(fù)數(shù)減之得所求

　按有本數(shù)求倍大折小各率本通為一法非有二義其第二數(shù)倍大用率數(shù)乘者緣率分率數(shù)與單一為三率連比例率分為首率則單一為中率率數(shù)為末率故以率分除之之?dāng)?shù)即同于率數(shù)乘之之?dāng)?shù)而折小各率率分整而率數(shù)零故用率分為便倍大各率率數(shù)整而率分零故用率數(shù)為便也其第三數(shù)以率數(shù)加減一乘之二除之者緣連比例首率與中率之比同于中率與末率之比前四術(shù)首率內(nèi)加減中率乘之倍首率除之后四術(shù)中率內(nèi)加減末率乘之倍中率除之其得數(shù)必同也以下各數(shù)義仿此其第二三術(shù)與前第二三術(shù)正負(fù)各異者緣乘法雖云率數(shù)內(nèi)減一實一內(nèi)減率數(shù)其減余為負(fù)算故乘為負(fù)乘既為負(fù)乘則乘后之正負(fù)必變故能變逐數(shù)皆負(fù)者為正負(fù)相閑變正負(fù)相間者為逐數(shù)皆正也其率數(shù)減盡而止者凡算例以適足為實任以正數(shù)負(fù)數(shù)乘除之必仍為適足或正負(fù)數(shù)為實以適足數(shù)乘除之亦為適足故率數(shù)減盡則以下無數(shù)也

又按前四術(shù)可為開方捷法后四術(shù)所求止須以本數(shù)累乘即得而挨次遞求似乎較煩然開方與累乘但能求倍大折小各整率若前八術(shù)則凡第一數(shù)可知者雖零率亦可求用之對數(shù)為尤要也又按每數(shù)通用之乘法除法若先以除法除乘法用為遞次乘法則一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用為遞次除法則一次除可代一乘一除

論對數(shù)根　　　

戴煦

對數(shù)根者諸對數(shù)之所生即單一下無數(shù)空位零一之對數(shù)也舊法以一為積開方五十四次以其方根單一下空位后所帶之零數(shù)為一率單一折半五十四次即一兆八千余億除單一之?dāng)?shù)為二率單一下十五空位零一之一為三率求得四率為對數(shù)根夫以一為積開方五十四次即以一為本數(shù)第一率求折小第一兆八千零一十四萬三千九百八十五億零九百八十四萬一千九百八十四率也今有本數(shù)即可求折小各率則是第五十四次開方數(shù)可以徑求矣既可徑求則求第一兆八千余億率不如求第一無量數(shù)率一無量數(shù)猶云一千或一萬何也蓋一兆八千余億率為第五十四次開方數(shù)之率分其位數(shù)甚多用連比例求得率數(shù)亦有多位即第五十四次開方數(shù)之對數(shù)而布算甚繁一無量數(shù)數(shù)雖極大而仍為一不過一下有無數(shù)空位耳以為首率用連比例求末率必為單位下無數(shù)空位零一此即求對數(shù)根四率之二率數(shù)既為一可省多位乘法一次且一無量數(shù)較一兆有零為尤密也

今定一之對數(shù)為單一求對數(shù)根

法先以一開平方五次或開平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一七四六七八二八三二一三一七四九七為對數(shù)根之用數(shù)用數(shù)見后第三十二率以前各率為用數(shù)則降位稍難若三十二率以后皆可為用數(shù)不必定用三十二率也置用數(shù)減去首位單一以除用數(shù)得一四四三四一九二一八八六八六五三九為遞次除法用數(shù)為通田除法用數(shù)減首位為通用乘法此即前所云以乘法除除法為遞次除法則一次除可代一乘一除也乃以除法除單一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九二四九六三二六六為第一數(shù)正　除法除第一數(shù)一乘之二除之得七七一二三八六四一六七八三為第二數(shù)正　除法除第二數(shù)二乘之三除之得三五六九七一六四九二五一二二為第三數(shù)正　除法除第三數(shù)三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八五為第四數(shù)正　除法除第四數(shù)四乘之五除之得一三二四九四四二八三為第五數(shù)正　如是遞求得五九七三一七三三七四一為第六數(shù)正　三五五四六一六三一三為第七數(shù)正　二一五九四一四六為第八數(shù)正　一三三二六五三為第九數(shù)正　八三二七一為第十?dāng)?shù)正　五二五五七為第十一數(shù)正　三三四五為第十二數(shù)正　二一四為第十三數(shù)正　一四為第十四數(shù)正　一為第十五數(shù)正　乃諸正數(shù)得二三二五八五九二九九四四五七七為首率單一為中率求得末率四三四二九四四八一九三二五一八一一即對數(shù)根也

用數(shù)　　一七四六七八二八三二一三一七四九七

除法　　一四四三四一九二一八八六八六五三九

第一數(shù)　　二二二一六九四六九二四九六三二六六　除法除之一乘二除得

　二　　　　　七七一二三八六四一六七八三　同　　　二　三

　三　　　　　　三五六九七一六四九二五一二二　同　　　三　四

　四　　　　　　　一八五八七七八二四九九八五　同　　　四　五

　五　　　　　　　　一三二四九四四二八三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　五九七三一七三三七四一　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　三五五四六一六三一三　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　二一五九四一四六　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　一三三二六五三　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　八三二七一　同　　　十　十一

　十一　　　　　　　　　　　　　　　五二五五七　同　　　十一十二

　十二　　　　　　　　　　　　　　　　三三四五　同　　　十二十三

　十三　　　　　　　　　　　　　　　　　二一四　同　　　十三十四

　十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一四　同　　　十四十五

　十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

得數(shù)　首率　二三二五八五九二九九四四五七七

　　中率　一

　　末率　四三四二九四四八一九三二五一八一一

　按此即以一為本數(shù)第一率依第一術(shù)求折小第一無量數(shù)率也其第一數(shù)本為單一凡求極多率者初商恒為單一依對數(shù)例以單一下之零數(shù)為比例而截去首位故置第一數(shù)不用而竟以第二數(shù)為第一數(shù)也其以三十二乘之者緣用數(shù)系本數(shù)之折小第三十二率當(dāng)于求得數(shù)后以三十二乘之為所求數(shù)而以三十二乘第一數(shù)其得數(shù)亦同也所異者求法既依第一術(shù)則第二數(shù)應(yīng)以一無量數(shù)加一乘之二無量數(shù)除之而何以用一乘二除不知求極多率者無加一之差也今試以九乘方言之其率分為十其乘法十一與除法二十之比較一與二之比所差尚大若兩位九乘方謂九十九乘方其率分為百而一百零一與二百之比較一與二之比所差較微若三位九乘方謂九百九十九乘方其率分為千而一千零一與二千之比較一與二之比其差更微由是推之多位九乘方則其差必極微而可以不計矣且非特不計已也譬之割圓有大弧弦求析分小弧弦每數(shù)乘法有分子之減差析之愈小減差愈微若求弧則有分母無分子此減差而無之蓋稍有減差則亦稍有觚棱而非真弧矣求對數(shù)根亦然必須開無窮無盡極多位九乘方此加差而無之然后求至數(shù)百千位而無不合若稍有加差則必滯于第幾率而求至多位反不合矣即如開平方五十四次而所求之對數(shù)根不過十五六位若欲增求一位必須再開三四次不能如前法之求幾位即得幾位者以其滯于一兆八千余億率也然則一乘二除二乘三除正開無窮無盡極多位九乘方之法無以名之姑名為折小第一無量數(shù)率耳

論用數(shù)　　　

戴煦

前言有本數(shù)求折小第一無量數(shù)率可以徑求此立法也而法有所窮必須先求三十二率何也蓋多率之開方初商表其數(shù)極繁惟初商單一則任折小至多率而初商實亦必仍為單一幸而求折小多率者其首位必為單一故用第一第二兩術(shù)其第一數(shù)必為單一而初商實猶可知若用第三四術(shù)則初商必為二而初商實即極繁而不可求矣然即用第一二術(shù)而其中又有窒今試以一為本數(shù)依第一術(shù)求之則以一為除法初商實一減一得九為乘法乘除法相差甚微而位不降位不降即不能遞求依第二術(shù)則一除九乘位不惟不降而反升尤不能遞求是窒也夫求折小多率者其本數(shù)必須單一下有空位空位后帶零數(shù)則減余數(shù)小而可求今本數(shù)一既非單一又無零數(shù)則必假一單一下有空位帶零數(shù)之?dāng)?shù)以求之此用數(shù)之所由來也而求用數(shù)約有四法以本數(shù)先求折小第幾率為用數(shù)其第一數(shù)以折小率若干乘之然后遞求此一法也以本數(shù)首位降為單位以自二至九自一一至一九諸數(shù)累除之為用數(shù)求得數(shù)后以除法對數(shù)加之視降幾位再首位加幾又一法也以本數(shù)先求倍大第幾率以首位降為單位為用數(shù)求得數(shù)后視降幾位則首位加幾然后以倍大率若干除之又一法也置本數(shù)以自二至九累乘之以首位降為單位為用數(shù)求得數(shù)后視降幾位首位加幾然后以乘法之對數(shù)減之又一法也然第一法取數(shù)不易而有畸零惟求對數(shù)根不得已而用之第二法亦有畸零第三法雖無畸零而不可必得蓋諸數(shù)之倍大率不能輒得首位為一而下有空位也惟第四法既無畸零且可必得故求用數(shù)可以倍大率求者則用倍大率其不可用倍大率者則用借數(shù)累乘法為便也

假如以倍大率求二之用數(shù)

法以二自乘九次得一千零二十四為二之倍大第十率降三位得一二四為二之用數(shù)

假如以累乘法求七之用數(shù)

法以七用二乘之得十四又以八乘之得一百一十二又以九乘之得一千零八降三位得一八為七之用數(shù)

假如兼用倍大率及累乘法求三之用數(shù)

法以三自乘再乘得二十七為三之倍大第三率以四乘之得一百零八降二位得一八為三之用數(shù)

論借數(shù)　　　

戴煦

借數(shù)者自二至九共八數(shù)借為累乘之?dāng)?shù)也凡諸數(shù)擇八數(shù)內(nèi)之?dāng)?shù)乘之皆可得首位為一而下有空位故借數(shù)不必廣求即八數(shù)而已足但由用數(shù)求得之對數(shù)必以乘法之對數(shù)加之則必先求借數(shù)之對數(shù)而借數(shù)雖有八數(shù)實止三數(shù)何也二五四八本通為一數(shù)三六九亦通為一數(shù)惟七則自為一數(shù)故有三數(shù)之對數(shù)而八數(shù)之對數(shù)已備有八數(shù)之對數(shù)而諸數(shù)之用數(shù)亦無不備矣

假如有對數(shù)根求二與四與五與八之對數(shù)

法依前求得二之用數(shù)一二四減去單一得二四為遞次乘法乃以乘法乘對數(shù)根得一四二三六七五六五六七八四三凡乘法在單位下則乘得數(shù)小于原數(shù)為第一數(shù)正　乘法乘第一數(shù)一乘之二除之得一二五七六八一七八八一三七為第二數(shù)負(fù)　乘法乘第二數(shù)二乘之三除之得二一二二八九七二六一為第三數(shù)正　乘法乘第三數(shù)三乘之四除之得三六二二一二一五七為第四數(shù)負(fù)　如是遞求得六九一六二四七三三為第五數(shù)正　一三八三二四九五為第六數(shù)負(fù)　二八四五五四為第七數(shù)正　五九七六為第八數(shù)負(fù)　一二七為第九數(shù)正　三為第十?dāng)?shù)負(fù)　乃諸正數(shù)得一四二五六九四八六五六六七又諸負(fù)數(shù)得一二五一一二八四六七四八一一八以負(fù)減正得一二九九九五六六三九八一一九四九為用數(shù)之對數(shù)以用數(shù)系降三位乃于首位加三得三一二九九九五六六三九八一一九四九為一千零二十四之對數(shù)以一千零二十四系二之倍大第十率乃以十除之得三一二九九九五六六三九八一一九小余四九為二之對數(shù)也

求四之對數(shù)者以四即二之倍大第二率乃以二之對數(shù)二乘之得六二五九九九一三二七九六二三八九八即四之對數(shù)

求五之對數(shù)者以二與五相乘即十乃以十之對數(shù)單一內(nèi)減二之對數(shù)得六九八九七四三三六一八八五一即五之對數(shù)

求八之對數(shù)者以八即二之倍大第三率乃以二之對數(shù)三乘之得九三八九九八六九九一九四三五八四七即八之對數(shù)

用數(shù)　　一二四

乘法　　二四

第一數(shù)　一四二三六七五六五六七八四三　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　　一二五七六八一七八八一三七　同　　　二　三

　三　　　　　　　　二一二二八九七二六一　同　　　三　四

　四　　　　　　　　　　三六二二一二一五七　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　　　　六九一六二四七三三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　　　　一三八三二四九五　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　　　　　二八四五五四　同　　　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　　　　　五九七六　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　　　　　　一二七　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三

正數(shù)　一四二五六九四八六五六六七

負(fù)數(shù)　一二五一一二八四六七四八一一八

減得　　一二九九九五六六三九八一一九四九

首位　　三一二九九九五六六三九八一一九四九

加三

十除之　三一二九九九五六六三九八一一九四九　二之對數(shù)

二乘之　六二五九九九一三二七九六二三八九八　四之對數(shù)

以減　　六九八九七四三三六一八八五一　五之對數(shù)

單一

三乘之　九三八九九八六九九一九四三五八四七　八之對數(shù)

假如求三與六與九之對數(shù)

法依前求得三之用數(shù)一八減去單一得八為遞次乘法乃以乘法乘對數(shù)根得三四七四三五五八五五二二六一四四九為第一數(shù)正　乘法乘第一數(shù)一乘之二除之得一三八九七四二三四二九四五八為第二數(shù)負(fù)　乘法乘第二數(shù)二乘之三除之得七四一一九五九一五七八一五五為第三數(shù)正　乘法乘第三數(shù)三乘之四除之得四四四七一七五四九四六八九三為第四數(shù)負(fù)　如是遞求得二八四六一九二三一六六一為第五數(shù)正　一八九七四六一五四四四為第六數(shù)負(fù)　一三一一一六四八七六為第七數(shù)正　九一七八一五四一為第八數(shù)負(fù)　六四七六六六八七為第九數(shù)正　四六六三二一為第十?dāng)?shù)負(fù)　三三九一四二為第十一數(shù)正　二四八七為第十二數(shù)負(fù)　一八三七為第十三數(shù)正　一三六為第十四數(shù)負(fù)　一為第十五數(shù)正　一為第十六數(shù)負(fù)乃　諸正數(shù)得三四八一七九六四七六九七二一五二又諸負(fù)數(shù)得一三九四二八五八三七四七五一四以負(fù)減正得三三四二三七五五四八六九四九七一二為用數(shù)之對數(shù)以用數(shù)系降二位于乃首位加二得二三三四二三七五五四八六九四九七一二為一百零八之對數(shù)以系借四乘再減四之對數(shù)得一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四為二十七之對數(shù)以二十七系三之倍大第三率乃以三除之得四七七一二一二五四七一九六六二四三七一即三之對數(shù)也

求六之對數(shù)者以二三相乘即六乃以二之對數(shù)加三之對數(shù)得七七八一五一二五三八三六四三六三二即六之對數(shù)

九之對數(shù)者以九系三之倍大第二率乃以三之對數(shù)二乘之得九五四二四二五九四三九三二四八七四二即九之對數(shù)

用數(shù)　　一八

乘法　　八

第一數(shù)　三四七四三五九八五五二二六一四四九　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　一三八九七四二三四二九四五八　同　　　二　三

　三　　　　　　　七四一一九五九一五七八一五五　同　　　三　四

　四　　　　　　　　四四四七一七五四九四六八九三　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　二八四六一五二三一六六一　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　一八九七四六一五四四四　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　一三一一一六四八七六　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　九一七八一五四一　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　　六四七六六六八七　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　四六六三二一　同　　　十　十一

　十一　　　　　　　　　　　　　　　三三九一四二　同　　　十一十二

　十二　　　　　　　　　　　　　　　　二四八七　同　　　十二十三

　十三　　　　　　　　　　　　　　　　　一八三七　同　　　十三十四

　十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三六　同　　　十四十五

　十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一　同　　　十五十六

　十六　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

正數(shù)　三四八一七九六四七六九七二一五二

負(fù)數(shù)　一三九四二八五八三七四七五一四

減得　　三三四二三七五五四八六九四九七一二

首位　　二三三四二三七五五四八六九四九七一二

加二

內(nèi)減四　　　　一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四

之對數(shù)

三除之　　四七七一二一二五四七一九六六二四三七一　三之對數(shù)

內(nèi)加二　七七八一五一二五三八三六四三六三二　六之對數(shù)

之對數(shù)

二乘三　九五四二四二五九四三九三二四八七四二　九之對數(shù)

之對數(shù)

假如求七之對數(shù)

法依前求得七之用數(shù)一八減去單一得八為遞次乘法乃以乘法乘對數(shù)根得三四七四三五五八五五二二六一四五為第一數(shù)正　乘法乘第一數(shù)一乘之二除之得一三八九七四二三四二九四一為第二數(shù)負(fù)　乘法乘第二數(shù)二乘之三除之得七四一一九五九一五七八二為第三數(shù)正　乘法乘第三數(shù)三乘之四除之得四四四七一七五四九五為第四數(shù)負(fù)　如是遞求得二八四六一九二三為第五數(shù)正　一八九七四六為第六數(shù)負(fù)　一三一為第七數(shù)正　九為第八數(shù)負(fù)　乃諸正數(shù)得三四七四四二九九七七六六三九一五一又諸負(fù)數(shù)得一三八九七八六八一五七四二九一以負(fù)減正得三四六五三二一九五六四八六為用數(shù)之對數(shù)以用數(shù)系降三位乃于首位加三得三三四六五三二一九五六四八六為一千零八之對數(shù)以系二與八與九疊乘所得乃二八九之三對數(shù)得二一五八三六二四九二九五二四九六五三八減之得八四五九八四一四二五六八三二二即七之對數(shù)也

用數(shù)　　一八

乘法　　八

第一數(shù)　三四七四三五五八五五二二六一四五　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　　　一三八九七四二三四二九四一　同　　　二　三

　三　　　　　　　　　　七四一一九五九一五七八二　同　　　三　四

　四　　　　　　　　　　　　四四四七一七五四九五　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　　　　　　二八四六一九二三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　　　　　　　一八九七四六　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三一　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　九

正數(shù)　　　三四七四四二五九七七六六三九一五一

負(fù)數(shù)　　　一三八九七八六八一五七四二九一

減得　　　　三四六五三二一九五六四八六

首位加三　　三三四六五三二一九五六四八六

三對數(shù)　　二一五八三六二四九二九五二四九六五三八

減得　　　　八四五九八四一四二五六八三二二　七之對數(shù)

　按此用第二術(shù)開極多位九乘方法也舊法求二之對數(shù)亦以一二四為用數(shù)而以單一下十五空位零一之一為一率單一下十五空位零一之對數(shù)即今所用之對數(shù)根為二率用數(shù)開平方四十七次以其單一下之零數(shù)為三率求得四率然后以平方四十七次折小率一百四十余萬億乘之得用數(shù)之對數(shù)夫一率之一本可省除今既開極多位九乘方其折小之率分為一無量數(shù)而一無量數(shù)之一亦可省乘開方既用零數(shù)則第一數(shù)亦可置不用而竟以第二數(shù)為第一數(shù)止須求得開方零數(shù)以對數(shù)根乘之即得用數(shù)之對數(shù)而遞求數(shù)之例干求得數(shù)后乘之與乘第一數(shù)得數(shù)必同故竟以乘法乘對數(shù)根為第一數(shù)也本應(yīng)以對數(shù)根乘不用之第一數(shù)然后以乘法乘之而不用之第一數(shù)系單一故可省乘其求對數(shù)根用第一術(shù)而此用第二術(shù)者蓋對數(shù)根之用數(shù)系多位畸零凡多位畸零者除便于乘故以一次除代一乘一除既用除法則用第一術(shù)與第二術(shù)同一畸零除法不如第一術(shù)之降位稍易矣若今所求之用數(shù)均位少而無畸零不惟乘法止一二位抑且用第二術(shù)則除法即單一可以省除故雖降位稍難而終以第二術(shù)為便也

假如有借數(shù)求二十三之對數(shù)

法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘之得一千零三十五降三位得一三五為二十三之用數(shù)減去首位單一得三五為遞次乘法乃以乘法乘對數(shù)根得一五二三六八六六六一三八一三四為第一數(shù)正　乘法乘第一數(shù)一乘之二除之得二六六五三七一六五七四一七為第二數(shù)負(fù)　乘法乘第二數(shù)二乘之三除之得六二六七九一九七五三四為第三數(shù)正　乘法乘第三數(shù)三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五為第四數(shù)負(fù)　如是遞求得四五六一九九二九八三為第五數(shù)正　一三三五八一二九為第六數(shù)負(fù)　三九九一七四三一為第七數(shù)正　一二二二四七一為第八數(shù)負(fù)　三八三二為第九數(shù)正　一一九八為第十?dāng)?shù)負(fù)　三八為第十一數(shù)正　一為第十二數(shù)負(fù)　乃并諸正數(shù)得一五二六五一八二二四五七一九九五八又并諸負(fù)數(shù)得二六六一六八四三一六三五四三八一以負(fù)減正得一四九四三四九七九二九三六五五七七為用數(shù)之對數(shù)以系降三位乃于首位加三得三一四九四三四九七九二九三六五五七七為一千零三十五之對數(shù)以系五與九疊乘所得乃以五與九兩對數(shù)相得一六五三三一二五一三七七五三四三六七九三減之得一三六一七二七八三六一七五九二八七八四即二十三之對數(shù)也

用數(shù)　　一三五

乘法　　三五

第一數(shù)　一五二三六八六六六一三八一三四　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　　二六六五三七一六五七四一七　同　　　二　三

　三　　　　　　　　六二六七九一九七五三四　同　　　三　四

　四　　　　　　　　　一六二九二八二八九二二六五　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　　　四五六一九九二九八三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　　　一三三五八一二九　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　　　　三九九一七四三一　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　　　一二二二四七一　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　　　　　三八三二　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　　　　一一九八　同　　　十　十一

　十一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二八　同　　　十一十二

　十二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

正數(shù)　一五二六五一八二二四五七一九九五八

負(fù)數(shù)　二六六一六八四三一六三五四三八一

減得　　一四九四三四九七九二九三六五五七七

首位　　三一四九四三四九七九二九三六五五七七

加三

二與九　一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三

對數(shù)共

減得　　一三六一七二七八三六一七五九二八七八四　二十三之對數(shù)

　按求十萬對數(shù)前法為便以真數(shù)無畸零也若求八對數(shù)則真數(shù)本屬畸零當(dāng)依求對數(shù)根之法為便矣大要求對數(shù)之法難于起始以后偏求各數(shù)審擇用之可耳又今所求之對數(shù)系十八位小除二位故須遞求多數(shù)若求十一二位更不必遞求多數(shù)也

　附對數(shù)還原

論借用本數(shù)

對數(shù)為真數(shù)之率數(shù)而恒以一為本數(shù)第一率既有本數(shù)第一率又有率數(shù)則依以本數(shù)為根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒而一不可用為本數(shù)何也整率之第一數(shù)可截本數(shù)依本率乘數(shù)累乘而得若零率之第一數(shù)則累乘中無其數(shù)對數(shù)之為率數(shù)皆零率也故其第一數(shù)不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率之首位單一者則任倍大若干率而累乘所得之第一數(shù)必仍為單一而不變整率遇單一而不變則零率遇單一其第一數(shù)必仍為單一而不變無疑矣故凡零率而第一數(shù)可用單一者則可知而亦可遞求也第一數(shù)既必須用單一則以一為第一率內(nèi)減單一其減余數(shù)大而不能遞求矣此借用本數(shù)之所由來也而借用之本數(shù)莫善于一一何以言之蓋用第二術(shù)則其首位之單一為通用除法既可省除而減去單一得一為通用乘法只須降六位亦可省乘而降位又易故以一一為便也惟諸對數(shù)系以一為第一率之率數(shù)今用一一為第一率則率數(shù)不合矣法先求得一一之對數(shù)用為除法凡諸對數(shù)以除法除之其所得數(shù)即以一一為本數(shù)第一率之率數(shù)也

假如以一一為借用本數(shù)求其對數(shù)為除法

法以對數(shù)根降六位得四三四二九四四八一九三三為第一數(shù)正　以第一數(shù)降六位一乘之二除之得二一七一四七二為第二數(shù)負(fù)　以第二數(shù)降六位二乘之三除之得一為第三數(shù)正　乃以第一第三兩數(shù)相內(nèi)減第二數(shù)得四三四二九四二六四七五六二為借用本數(shù)之對數(shù)即求率數(shù)之除法也

本數(shù)　　一一

乘法　　一

第一數(shù)　四三四二九四四八一九三三　乘法乘之一乘二除

　二　　　　　　　　　　　　　　　二一七一四七二　同　　　二　三

　三　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

得數(shù)　四三四二九四四八一九三四

減得　　四三四二九四二六四七五六二　一一之對數(shù)

論借用率數(shù)

前言以一一之對數(shù)除所設(shè)對數(shù)為率數(shù)而一一之對數(shù)單位下有七空位諸對數(shù)至小者止一空位今以借用本數(shù)之對數(shù)除之其率數(shù)必甚大率數(shù)既大則每次通用乘法雖降六位而每次用率數(shù)之乘法且不止升六位則位仍不降而不可求矣故須參用舊法先求得自二至九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九各對數(shù)列為表視所設(shè)對數(shù)有首位者先去首位其余足減何數(shù)之對數(shù)遞次減之減至有六七空位然后以借用本數(shù)之對數(shù)除之為借用率數(shù)則率數(shù)小而可求矣求得數(shù)后再以遞減對數(shù)之真數(shù)累乘之復(fù)視首位所減何數(shù)依數(shù)升若干位即得所求之真數(shù)也

求備減表

自二至九各對數(shù)依前所求列之自一一至一九各對數(shù)內(nèi)其一二與一四與一五與一六與一八均可加減而得惟一一與一三與一七與一九須仍前求得用數(shù)然后遞求若一一至一九則原數(shù)即可遞求不必再求用數(shù)至一一至一九則遞求各數(shù)與一一至一九相同止須逐數(shù)遞降一位減之即得若一一至一九則再降一位減之以后各數(shù)并同此法

真數(shù)　　　　　　　假數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　小余

二　　　　　　　　三一二九九九五六六三九八一一九四九

三　　　　　　　　四七七一二一二五四七一九六六二四三七一

四　　　　　　　　六二五九九九一三二七九六二三八九八

五　　　　　　　　六九八九七四三三六一八八五一

六　　　　　　　　七七八一五一二五三八三六四三六三二

七　　　　　　　　八四五九八四一四二五六八三二二

八　　　　　　　　九三八九九八六九九一九四三五八四七

九　　　　　　　　九五四二四二五九四三九三二四八七四二

一一　　　　　　　四一三九二六八五一五八二二五四一七

一二　　　　　　　七九一八一二四六四七六二四八二六九

一三　　　　　　　一一三九四三三五二三六八三六七六九六

一四　　　　　　　一四六一二八三五六七八二四八二七一

一五　　　　　　　一七六九一二五九五五六八一二四二二

一六　　　　　　　二四一一九九八二六五五九二四七七九六

一七　　　　　　　二三四四八九二一三七八二七三九二七八

一八　　　　　　　二五五二七二五五一三三六六九一

一九　　　　　　　二七八七五三六九五二八二八九六一九

真數(shù)　　　　　　　假數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一一　　　　　　四三二一三七三七八二六四二五六六五

一二　　　　　　八六一七一七六一九一七五五九八

一三　　　　　　一二八三七二二四七五一七二二四六

一四　　　　　　一七三三三三九二九八七八三五四三

一五　　　　　　二一一八九二九九六九九三八七四四

一六　　　　　　二五三五八六五二六六六八四一二六四

一七　　　　　　二九三八三七七七六八五一九六四二

一八　　　　　　三三四二三七五五四八六九四九七一二

一九　　　　　　三七四二六四九七九四六二三六三三八

一一　　　　　四三四七七四七九三一八六四七

一二　　　　　八六七七二一五三一二二六九一二五

一三　　　　　一三九三三一四一八一一四六

一四　　　　　一七三三七一二八九五二九七

一五　　　　　二一六六六一七五六五七六七六二

一六　　　　　二五九七九八七一九九八六一二二

一七　　　　　三二九四七五五三六一八七

一八　　　　　三四六五三二一九五六四八六

一九　　　　　三八九一一六六二三六九一五二一六

真數(shù)　　　　　　　假數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一一　　　　四三四二七二七六八六二六六九六

一二　　　　八六八五二一一六四八九五七二

一三　　　　一三二六八八五二二七六九

一四　　　　一七三六八三五八四六四九一八七

一五　　　　二一七九二九七二二三二八二

一六　　　　二六四九八五四七三九三四六九

一七　　　　三三八九九七八四八一二四九一九

一八　　　　三四七二九六六八五三六三五四八

一九　　　　三九八六九二四九九一一三一

一一　　　四三四二九二三一四三八四

一二　　　八六八五八二七八六二六三

一三　　　一三二八六三九二八四八九三

一四　　　一七三七一四三一八四九八九二

一五　　　二一七一四一八一二四五一五五一

一六　　　二六五六八八七二一五三九六九

一七　　　三三九九五四九七六一三九八六

一八　　　三四七四二一六八八八四三三三

一九　　　三九八四七四四五八四一六七五

真數(shù)　　　　　　　假數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一一　　四三四二九四二六四七五六二

一二　　八六八五八八九五二一八七

一三　　一三二八八一四九一三八八五

一四　　一七三七一七四四五三二六六四

一五　　二一七一四六六九八八五三三

一六　　二六五七五九七四一五一

一七　　三四五七三三一五七七

一八　　三四七四三四一九五六八七六七

一九　　三九八六三二七四八三八三

假如有對數(shù)一三六一七二七八三六一七五九二八七八四求借用率數(shù)

法置所設(shè)對數(shù)去首位一得三六一七二七八三六一七五九二八七八四檢備減表足減二之對數(shù)乃以二之對數(shù)減之得六六九七八四三五三六一一六八三五又檢表足減一一之對數(shù)減得二九三五一五五一九五三八六六四一八又足減一四之對數(shù)減得二二七一八一五八九六六六二八七五又足減一五之對數(shù)減得一五七五四一四九八六一一三又足減一二之對數(shù)減得一八九三九二八四四九六五四一又足減一四之對數(shù)減得一五三二四九六五九九八四四九又足減一三之對數(shù)減得二二九六一五一八四五六四前已得七空位乃以借用本數(shù)之對數(shù)四三四二九四二六四七五六二除之得五二八七八五九二一二為借用率數(shù)也

一三六一七二七八三六一七五九二八七八四　首位減一得

三六一七二七八三六一七五九二八七八四　內(nèi)減二之對數(shù)

三一二九九九五六六三九八一一九四九　減得

六六九七八四三五三六一一六八三五　內(nèi)減一一之對數(shù)

四一二九二六八五一五八二二五四一七　減得

一九三五一五五一九五三八六六四一八　內(nèi)減一四之對數(shù)

一七三三三三九二九八七八三五四三　減得

二二七一八一五八九六六六二八七五　內(nèi)減一五之對數(shù)

二一六八六一七五六五七六七六二　減得

一五七五四一四九八六一一三　內(nèi)減一二之對數(shù)

八六八五二一一六四八九五七二　減得

一八九三九二八四四九六五四一　內(nèi)減一四之對數(shù)

一七三七一四三一八四九八九二　減得

一五三二四九六五九九八四四九　內(nèi)減一三之對數(shù)

一三二八八一四九一三八八五　減得

二二九六一五一八四五六四　以借用本數(shù)之對數(shù)

四三四二九四二六四七五六二　除之得

五二八七八五九二一二　　　　　　　借用率數(shù)

假如有對數(shù)一三六一七二七八三六一七五九二八七八四求其真數(shù)

法依前求得借用率數(shù)五二八七八五九二一二乃以借用本數(shù)首位單一下加十九空位得一為第一數(shù)正　次以借用本數(shù)減去單一得一為乘法以乘法乘第一數(shù)又以率數(shù)乘之得五二八七八五九二一二為第二數(shù)正　乘法乘第二數(shù)又以率數(shù)反減一得四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九為第三數(shù)負(fù)　乘法乘第三數(shù)又以率數(shù)反減二得一四七截用三位乘之三除之得一為第四數(shù)正　乃諸正數(shù)得一五二八七八五九二一二一內(nèi)減第三負(fù)數(shù)得一五二八七八四六五六一九二乃以前求借用率數(shù)時遞減各對數(shù)之真數(shù)一三與一四與一二與一五與一四與一一與二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八棄零進(jìn)一得二三又以前求率數(shù)時曾減首位之一應(yīng)升一位得二十三即所求之真數(shù)也

本數(shù)　　一一

乘法　　一一

第一數(shù)　一　降六位率數(shù)乘之得

　二　　　　　　　　　五二八七八五九二一二　降六位率數(shù)減一乘之二除之得

　三　　　　　　　　　　　　　　　一二四五九二九　降六位率數(shù)減二乘之三除之得

　四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

本數(shù)　一五二八七八五九二一二一

減得　　一五二八七八四六五六一九二　以一三乘之得

　　一三五二八七一五一七四四六　以一四乘之得

　　一四三五二八八五一二一四六七　以一二乘之得

　　一二四三五三七五五六九七三八六七　以一五乘之得

　　一五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一四乘之得

　　一四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得

　　一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得

　　二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　棄零進(jìn)一升一位

　二三

按此即用求倍大各率第二術(shù)也其第三數(shù)變?yōu)樨?fù)者凡整率必大于單一其減一減二皆為正減至率數(shù)減盡而止而無所為反減故逐數(shù)皆正今所用之率數(shù)小于單一其減一減二皆為反減反減則為負(fù)以為乘法故能變逐數(shù)皆正者為正負(fù)相間也又凡對數(shù)遞減得三空位已可遞求惟逐數(shù)用率數(shù)之乘法多位畸零不免繁重故須減至七空位然亦為求十八位對數(shù)之真數(shù)而設(shè)耳若求十一二位則一一即可借為本數(shù)而對數(shù)遞減至四空位即可求借用率數(shù)矣

割圜連比例術(shù)圖解序　　　

董佑誠

元郭守敬授時草用天元術(shù)求弧矢徑一圍三猶仍舊率西人以六宗三要二簡術(shù)求八綿理密數(shù)繁凡遇布算皆資于表梅文穆公赤水遺珍載西士杜德美圜徑求周諸術(shù)語焉不詳罕通其故嘗欲更創(chuàng)通法使弦矢與弧可以徑求覃精累年迄無所得己卯春秀水朱先生鴻以杜氏九術(shù)全本相示蓋海甯張先生豸冠所寫者九術(shù)以外別無圖說聞陳氏際新嘗為之注為某氏所秘書已不傳乃反覆尋繹究其立法之原蓋即圜容十八觚之術(shù)引伸類長求其絫積實兼差分之列衰商功之堆垛而會通以盡句股之變周髀經(jīng)曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一遞加遞減遞乘遞除之差也方圓者天地之大體奇耦相生出于自然今得此術(shù)而方圜之率通矣爰分圖著解冠以九術(shù)原文并立弦矢亙求四術(shù)都為三卷辭取易明有傷蕪冗其所未寤俟有道正焉

割圜連比例后序　　　

董佑誠

割圜解既成之二年朱先生復(fù)得割圜密率捷法四卷于鐘祥李氏蓋干隆初欽天監(jiān)監(jiān)正明圖所解而門人陳際新所續(xù)成者其書釋連比例諸率分弦矢為二術(shù)皆先設(shè)百分千分萬分諸弧如本法乘除之棄其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八諸數(shù)遂為遞加一數(shù)以為除法者特取其易知而便于記憶則其于立法之原似未盡也然反覆推衍使弧矢奇耦率可互通釣隱探賾雜而不越蓋師弟相承積三十余年之久推其用心可謂勤且深矣陳氏序言圜徑求周及弧求弦矢三術(shù)為杜德美氏所作余六術(shù)則明圖氏補之與張先生所傳互異又借弧借弦二術(shù)并見陳氏書中范氏所作其闇合歟余以垛積釋比例而三角及方錐堆三乘以下舊無其術(shù)近讀元朱世杰四元玉監(jiān)菱草形段果垛疊藏諸問乃知遞乘遞除之術(shù)近古所有而遠(yuǎn)西之士尚能守其遺法有足珍者爰記之

少廣縋鑿　　　

夏鸞翔

　開平方捷術(shù)一

小初商為一借根　以一借根除本積得二借根　一二借根半之為三借根　以三借根除本積得四借根　三四借根半之得五借根　以五借根除本積得六借根　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與方根密合而止

　此術(shù)一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根

　算例

　假如平積一百二十一求方根

　小初商一□○為一借根　一借根除本積得一□二一為二借根　一二借根半之得一□一五為三借根　三借根除本積得一□○九五零多則棄之以便算凡借根借積皆然為四借根　三四借根半之得一□一為五借根因前借根棄零故五借根適合方根即方根

開平方捷術(shù)二

大初商為一借根　以一借根除本積得二借根　一二借根半之得三借根　以三借根除本積得四借根　三四借根半之得五借根　以五借根除本積得六借根　下皆如是求至借根大者漸小小者漸大與方根密合而止

　此術(shù)奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根

　算例

　假如平積九十九求方根

　大初商一□○為一借根　一借根除本積得□九九為二借根　一二借根半之得□九九五為三借根　三借根除本積得□九九四九七四為四借根　三四借根半之得□九九四九八七此已消盡六位故六位下棄之也為五借根即方根

開諸乘方捷術(shù)一

小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積減本積余以除法除之得數(shù)加一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數(shù)加二借根為三借根　下皆如是求至借根漸大與方根密合而止或置外根降一乘積本乘乘數(shù)加一乘之為遞次除法更捷

　算例

　假如平積五十求方根

　以□七一之平積五□○四一為外積□七一為外根求得一□四二為遞次除法　小初商□七為一借根　一借積四□九減本積余以除法除之得□○七四以加一借根得□七七四為二借根　二借積四□九九九五五六減本積余以除法除之得□○六六五以加二借根得□七七一六五為三借根截去末二位得□七七一即方根

開諸乘方捷術(shù)二

大初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積內(nèi)減本積余以除法除之得數(shù)減一借根為二借根　二借積內(nèi)減本積余以除法除之得數(shù)減二借根為三借根　下皆如是求至借根漸小與方根密合而止

　算例

　假如平積八八求方根

　以□三之平積□九為外積□三為外根求得□六為遞次除法　大初商□三為一借根　一借積□九內(nèi)減本積余以除法除之得□○三三三三三以減一借根余□二九六六六為二借根　二借積□八八七一五五內(nèi)減本積余以除法除之得□○一一九以減二借根余□二九六六四八一為三借根截去末二位得□二九六六四即方根

開諸乘方捷術(shù)三

小初商為一借根　以略小于本積之積為內(nèi)積其根為內(nèi)根以內(nèi)積與內(nèi)根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積減本積余以除法除之得數(shù)加一借根為二借根　二借積內(nèi)減本積余以除法除之得數(shù)減二借根以下逐數(shù)皆一加一減相間為三借根　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與方根密合而止

　算例

　假如平積五十求方根

　以□七之平積四□九為內(nèi)積□七為內(nèi)根求得一□四為遞次除法　小初商□七為一借根　一借積四九減本積余以除法除之得□○七一四以加一借根得□七七一四為二借根　二借積五□○四六九七內(nèi)減本積余以除法除之得□○三三五以減二借根得□七七一六為三借根截去末一位得□七七一即方根

開諸乘方捷術(shù)四

大初商為一借根　以略小于本積之積為內(nèi)積其根為內(nèi)根以內(nèi)積與內(nèi)根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積內(nèi)減本積余以除法除之得數(shù)減一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數(shù)加二借根為三借根以下逐數(shù)皆一減一加相間　下皆如是求至借根大者漸小小者漸大與方根密合而止

　算例

　假如平積八八求方根

　以□二九之平積□八四一為內(nèi)積□二九為內(nèi)根求得□五八為除法　大初商□三為一借根　一借積□九內(nèi)減本積余以除法除之得□○三四四八二七以減一借根余□二九六五五為二借根　二借積□八七九四一九減本積余以除法除之得□○一一七二以加二借根得□二九六六五為三借根　三借積□八八一二二二內(nèi)減本積余以除法除之得□○二一以減三借根得□二九六六四七為四借根截去末一位得□二九六六四即方根

天元開諸乘方捷術(shù)一較數(shù)余積用此術(shù)

小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積凡天元借根求借積法以借根乘隅加減長廉以借根乘之加減平廉又以借根乘之加減立廉又以借根乘之至加減方后又以借根乘之即借積也外根之于外積亦然減本積余以除法除之得數(shù)加一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數(shù)加二借根為三借根　下皆如是求至借根漸大與元數(shù)密合而止

　算例

　假如平方負(fù)積十六正方二正隅一求元數(shù)

　以□三二之積一□六六四為外積□三二為外根求得□八四為遞次除法　小初商□三為一借根　一借積一五□五減本積余以除法除之得□○一一九以加一借根得□三一一九為二借根　二借積一□五九六六一六一減本積余以除法除之得□○四二八以加二借根得□三一二三為三借根　三借積一□五九九九一二九減本積余以除法除之得□○一三以加三借根得□三一二三一三為四借根截去末三位得□三一二三即元數(shù)

天元開諸乘方捷術(shù)二和數(shù)余積用此術(shù)

小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又加一為遞次除法　一借積減本積余以除法除之得數(shù)加一借根為二借根　二借積內(nèi)減本積余以除法除之得數(shù)減二借根為三借根以后逐數(shù)皆一加一減相間　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與元數(shù)密合而止

　算例

　假如平方負(fù)積二九正方四負(fù)隅一求小元數(shù)

　以□一之積□三為外積□一為外根求得□二為遞次除法　小初商□○九為一借根　一借積□二七九減本積余以除法除之得□○五五以加一借根得□○九五五為二借根　二借積□二九七九七五內(nèi)減本積余以除法除之得□○三九八七以減二借根余□○九五一一為三借根　三借積□二八九九六一九九減本積余以除法除之得□○一九五以加三借根得□○九五一二為四借根　四借積□二九一八五六內(nèi)減本積余以除法除之得□○九二八以減四借根得□○九五一一九為五借根截去末一位得□○九五一一九即小元數(shù)

天元開諸乘方捷術(shù)三益積用此術(shù)

大初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積內(nèi)減本積余以除法除之得數(shù)減一借根為二借根　二借積內(nèi)減本積余以除法除之得數(shù)減二借根為三借根　下皆如是求至借根漸小與元數(shù)密合而止

　算例

　假如平方負(fù)積一百六十八負(fù)方二十二正隅一求元數(shù)

　以三□○之積二四□○為外積三□○為外根求得三□八為遞次除法　大初商三□○為一借根　一借積二四□○內(nèi)減本積余以除法除之得□一八九四七三以減一借根余二□八一五為二借根　二借積一七□一五八一內(nèi)減本積余以除法除之得□○九四二三以減二借根余二□八一為三借根　三借積一六□八三四內(nèi)減本積余以除法除　之得□○八九四以減三借根余二□八一為四借根　四借積一六□八三內(nèi)減本積余以除法除之得□○七八九以減四借根余二□八一為五借根棄零得二□八即元數(shù)

天元開諸乘方捷術(shù)四翻積用此術(shù)

小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根減一之積相減又加一為遞次除法　一借積內(nèi)減本積余以除法除之得數(shù)加一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數(shù)減二借根為三借根　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與元數(shù)密合而止

　算例

　假如平方負(fù)積二九正方四負(fù)隅一求大元數(shù)

　以□三之積□三為外積□三為外根求得□二為遞次除法　小初商□三為一借根　一借積□三內(nèi)減本積余以除法除之得□○五以加一借根得□三五為二借根　二借積□二八九七五減本積余以除法除之得□○一二五以減二借根得□三四八七五為三借根　三借積□二九一二三四三內(nèi)減本積余以除法除之得□○六一七一以加三借根得□三四八八一一七一為四借根截去末三位得□三四八八一為大元數(shù)

天元開諸乘方捷術(shù)五

如前四術(shù)求得元數(shù)數(shù)位后再欲增求其位則即以求得數(shù)位為外根又求得除法　乃以前得數(shù)位演為借積與本積相減余以今得除法除之又與前得數(shù)位相加減為元數(shù)可降數(shù)位如欲再求多位則又另求除法依此累求雖求至數(shù)十位亦非難事

　算例

　假如平方負(fù)積十六正方二正隅一已求得元數(shù)三一二三欲增求之

　先用前除法□八四增求一位得□三一二三一仍為借根以借根演得借積一□五九九九九五三六一減本積得余積□○四六三九　乃用前得元數(shù)□三一二三一又為外根如前求得除法□八二四六二于末位加一數(shù)因前得元數(shù)微歉于元數(shù)尚非外根故必末位加一方是外根除法也得□八二四六三為除法　除法除余積得□○五六二五五五截去末二位以加前得元數(shù)得□三一二三一五六二五為元數(shù)　如再欲增求則以現(xiàn)得十位元數(shù)又為外根又求其除法以除余積此余積是現(xiàn)得十位元數(shù)之積減本積之余也得數(shù)又可消得九位矣

　按正諸乘方亦可用右術(shù)

天元開諸乘方捷術(shù)六

方廉隅相減以除本積得一借根　一借根步至方法步法以借根乘隅加減長廉又以借根乘之加減平廉又以借根乘之至加減方止以除積得二借根　二借根步至方法以除積得三借根下皆如是求至借根與元數(shù)密合而止

　算例

　假如平方負(fù)積十八正方二十□○九負(fù)隅一求小元數(shù)方隅相減得一□九九以除本積得□○九四五二為一借根　一借根步至方法得一□九九九五四八以除本積得□○九二為二借根　二借根步至方法得一□九九九九八以除本積得□○九九棄零得□○九即小元數(shù)

　凡天元開方其方太大猝不能得初商者必元數(shù)甚小于奇數(shù)有懸絕之勢也以右術(shù)求之降位頗易且無所用其初商若方不甚大者不可用此術(shù)用之則難于降位矣

　若元數(shù)與隅數(shù)同者一除而盡無畸零例如后

　又算例

　假如立負(fù)方積一億正方一億十萬一千負(fù)廉十萬一千一正隅一求元數(shù)

　方廉隅正負(fù)減得一億以除本積得□一即元數(shù)也

　右題見汪氏衡齋算學(xué)謂一與十萬相去遠(yuǎn)矣茫無進(jìn)退之限初商何以下算而知其翻為同名與否據(jù)此則于本法亦未了然也今以此術(shù)求之其易如此

天元開諸乘方捷術(shù)七

以方為遞次除法　除法除本積得一借根　一借根諸數(shù)加減本積以借根平積乘第三層以借根立積乘第四層以借根三乘積乘第五層如是乘至隅而止逐數(shù)皆與本積同名相加異名相減以除法除之得二借根　二借根諸數(shù)加減本積以除法除之得三借根　下皆如是求至借根與元數(shù)密合而止

　右術(shù)亦方大者用之為便

　算例

　假如平方負(fù)積一百六十正方八十二負(fù)隅一求小元數(shù)

　以方除本積得□一九五一二為一借根　一借根廾乘隅得□三八七一八加本積以方除之得□一九九七六為二借根　二借根廾乘隅得□三九九四加本積以方除之得□一九九九八八為三借根收零進(jìn)一得□二為小元數(shù)

　又算例

　假如立方負(fù)積一千兆正方三百億廉空負(fù)隅一求元數(shù)

　以方除本積得三三三三□三為一借根　一借根立積乘隅得三十兆七三五九二五九加本積以方除之得三四五六□七為二借根　二借根立積乘隅得四十兆一三三三三一加本積以方除之得三四七一□○為三借根　三借根立積乘隅得四十兆一八一八五六一加本積以方除之得三四七二□七為四借根　四借根立積乘隅得四十兆一八七九五三一加本積以方除之得三四七二□九為五借根即元數(shù)

　又算例

　假如立方負(fù)積一千兆正方二百億正廉十萬負(fù)隅一求元數(shù)

　以方除本積得五萬為一借根　一借根平積乘廉得二百兆五以減本積一借根立積乘隅得一百兆二五以加本積減余數(shù)以方除之得四三七五□○為二借根　二借根平積乘廉得一百兆九一四六二五以減本積二借根立積乘隅得八十兆三七四二三以加本積減余數(shù)以方除之得四四六一□六為三借根　三借根平積乘廉得一百兆九九五八七四以減本積三借根立積乘隅得八十兆八八一二四以加本積減余數(shù)以方除之得四四四八□七為四借根　四借根平積乘廉得一百兆九七九九三一以減本積四借根立積乘隅得八十兆八四三九一以加本積減余數(shù)以方除之得四四五□六為五借根　五借根平積乘廉得一百兆九八七八四以減本積五借根立積乘隅得八十兆八一五六七七以加本積減余數(shù)以方除之得四四五□三為六借根　六借根平積乘廉得一百兆九八五一七以減本積六借根立積乘隅得八十兆八一三八九四以加本積減余數(shù)以方除之得四四五□四為七借根即元數(shù)

　右二題舊用益實減實歸除得數(shù)甚難此術(shù)似較易也

天元開諸乘方捷術(shù)八

如前諸術(shù)先求得元數(shù)數(shù)位為一借根　前得元數(shù)數(shù)位又為外根又求得遞次除法　一借積減本積余再為積變方廉隅一次以除法除之得次小根以加減一借根為二借根　次小根之積減變積余再為積又變方廉隅一次以除法除之得三小根以加減二借根為三借根　三小根之積減次變積余再為積又變方廉隅一次以除法除之得四小根以加減三借根為四借根　下皆如是求至借根與元數(shù)密合而止

　按正諸乘方亦可用右術(shù)

　天元開方至第五術(shù)捷矣然依次累求位數(shù)愈多乘法亦愈繁求至十余位得借積已難再求不更難乎今用此術(shù)截段求之每次得四五位即易一式乘法不致過繁降位亦復(fù)甚易也

　算例

　假如平方負(fù)積一百億正方十萬正隅一已求得元數(shù)六一八□三欲增求之

　以六一八□三為外根如前又求得二二三六□六為遞次除法　六一八□三為一借根　一借積九九九九九一八□九減本積余八九一九□一此術(shù)不可割零為初變積負(fù)倍前得五位加前方得二二三六□六為初變方正一為正隅　置初變積以除法除之得□○三九八八七有奇截用四位得□○三九八八為次小根以加前得五位得六一八□三三九八八為二借根　次小根借積八九一七□四二三一八四一四四減初變積余一□六七六八一五八五六為次變積負(fù)倍前得九位加原方得二二三六□六七九七六為次變方正一為正隅置次變積以除法除之得□○七四九八九有奇截用四位得□○七四九八為三小根以加前得九位得六一八□三三九八八七四九八為三借根　三小根借積一□六七六六三七六八九六七四減次變積余□○二一二八七三二九九九九六為三變積負(fù)倍前得十三位加原方得二二三六□六七九七七四九九六為三變方正一為正隅　置三變積以除法除之得□○九四八四八有奇截用四位得□○九四八四為四小根以加前得十三位得六一八□三三九八八七五七四八四為四借根即元數(shù)

　按右例所得十六位元數(shù)即理分中末之大分?jǐn)?shù)也

截球解義　　　

徐有壬

　幾何原本謂球與同徑同高之圓囷其外面皮積等截球與截圓囷同高則其外面皮積亦等而不直抉其所以然檢梅氏諸書亦未能明釋之也蓄疑于心久矣近讀李風(fēng)九章注乃得其解因釋之以告同志雖然以戴東原之善讀古書而猶謂風(fēng)此注當(dāng)有脫誤甚矣索解人之難也今釋幾何原本而風(fēng)之注因是以明蓋風(fēng)用方今用圓其理則無二也述截球解義

設(shè)如徑與高等之圓囷內(nèi)容同徑之圓球此球必居圓囷三之二何以明之試將圓囷橫切為二則為扁圓囷內(nèi)容半圓球又將扁圓囷十字直切為四則為圓囷八分之一內(nèi)亦容圓球八分之一此圓囷上下兩平面俱為圓之一象限其外之圓立面為囷外面皮八分之一其湊心兩直立面本屬囷之半徑乘半高即球之半徑自乘冪因球在囷內(nèi)球殼因直切處切成一象限是為球半徑冪內(nèi)容一象限為此體之湊心立面各一

圖略于此立面任意橫截則皆有正弦有余弦有矢有半徑

圖略于此體橫切之去其上截則高為余弦

圖略下半截上面截成兩象限一大一小

圖略

此下半截上下兩平行面仍為圓之一象限而上面一象限因有球殼在內(nèi)界成一小象限其半徑即所截之正弦正弦者句也余弦者股也半徑者弦也以句為半徑作一象限以股為半徑作一象限兩象限相并作一大象限必以弦為半徑　句方股方并為弦方句圓股圓亦并為弦圓句象限股象限亦并為弦象限以方圓比例推之其理易見

然則截體上面之大象限球半徑弦為半徑內(nèi)減球殼所界之小象限正弦句為半徑所余環(huán)積必與余弦股所作小象限余弦股為半徑等矣

立面一象限自高而下所截余弦至不齊也上面大象限減小象限之環(huán)積亦至不齊也而余弦為半徑作象限必與此環(huán)積等此環(huán)積總為弦上象限句上象限之較此無高無下無小無大無適不然者也

又試依圓囷之底為底即球中腰大圓面以囷之半高為高即球之半徑作一圓錐體而十字切之為象限錐積以象限為底此錐之底兩旁之邊即圓囷半徑亦即球半徑也

底邊之半徑為句錐高之半徑為股是為句股相等

于此錐體任意橫截為各小錐莫不為底邊與高相等之錐茍以小錐高為半徑作象限面莫不與小錐底相等此亦無高無下無小無大無適不然者也

小錐之高猶余弦也小錐之底猶大象限減小象限之環(huán)積也小錐之高為半徑作象限必與小錐底等猶余弦為半徑之象限必與環(huán)積等也

余弦之自大而遞小也截高則余弦大截下則余弦小極高則幾與半徑等極下則幾于無余弦其長短有序不亂今各以為半徑作各象限層累疊積必成一象限錐與上錐等而余弦各象限即球內(nèi)各象限減圓囷各象限之余也圓囷橫薄切之皆相等之象限面圓球橫薄切之各成正弦為半徑之象限面用此知球與圓囷相較必少一錐體矣

是故一錐一球相并必與圓囷等而錐居囷三分之一球必居囷三分之二矣

是故三倍圓珠兩倍圓囷其積必等

夫囷之求積以囷之外面皮積為底以半徑為高作立方為囷之兩倍球之求積以球之外面皮積為底以半徑為高作立方為球之三倍今既知球之三倍囷之兩倍為相等則兩立方等矣又知兩立方之高同以半徑為高則其底亦必等矣

是故球之外面皮積與囷之外面皮積必等

是故球之中腰大圈乘圓徑即球之外面皮積

再就前截體觀之以球心為心依球殼所截上面小象限弧為界以半徑周遭割之剜出一象限錐此錐以小象限為底此象限以正弦為半徑以余弦為高是為內(nèi)錐

再依前法將截球殼外圓囷所多之積割出準(zhǔn)前論知此亦為一象限錐此錐以大象限球半徑為半徑小象限截球正弦為半徑之面積較為底即余弦為半徑所作之象限亦以余弦為高是為外錐內(nèi)錐外錐相并為一大錐亦以余弦為高即原截體之高而以大象限半徑即球半徑為底即原截體之底此錐必為原截體三分之一上下兩面平行體與錐體同底同高則錐必居三分之一而所余者必為三分之二矣

圓囷既剜去內(nèi)錐割去外錐則所余為圓球截積空中如外面則上小下大必居圓囷三分之二

求圓囷截積者囷外面皮截積為底半徑為高作立方為截囷之倍積求圓球截積者球外面皮截積為底半徑為高作立方為截球之三倍積今既知截囷與截球若三與二則截囷兩倍之立方與截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高為相等之半徑則其底亦不得不等矣

是故截球之外面皮積與截囷之外面皮積必等

是故截球余弦高乘球之中周大圈即截球之外面皮截積

全球之外面皮積即圓徑乘周也半球之外面皮積即半徑乘周也截球之外面皮積即余弦乘周也上截球蓋之外面皮積即矢乘周也

球徑求積術(shù)

徑自乘再乘半之為第一數(shù)　四分第一數(shù)之一又二分去一三分去二為第二數(shù)　四分第二數(shù)之一又四分去一五分去二為第三數(shù)　四分第三數(shù)之一又六分去一七分去二為第四數(shù)　四分第四數(shù)之一又八分去一九分去二為第五數(shù)　諸數(shù)相并即球積

球徑求球殼積術(shù)

徑自乘三之為第一數(shù)　四分第一數(shù)之一又二分去一三分去二為第二數(shù)　四分第二數(shù)之一又四分去一五分去二為第三數(shù)　諸數(shù)相并即球外面皮積

截球余弦求截球積術(shù)

　識別得余弦乘周又乘半徑為截球積之三倍　半徑自乘內(nèi)減余弦自乘余為正弦自乘求其圓面又乘余弦為截求內(nèi)錐之三倍　兩積相并為截球積

半徑自乘三之內(nèi)減余弦自乘又以余弦乘之為第一數(shù)　四分第一數(shù)之一又二分去一三分去二為第二數(shù)　四分第二數(shù)之一又四分去一五分去二為第三數(shù)　諸數(shù)相并為截球積

截球矢求截球上蓋積

　識別得矢乘周又乘半徑為錐積之三倍　矢乘矢徑差為正弦冪求其圓面乘余弦為內(nèi)錐之三倍兩錐相減余為蓋積

矢減半徑又加全徑以矢自乘乘之為第一數(shù)　四分第一數(shù)之一又二分去一三分去二為第二數(shù)　四分第二數(shù)之一又四分去一五分去二為第三數(shù)　諸數(shù)相并為截球上蓋積

附錄橢圜求周術(shù)

　橢圜求周無法可馭借平圜周求之則有三術(shù)以袤為徑求大圜周及周較相減此項梅侶氏之術(shù)也以廣為徑求小圜周及周較相加此戴鄂士氏之術(shù)也余亦悟得一術(shù)以橢周為圜周求其徑以求周即為橢圜之周術(shù)更直捷兼可貫三術(shù)為一術(shù)如后方

堆垛術(shù)曰一為第一數(shù)　一乘三乘第一數(shù)四除之為第二數(shù)　三乘五乘第二數(shù)九除之為第三數(shù)　五乘七乘第三數(shù)十六除之為第四數(shù)　七乘九乘第四數(shù)二十五除之為第五數(shù)　九乘十一乘第五數(shù)三十六除之為第六數(shù)　依次列之為初表

招差術(shù)曰廣袤各自乘相減四而一為乘法一次乘初表第一數(shù)二次乘第二數(shù)三次乘第三數(shù)四次乘第四數(shù)五次乘第五數(shù)六次乘第六數(shù)仍依次列之為表根

招差又術(shù)曰以袤為除法一次除表根第一數(shù)三次除第二數(shù)五次除第三數(shù)七次除第四數(shù)九次除第五數(shù)十一次除第六數(shù)相并為袤徑較以減袤為借圜徑

堆垛又術(shù)曰三因借圜徑為第一數(shù)　四分第一數(shù)之一二分去一三分去二為第二數(shù)　四分第二數(shù)之一四分去一五分去二為第三數(shù)　四分第三數(shù)之一六分去一七分去二為第四數(shù)　四分第四數(shù)之一八分去一九分去二為第五數(shù)　四分第五數(shù)之一十分去一十一分去二為第六數(shù)　遞求至若干位相并為橢圜周

　右術(shù)分四層即用項氏術(shù)變通得之其圖說之詳已見項氏書中茲不復(fù)贅若用戴氏術(shù)通之前后三層均如舊惟第三層不同如下

招差又術(shù)曰以廣為除法一次除表根第一數(shù)正三次除第二數(shù)負(fù)五次除第三數(shù)正七次除第四數(shù)負(fù)九次除第五數(shù)正十一次除第六數(shù)負(fù)遞求至若干位正數(shù)相并內(nèi)減負(fù)數(shù)余為廣徑較以加廣亦為借圜徑

　此即戴氏術(shù)變通得之余三層皆同前

　若移第四層為第一層先以求大圜周或以廣求小圜周后依初表表根及招差又術(shù)各得周較加減所得并同即項戴二君術(shù)也

四元解序　　　

顧觀光

四元之術(shù)至明而失其傳近得徐鈞卿羅茗香諸公相繼闡發(fā)始有蹊徑可尋然按法求之恒苦其難而不適于用約其大端蓋有三焉天物相乘與地人相乘并用寄位則冪與冪乘推而上之幾有無方位置之處一也剔消之法以一式截分為二左右斜正初無一定之規(guī)非熟于法者安能無誤二也次式副式通式及上中下諸式之名任意作記易滋學(xué)者之疑三也繙閱之暇每欲改易算式而其道無由乙已冬海甯李君秋紉以所著四元解示余余受而讀之見其以面體釋四元以面體之自乘再乘定算式而相消所得直命為初消次消三消則向所難之三事均已無之作而嘆曰心之神明固若是之日出而不窮乎非四元無以盡天元之變非天元無以盡少廣之變而非少廣之面體則亦無以定四元之位而直　發(fā)明其所以然竊為一言以蔽之曰析堆垛成廣隅而已古法置太極于中心而環(huán)之以八又環(huán)之以十六其遞增也皆以八堆垛之式也新法置太極于一隅而附之以三又附之以五其遞增也皆以二廉隅之象也置太極于中心則上下左右動有牽制置太極于一隅則升降進(jìn)退無往不宜由是四元相乘皆有位無寄位也四元為法皆可除無剔消也且其定位之圖既化諸乘方為平方相乘相消之圖又化諸乘方為立方反覆辨論均能假象以達(dá)難顯之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢啟秘對數(shù)探原諸書皆本天元之術(shù)而引而伸之實發(fā)前人所未發(fā)余冀其悉合而傳之以為言算者一大快也

對數(shù)探原序　　　

顧觀光

對數(shù)探原者海甯李君秋紉所著也西人對數(shù)之表以加減代乘除用之甚易而造之甚難李君巧借諸乘尖堆以定其數(shù)又化諸乘尖堆為同高同底之平尖堆以圖其形由是遞加遞除而諸對數(shù)指顧可得精思所到生面獨開矣究其立法之原不越乎天元以虛求實之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正數(shù)也平分其高為若干分依分各作橫以截其積而對數(shù)之法由之以生何也對數(shù)之首位自一至九止矣一之對數(shù)為而百億之對數(shù)亦為故尖堆下段之積不可求而總積亦不可求非無積也正以其大之極而一至九之?dāng)?shù)不足以名故反命為此盈虛消息如環(huán)無端之妙也二至十之共積為一十一至一百之共積為一一百一至一千之共積亦為一推之至于萬億無不如是此尖堆漸上漸狹漸下漸闊之理也以加倍代自乘則二段之積不得不同于三四兩段之積以三因代再乘則二段之積不得不又同于五六七八四段之積此尖堆二段以上積數(shù)相等之理也尖堆之底無盡積亦與為無盡而求兩對數(shù)較則所得皆為最上一段之積故二十尖堆已足當(dāng)億萬尖堆之用西人不達(dá)乎此乃用正數(shù)屢次開方對數(shù)屢次折半以求之亦識流而昧其原矣易不云乎易則易知簡則易從李君渺慮凝思無幽不啟蓋實有以通易簡之原而體神明之撰者西人見之應(yīng)亦自悔其徒勞也

數(shù)學(xué)跋　　　

顧觀光

江氏數(shù)學(xué)繼梅氏歷書而作者也其于七政運行之故歲實消長之原曲暢旁通實足補梅氏之未備自錢竹汀謂宣城能用西學(xué)江氏則為西人所用且極詆其冬至權(quán)度如公孫龍之言臧三耳甚難而實非無識者往往惑之平心而論江氏之囿于西法固矣錢氏之說則又囿于中法而非實事求是之學(xué)也七政盈縮遲疾之原或曰小輪或曰不同心天世無陵云御風(fēng)之人誰為正之然使小輪所用止在盈縮遲疾之間則謂其巧算而非真象無不可也無如日月在小輪之上半周則距地遠(yuǎn)而視之亦小在小輪之下半周則距地近而視之亦大視徑有大小即地半徑差有損益而影徑分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈縮遲疾而后信也有高卑則舍小輪與不同心天固更無他法矣兩心差之有大小西人早已言之日躔歷指偁意罷閣于漢景帝時測兩心差為十萬分之四千一百五十一九執(zhí)歷推定日法分一象限為六段計其積差凡二度十四分以正切求兩心差得十萬分之三千九百江氏推劉宋大明時兩心差四三五與意罷閣所測正相近唐開元時冬至減時大于今四刻有奇則較九執(zhí)歷為稍贏耳錢氏謂兩心差古大今小仍是楊郭百年消長之法不知消長以定冬至為根而兩心差之加減則以平冬至為根根既不同算何由合元明以來歲實由消而漸長議者紛紛江氏妙解算理因授時歷議所述丁丑至庚辰四年冬至自相乖違而知其刻下小余有三十分?jǐn)酁殚L極而消之大界證佐甚明恐善辨者亦難為郭氏解也西法行之已久不能無差江氏之書誠有主持太過之弊然元嘉十三年甲戌冬至諸歷皆得癸酉大明五年乙酉冬至諸歷皆得甲申而江氏所推獨與古人吻合元嘉十八年己亥冬至則據(jù)隋志以正宋志之光大二年乙巳冬至則據(jù)太建四年丁卯冬至而疑其測驗之非真此皆由古籍中參稽而得非徒立異同錢氏考之不審乃以為辭窮而遁是算術(shù)不足信而史文必?zé)o一字之舛也有是理乎兩心差古大今小江氏未有定率而改最卑每歲東行為一分三秒則精思所到遂與噶西尼之新法不約而同可見考諸古而無疑者質(zhì)諸今而自合若合于古而不合于今則其合也亦幸而已矣易不云乎天地之道貞觀者也天有常行不以古今而異謂西人之術(shù)必不可以考古是古之天行異于今也謂古之天行異于今是古與今當(dāng)各有一天也而豈其然哉江氏書世無善本七政小輪諸紛如亂絲恐其久而失傳無以為治歷者先路之導(dǎo)今特詳為校正書中精確不磨之處讀者當(dāng)自知之惟無以是古非今之見先橫于中此則余所旦暮遇之也夫

　歲實消長其故有二一由兩心差有大小一由黃赤距有遠(yuǎn)近吳江王氏青州薛氏并嘗言之今薛氏天學(xué)會通未見足本曉庵新法又脫去補遺不知其說云何江氏之說得其一而失其一蓋考之未審矣夫黃極環(huán)赤極二萬五千八百六十八年而一周即歲差也黃道既退行于赤道則歲實必漸消惟是西人舊說皆以歲差為恒星東行遂與最高行兩數(shù)混淆無從分析中法知歲差為歲不及天矣而又不知最高之有行分宜乎歲實消長歷千余年而未有定論也近日西人新測春秋分點每歲西行五十一秒最高每歲東行十一秒八兩心差古大今小約百年差二萬五千分之一黃赤道古遠(yuǎn)今近約百年差四十八秒咸豐庚申最卑過冬至十度二十八分五十三秒三黃赤大距二十三度二十七分二十七秒三八