五星歲輪與伏見輪之不同　　　

顧觀光

西法步五星土木火用歲輪金水用伏見輪梅勿庵謂五星皆有歲輪而伏見輪即歲輪上星行繞日之圓象婺源江氏從之著金水二星發(fā)微繪圖立算縷析條分而征之等邊等角之兩三角形以著其理二家之說可謂詳且明矣余嘗細(xì)譯歷書而知歲輪與伏見輪之算其不可強同者有四試詳言之土木火次引以初實行減太陽實行得之是次引大小一由于太陽之盈縮一由于本天之高卑而金水二星但以初均加減伏見平行不用太陽盈縮差其不同一也土木火以初實行減太陽實行則初均數(shù)為加者距日度反差而少初均數(shù)為減者距日度反差而多此緣上三星之行遲于太陽故如此立法若金水二星之行速于太陽初均數(shù)加則距日度亦加初均數(shù)減則距日度亦減而乃反用初均以加減伏見平行與上三星算同而理正相反其不同二也用歲輪則心在本道有升度差用伏見輪則心在黃道無升度差其不同三也土木火以正交行減初實行是用次輪心距正交度金水以正交行減初實行又加伏見實行而初實行與伏見實行相并之度即平行與伏見平行相并之度是從伏見輪言之為星距正交度從本天言之即本輪心距正交度矣其不同四也因此四事而知歲輪與伏見輪之用離之則雙美合之則兩傷矣然則梅氏江氏之說非乎曰未可非也所不同之四事歷書均已言之曰伏見輪雖以太陽為心實以太陽本輪心為心也曰伏見輪最遠(yuǎn)點無定分其距平遠(yuǎn)點之度必與初均等也曰伏見輪最遠(yuǎn)點距伏見輪正交之度必與伏見輪心距本道正交之度等也之三者非征之實測未易決其是非惟謂伏見輪在黃道無升度差則即以伏見輪之理考之而知其必不可通何也伏見輪之心雖行于黃道而其面與黃道斜交半在南半在北惟正交中交二點與黃道合聯(lián)此二點過心成一直此必與黃道平行而其距伏見輪遠(yuǎn)近之度時時不等設(shè)正交距最遠(yuǎn)九十度則伏見輪之上下一南一北成偃臥之勢謂其無升度差理固然矣若正交與最遠(yuǎn)合則伏見輪之左右一南一北成側(cè)立之勢與土木火本道之斜交于黃道者其象正同又安得無升度差乎斯時黃道如句視緯如股伏見輪面如弦自黃極出抵黃道及星在伏見輪之右者其度必差而東在伏見輪之左者其度必差而西歷書概置不論但以本道即黃道一語了之不思經(jīng)度與緯度相待而成無升度差安得復(fù)有視緯此可以理決之不俟實測而后信也要之伏見輪之法本于歲輪自承用者逐影忘形遂至抵牾不合回歷五星并用太陽平行并無升度差歲輪與伏見輪通為一法西人于土木火三星屢改益精而金水二星仍同回歷由泥于伏見輪在黃道之說而不復(fù)深思蓋改法者已不知伏見輪為歲輪上星行繞日之圓象矣梅氏江氏之說穎悟絕倫表而出之以告天下后世之讀古人書而死于句下者

幾何原本六和六較解　　　

顧觀光

大分四正方十六　小分三四六四奇正方十二　兩正方較積四其邊二與大分有等　半小分一七三二奇正方三　大分上作少一正方之矩形與半小分正方等長三闊一

大小兩分相并得七四六四奇為第一合名第二第三同

相減余五三五奇為第一斷第二第三同

設(shè)有比例八與大分有等　以乘矩形之長得二十四其邊四八九八奇以乘矩形之闊得八其邊二八二八奇兩數(shù)相并得七七六奇為合名自之得五九七一奇即第一合名乘比例之矩形兩數(shù)相減得二七奇為斷自之得四二八五奇即第一斷乘比例之矩形

設(shè)有比例六九二八奇與小分有等以乘矩形之長得二十七八奇其邊四五五八奇以乘矩形之闊得六九二八奇其邊二六三二奇　兩數(shù)相并得七一九奇為第一合中自之得五一七一奇即第二合名乘比例之矩形　兩數(shù)相減得一九二六奇為第一中斷自之得三七九奇即第二斷乘比例之矩形

設(shè)有比例七與大分小分皆無等　以乘矩形之長得二十一其邊四五八二奇以乘矩形之闊得七其邊二六四五奇　兩數(shù)相并得七二二七奇為第二合中自之得五二二四奇即第三合名乘比例之矩形　兩數(shù)相減得一九三七奇為第二中斷自之得三七五二奇即第三斷乘比例之矩形

大分四一二三奇正方十七　小分三六五奇正方十三　兩正方較積四其邊二與大分無等　半小分一八二奇正方三二五　大分上作少一正方之矩形與半小分正方等長三六一奇闊一六一奇

大小兩分相并得七七二八奇為第四合名第五第六同

相減余五一八奇為第四斷第五第六同

設(shè)有比例八二四六奇與大分有等　以乘矩形之長得二十五二四奇其邊五二三奇以乘矩形之闊得八七四九奇其邊二九五七奇　兩數(shù)相并得七九八奇為太自之得六三七二奇即第四合名乘比例之矩形　兩數(shù)相減得二六六為少自之得四二六八奇即第四斷乘比例之矩形

設(shè)有比例七二一奇與小分有等　以乘矩形之長得二十二七其邊四六九七奇以乘矩形之闊得七六五其邊二七六五奇兩數(shù)相并得七四六二奇為比中方自之得五五七一奇即第五合名乘比例之矩形　兩數(shù)相減得一九三二奇為合比中方自之得三七三二奇即第五斷乘比例之矩形

設(shè)有比例七與大分小分皆無等　以乘矩形之長得二十一四二七其邊二七二三奇　兩數(shù)相并得七三五一奇為兩中面之自之得五四九奇即第六合名乘比例之矩形　兩數(shù)相減得一九五奇為合中中方自之得三六二九奇即第六斷乘比例之矩形

大分十五正方二百二十五小分十一一八奇正方一百二十五兩正方較積一百其邊十與大分有等　大小兩分相減余三八二奇為第一斷　即以較積方邊為比例圓半徑以乘第一斷得三十八二奇開得斷六一八奇即圓內(nèi)容十邊形之一邊

大分十二五正方一百五十六二五小分五五九奇正方三十一二五兩正方較積一百二十五其邊十一一八與大分無等　大小兩分相減余六九一奇為第四斷　有比例二十圓徑與大分有等以乘第四斷得一百三十八奇開得少十一七五奇即圓內(nèi)容五邊形之一邊

大分十七三二奇正方三百小分十二九一奇正方一百六十六六六兩正方較積一百三十三三三其邊十一五四奇與大分有等　大小兩分相減余四四一奇為第一斷　即以較積方邊為比例球內(nèi)容六面體之一邊以乘第一斷得五十八九奇開得斷七一三奇即球內(nèi)容十二面體之一邊

大分十一一八奇正方一百二十五小分五正方二十五兩正方較積一百其邊十與大分無等　大小兩分相減余六一八奇為第四斷　有比例十七八八奇容二十面體上五邊形之圓徑與大分有等以乘第四斷得一百十四九奇開得少十五一奇即球內(nèi)容二十面體之一邊

圓錐三曲記　　　

顧觀光

凡圓錐體橫剖之成平圓斜剖之成橢圓平圓祗有一心其周之距心恒等橢圓則有二心自二心出抵圓周二之和必與長徑等也命橢圓之長徑為橫軸短徑為縱軸則任于圓周作縱為股所截長半徑之橫為句股冪乘長半徑冪與句冪乘短半徑冪之和恒與兩半徑冪相乘之?dāng)?shù)等其過心之倍股即長軸之通徑以長徑為連比例之首率短徑為中率則通徑為末率也股冪與所分長徑二分相乘之冪若短徑冪與長徑冪于長徑上作平圓則同句之平圓股與橢圓股若長徑與短徑矣任于圓周出二斜抵橫軸之兩端為正余二通弦則二通弦對角正切相乘之冪即長徑冪約短徑冪之?dāng)?shù)自圓周作二斜與二通弦平行則橢圓切也引橫軸與切相交成句股形切為弦縱為股則其句為次切法以橫冪與長半徑冪相減為實橫為法實如法而一即次切也自切點作抵橫軸與切成直角是名法法為弦縱為股則其句為次法法以短半徑冪乘橫為實長半徑冪為法實如法而一即次法也橢圓法平分切點距二心之交角故切與距二心之交角亦相等矣二切既與二通弦平行則自二屬點過中點之斜徑亦與二通弦平行命之曰相切徑任于圓周作縱與一半徑平行截其又一半徑為橫與橫軸上之句股比例并同故相屬徑之二冪和與長短徑之二冪和恒相等也徑端距二心相乘之冪與半徑冪等相屬徑四端之四切成平行四邊形亦與長短二徑相乘之冪等若以二徑之平圓面積為首末率而求其中率即橢圓面積也

凡圓錐體依一邊之勢自對邊斜剖之至底成單曲形以此形橫置之作過心橫軸引長至頂點外如頂點距心度乃作垂與軸成直角即準(zhǔn)也任于曲上作橫直交于準(zhǔn)必與距心等任于曲上作縱為股截軸之橫為句以句為連比例之首率股為中率則通徑為末率通徑者過心之倍股也折取其半即心距準(zhǔn)之度矣自縱上端作斜為曲之切引橫軸與之相交亦與次切成句股形又作法直交于切亦與次法成句股形單曲之次切倍于橫而次法恒為通徑之半以縱約次法或以次切約縱皆切與軸交角之正切也切點距心交法之角恒等于法交軸之角故法之兩端其距心亦相等切點距心交切之角恒等于切交軸之角故切之兩端其距心亦相等自心作斜直交于切即切點頂點兩距心之中率矣任作通弦與切平行又自切點作橫徑與軸平行必分通弦為兩平分半通弦為縱截橫徑為橫與橫軸上之句股比例并同若句股相乘取三之二即所截單曲之面積也

凡圓錐體依立垂之勢自一邊直剖之至底成雙曲形以此相等之二形橫置之其二頂點之相距即為橫徑任于曲上出抵二心二之較必與橫徑等也自橫徑之中作直交于橫徑即為縱徑中點距心為弦其距頂為句求得股為半縱徑自橫徑之上下截之復(fù)作相等之二曲形為相屬雙曲引縱橫二徑為二軸皆過曲之二心以橫徑為連比例之首率縱徑為中率則通徑為末率即橫軸上過心之倍股也任于曲上作縱為股截橫徑之引長為句股冪乘半橫徑冪與句冪乘半縱徑冪之較恒與兩半徑冪相乘之?dāng)?shù)等股冪與句加橫徑乘句之冪若縱徑冪與橫徑冪矣自縱上端作切法二亦與次切次法二成句股形其求切交軸之角與單曲同雙曲之切平分切點距二心之交角故其法亦平分切點距二心之外角任于曲上出二斜抵橫徑之兩端為正余二通弦二通弦對角正切相乘之冪即橫徑冪約縱徑冪之?dāng)?shù)自橫徑之中又作二斜與二通弦平行四端皆抵曲命之曰相屬徑以此二徑引而長之任于曲上作縱與一半徑平行截其又一半徑之引長為橫與橫軸上之句股比例并同故相屬徑之二冪較與縱橫徑之二冪較恒相等也相屬徑四端之四切成平行四邊形與縱橫二徑相乘之冪等縱橫徑四端之四切成長方形作對角二斜引而長之與四曲漸近而永不相合命之曰漸近以橫徑約縱徑即漸近與橫徑交角之正切矣任與曲上作縱與一漸近平行截其又一漸近為橫縱橫二相乘之冪恒為中點距心冪四之一引長縱以四曲為界補成平行四邊形恒為縱橫二徑相乘冪二之一任于曲上作切以二漸近為界必平分于切點故切點上之相屬徑亦與切相等若以股乘半橫徑與句乘半縱徑二冪之和乘訥氏對數(shù)二七一八二八二以減句股相乘之冪即所截雙曲之面積也

此三曲皆圓錐之分形其離切之率當(dāng)以合吻圓度之任于曲上作諸圓形與曲同切于一點則圓周之離切半徑小者較速半徑大者較遲而諸圓形中必有一圓周與曲吻合無間即合吻圓也命圓半徑為曲率半徑則各點曲率半徑之比同于法立方之比法立方為實半通徑之平方為法實如法而一即曲率半徑也橢圓二心相距之半之為兩心差以長半徑約之則為橢率置圓周率三一四一五九二六五以長徑乘之為實橢率自之為屢乘數(shù)遞取其四之一十六之三三十六之十五以減實即橢圓周也置圓周率以長短二徑相乘之冪乘之為實橢率自之為屢乘數(shù)遞取其六之一二十之三四十二之十五以減實即橢圓體之曲面積也法乘縱而以通徑約之于上法加縱而半之以乘訥氏對數(shù)加入上位即單曲之長也以通徑約圓周率四因三除以乘法次法兩立方之較即單曲體之曲面積也橢圓體積等于外切圓柱三之二單曲體積等于外切圓柱二之一單曲面所容最大長方其橫徑恒為軸三之二圓錐所容最大單曲面其軸恒為斜距四之三引而伸之觸類而長之曲之能事畢矣

靜重學(xué)記　　　

顧觀光

重學(xué)之本始于權(quán)衡權(quán)與物均而衡平則左距與右距等若不均而衡平則左距乘左重與右距乘右重等比例之法由此起矣桿之異于衡者不惟其平而惟其定直桿或平或斜并與衡同曲桿則視力與桿之交角其角正得九十度比例同于直桿不正得九十度則左距乘左重與右角正弦若右距乘右重與左角正弦或有曲桿之折角而求左右兩角則左距乘左重為實右距乘右重為法實如法而一內(nèi)減折角余弦折角正弦除之即左角余切也求右角者仿此

二力之引重而行也二相合則用其和二相對則用其較若不相合而未至于相對者以二力補成平行四邊形作對角為二力之合率三力以上其理一也

引重之器有七其助力各不同桿之助力為右距與左距之比輪軸之助力為軸徑與輪徑之比齒輪之助力為小輪齒數(shù)與大輪齒數(shù)之比單滑車之助力為一與二之比連滑車之助力為一與二依滑車數(shù)少一乘方積之比或為一與索數(shù)之比或為一與二依動滑車數(shù)乘方積少一之比斜面之助力為股與弦之比劈之助力為劈背與劈邊之比螺旋之助力為兩螺距與柄長為半徑所成圓周之比七者或分或合或復(fù)或單皆能以小力運大重其力與重皆若重動速與力動速也

獨體合體均有重心自重心作垂必與地平成直角凡三邊形各于半邊作對角三相交之點為重心其距角與距邊若二與一也兩兩相等四邊形于相等邊之半作聯(lián)兩相交之點為重心其距兩邊恒相等四不等邊以對角分為兩三邊形各以法求其重心兩重心聯(lián)為一則大形垂與小形垂若小形之重心距與大形之重心距也凡尖錐體先求底之重心自底心至尖作聯(lián)其四之一為底心距重心若去其尖則以上下兩重心作聯(lián)全體之重心必在此上矣設(shè)諸面體之角各為質(zhì)點而以聯(lián)之又或斷而不連或動而不定亦必有此重心引重之器以力與重聯(lián)為一力降則重升而聯(lián)上必有定點即重心也既有重心可明定理體之定于一點者自懸點作垂必過重心體之定于一面者自重心作垂必與定點相合體之定于一點及一面者自重心作垂為一邊自面之定點作直交于面為又一邊面之定點距重心為底則兩定點相距為三角形之大分邊體之定于兩點者以此兩點引而長之必交于重心所作之垂也體之定于兩面者兩定點之抵力各與其面成直角引而長之亦必交于重心之垂也

凡體已定而微動之或復(fù)原處或離其原處則固定與非固定之別也設(shè)小半球切于大半球之凸面其重心恒為球半徑八之五自切點作與地平成直角重心在此內(nèi)者為固定在此外者為非固定法以兩半徑相乘為實兩半徑相并為法實如法而一為固定率若切于大半球之凹面則兩半徑相乘為實兩半徑相減為法實如法而一為固定率

屋梁相定之理三梁相合成兩等邊三角形加重于頂自頂點作垂分為兩句股形則句為梁平力之率倍股為梁垂力與加重之率三梁相屬以次遞降自下梁重心作直引中梁與之相遇復(fù)自相遇點至下梁下端作斜則與地平成句股形句為下梁平力之率弦為下梁垂力之率四梁相屬長短輕重如一合地平成五不等邊形自頂點作垂則與地平成大句股又自下梁上端作地平則與垂成小句股小股對角之正切與大股對角之正切若一與三也

橋環(huán)相定之理先令諸劈之大小形狀左右俱等自橋頂作垂以諸劈之左右切面引而長之必與垂遇于一點此點即環(huán)心也各切面與垂之交角其切較為各劈重率割為各劈抵力率不合此率而又無面阻力橋必圯矣由劈之重心作垂自切面之中作直交于切面為抵力引而長之與左右兩垂相遇必在劈行之中若出劈外而又無膠固力橋必圯矣橋之下面為圓者自圓心作地平又以圓半徑為股橋頂至圓心之垂為弦取其句于垂上自圓心截之復(fù)作一地平此自中至邊漸與橋之上曲相近而永不相合任于此上作一垂交于下地平又自圓心作一斜乃取交點距橋頂之度于斜上自圓心截之即上曲所到也橋之上下面俱為地平者中間必為垂面各切面與垂之交角其切較為各劈重率即為各劈面積率抵力不出劈外與橋環(huán)同

凡糙面有二阻力一在平面一在斜面光面則祗有平面之阻力也任何面體行于平面其重即為抵力兩面俱木而紋平行者取抵力二之一兩面俱木而紋橫直相交或兩面俱金者取抵力四之一兩面一木一金者取抵力五之一各以乘抵力為面阻力斜面之阻力則置物于平面而以一邊徐徐舉起于物欲下未下之時測斜面與地平之交角其全數(shù)與角正切若抵力與面阻力也橋環(huán)諸劈之重不合于切較則抵力與切面斜交試于抵力之端作直交于抵力又于直交之中依斜面阻力角度左右各作一角即為斜交之大限切面在此二限之中環(huán)亦定矣

有小圓柱旋轉(zhuǎn)于大圓柱中其相切處亦生面阻力兩面俱木者取抵力十二之一兩面一銅一鐵者取抵力七之一各以乘抵力為面阻力輪軸滑車率皆準(zhǔn)此

動重學(xué)記　　　

顧觀光

凡動無他力加之則方向必直遲速必平若加以他力而方向異于本動者以二方向補成平行四邊形作對角為二速之合率力之加于物而生動也不論正加旁加其動力恒等于抵力故左重與右重若右速與左速二物相引則速之大者必減小者必增各以其重乘所增減之速其數(shù)亦相等也

凡球行于平面是生平力二球相擊其體平而復(fù)凸是生凸力球之無凸力者或鉛或瓦擊時二速消盡二球必止而不行矣凸力有等于平力者謂之全凸力有小于平力者謂之朒凸力呢紗等球凸力為平力九之五象牙球為九之八玻璃球為十六之十五正相擊后二球分行于二對面各生新速其擊前速與擊后速若平力與凸力也設(shè)二球皆全凸力正相擊后小球之速必減而大球之速必增二重和與二重較為倍大重與減速之率又為倍小重與增速之率各以其重乘速而并之擊前與擊后亦等二球之凸力等而正相擊后小球止而不行其大球與小球必若平力與凸力也若以動球擊靜球而二體相等又皆為全凸力者其動靜必互相易動球小于靜球則小者返行而大者前行必小于小者之前速動球大于靜球則小者之速必大于大者之前速而大者隨行其速小于前速三球在一上以次遞小而大中二球之較大于中小二球之較者大球由中球傳速于小球必大于直傳速于小球若中球為大小球之中率則傳速最大矣

自擊點過二球心作交其合于球行之方向者為正相擊不合者為斜相擊二球方向一直一橫則擊后橫者斜行以擊前二方向引而長之補成平行四邊形作對角即斜行之也二求俱斜則擊后二方向與擊前二方向互為平行自方向之端作直交于交前后各成兩句股形其兩句必自相等又以擊前二方向引之相交則交角之對邊即擊時之兩半徑和也

二球相距必有重心至相擊時重心即為擊點二球相對而行則重心恒不動故左重與右重若右距與左距相隨而行而后速大于前速則重心隨而前行法以兩重各乘速而并之為實并兩重為法實如法而一即重心行也設(shè)二球平行于二斜重心必平行于一直以二斜引之相交取二速之度自交點截之為兩腰作聯(lián)為三角形之底則左速與右速若右分邊與左分邊乃自分邊處至交點作直即重心行也

凡有凸力之球斜擊于不動之面則擊后必斜行自擊點過球心作交又自方向之端作直交于交成前后兩句股形凸力全者兩句股形相等而方向與交之交角前后亦必相等凸力不全則后角與前角之正切為平力凸力之率后角與前角之正弦為前速后速之率無凸力者擊后行于面邊其前速與后速若全數(shù)與角正弦也

凡動有二一為平速一為漸加速平速動成長方形速為闊時為長則路為長方積漸加速動成塹堵形力為高時為長與闊則速為長方積路為塹堵形積物在空中為地力所引而下墜愈下愈速即漸加速也地形橢圓長徑過赤道短徑過兩極徑冪與地力為轉(zhuǎn)比例故兩極下地力與赤道下地力若百四十五與百四十四兩極赤道之間地力適中于一秒中測物之下墜凡十六尺又萬分尺之六百九十七倍之為一秒之地力依塹堵形求之速與路俱可得矣聲之行為平速一秒中凡千十七尺設(shè)投石井中歷幾秒聞水聲則以地力除二開平方為石過井率以聲速除一為聲過井率并之以比所歷之時即井口距水之深也大小二重懸于定滑車者大重必隨地力而下二重和與二重較若地力與長加力物自斜面下行兩面皆為光面必相切而行非旋轉(zhuǎn)而下斜面之弦為重率股為力率力乘地力即斜面之長加力以塹堵形之比例通之地力乘股以除二弦冪即時冪也二地力以乘股即速冪也故不論弦之長短但股等則速亦等以重引重令行于斜面垂面之重大則重上行垂面之重小則重下行以垂重乘弦與斜重乘股之較乘地力為實并二重以乘弦為法實如法而一即長加力也設(shè)有圓面直交地平自頂點至圓界作諸通弦則物任行于何通弦自頂點至末點時刻俱等大小兩圓面之頂合為一點直交地平自頂點至大圓界作諸大通弦中有諸小通弦則物行于兩通弦之較自小圓界至大圓界時刻俱等凡此相等之理皆由地力而生也

拋物空中上行極則彎環(huán)而下其兩端恒相等是名拋拋與地平之交角適足四十五度者拋界最大其左右皆漸小而兩兩相等至九十度則無拋界矣若拋物于斜面則視斜面與九十度之交角拋中分此角者拋界最大其左右亦漸小而兩兩相等至九十度則無拋界矣以拋之切為弦則垂為股地平為句切生于平速之拋力故時速相乘而得弦垂生于漸加速之地力故半地力乘時冪而得股以平三角之比例通之拋交地平之倍角正弦乘速冪為實地力為法實如法而一即平面拋界也拋交地平角與拋交斜面角相并為和相減為較和角較角兩正弦之較乘速冪為實較角余弦冪乘地力為法實如法而一即斜面拋界也九十度之拋即為拋高倍之為平面之最大拋界又以斜面交九十度角之大矢除之即斜面之最大拋界故平面之拋界視斜面為大矣自拋高上端作橫為規(guī)規(guī)距拋頂之度與拋頂距心之度等自心作橫直交于心距規(guī)兩端皆抵拋此必倍于心距規(guī)即末率也心距規(guī)以二拋高為最大故末率以四拋高為最大拋與平之交角自地平上以漸而小至拋頂則與平合而為一無交角矣垂所截之地平為實拋交地平角之余弦冪乘二拋高為法實如法而一以減拋交地平角之正切即交角正切也若以同速拋各物而同在一平面者歷若干秒各物所到之點聯(lián)之成平圓形若不在一平面成立圓形其拋點距圓心之度即若干秒中地力下行所過之路矣

懸物空中左右限以曲令物一往一來則與曲乍合乍離而其行又成曲是名擺倍圓徑為擺長又倍之為擺周則圓周為擺之界即橫徑也于橫徑之中作垂必抵?jǐn)[之底點以此垂為圓徑作平圓形則任于垂上作橫其所截平圓之弧必等于平圓外之橫而所截之?dāng)[周必倍于平圓內(nèi)之通弦物自擺下行為地力所引其速與垂等以測各處地力之大小至易見也一秒之地力為實圓周率三一四一五九二六五三自之為法實如法而一為秒擺長秒擺者一秒擺動一次也設(shè)地力為定數(shù)則擺長之平方根與時刻成正比例擺長為定數(shù)則地力之平方根與時刻成轉(zhuǎn)比例故以秒擺長除擺長或以地力除原地力平方開之皆為擺動一次之時刻也若以較數(shù)求之則擺長者動遲擺短者動速以擺長與秒擺長之較乘一晝夜八萬六千四百秒為實倍秒擺長為法實如法而一即一晝夜擺動加減次數(shù)地形高下處處不同高則擺動遲下則擺動速一晝夜加減次數(shù)為兩處高下差之率倍之為兩處地力差之率擺之用盡于此矣

有諸質(zhì)點各以聯(lián)于平面力加一點則諸點隨之而動此與獨動不同因諸質(zhì)點各有抵力環(huán)軸時必互相感召或生動或阻動也距軸愈遠(yuǎn)用力愈少力距相乘積等則速亦等自軸心作地平為句自諸點各作垂為股諸點之距軸為弦各以質(zhì)重乘弦冪而并之即諸點之質(zhì)阻率力乘距冪為實質(zhì)阻率為法實如法而一即實生力也諸質(zhì)點為地力所引亦各有長加力自軸心作直則分諸點為左右兩邊各以質(zhì)重乘句視諸點在直之一邊者相加在兩邊者相減用乘地力又以所求點之距軸乘之為實質(zhì)率為阻法實如法而一即所求點之長加力也諸質(zhì)相距必有重心其距軸為弦垂為股所截之地平為句合各質(zhì)重以乘重心之句與質(zhì)重各乘距軸之句以相并者其數(shù)正等引重心距軸而長之即為擺心重心擺心兩距軸相乘即環(huán)軸半徑冪也自重心作直與距軸成直角亦分諸質(zhì)點為左右兩邊而諸點之距重心為弦直為股所截之距軸為句各以質(zhì)重乘句其在重心之兩邊亦相等也合各質(zhì)重以乘重心距軸冪又以質(zhì)重各乘弦冪而并之亦與質(zhì)阻率等重心距軸與距擺心相乘即環(huán)重心之半徑冪合各質(zhì)重乘之與質(zhì)重各乘弦冪以相并者其數(shù)亦等重心為心軸心為界作平圓形任于圓上取一點為懸點擺次并同若以擺心為界其理亦同故懸點與擺心點可互易也

二重一加于輪一加于軸而在輪周者下行在軸周者上行輪軸之長加力各如其半徑之比三輪相屬或聯(lián)以索或銜以齒而二重一加于第一輪一加于第三軸輪軸之長加力如三輪半徑連乘與三軸半徑連乘之比不等二重加于桿之兩端者二重之長加力各如距重心之反比矣凡圓體有轉(zhuǎn)動有過面動此二動常相因也以索之一端纏于圓體一端過定滑車而以重懸之設(shè)等質(zhì)之實圓柱則柱重乘地力以加懸重為實三因懸重以加柱重為法除之即過面動之長加力懸重乘柱徑又乘地力為實三因懸重加柱重以乘柱徑冪八之一為法除之即轉(zhuǎn)動之長加力若圓柱空而極薄則柱重乘地力為實倍懸重以加柱重為法除之即過面動之長加力倍懸重以乘地力為實倍懸重加柱重以乘柱半徑為法除之即轉(zhuǎn)動之長加力設(shè)索之一端纏于圓體一端著于定點則過面動之長加力實圓柱為地力三之二空圓柱為二之一球為七之五也圓體由斜面而下兩面皆為糙面令圓體不為直動而為轉(zhuǎn)動則不用地力而用直動之長加力其比例并與此同不等二重加于靜滑車者令大重下行之長加力即令小重上行之長加力若加于二滑車而一靜一動者動滑車之長加力為靜滑車二之一因速減半故也若加于連滑車而一靜數(shù)動者第一動滑車之長加力為靜滑車二之一第二動滑車為四之一第三動滑車為八之一既得諸器之長加力用和分法推之即可知諸器之動矣

凡二體相切相磨皆能生面阻力而動速漸減使?fàn)苛εc面阻力等則物之行恒為平速矣車行于石路之牽力小者為物重千分之十六大者為二千分之三十九路極不平處至千分之二十四火石路為千分之六十四鐵軌路牽力或為物重二百四十分之一或為三百分之一平石路為七十分之一石子路為十五分之一若車行于斜而其所加之牽力等于股為實弦為法設(shè)斜面二丈最高一尺則比平面牽力加物重二十分之一也陸路不論速之大小阻力恒同水路則速冪漸大阻力亦漸大故車或五小時行十里或一小時行十里牽力并同而舟則一小時行十里較五小時行十里者牽力當(dāng)加二十五倍也惟一小時十里以上阻力增率甚小因舟速甚而高出水面耳生動之力有六曰定質(zhì)重曰流質(zhì)重曰定質(zhì)凸力曰流質(zhì)動力曰流質(zhì)漲力曰人畜能力皆以力乘路為當(dāng)程功定質(zhì)重之動力斜面與垂面不同設(shè)自行車路高一百尺長四千尺輕車一千斤以重車四千斤下行之力引之上行面阻力為二百分重之一法以重較三千斤乘高一百尺得三十萬為當(dāng)程功以二百除一千得五斤為上行阻力以二百除三千得十五斤為下行阻力并之以乘長四千尺得八萬為實程功是當(dāng)程之功比實程為四倍弱也用于垂面則以重乘路當(dāng)程之功即為實程之功矣流質(zhì)重之動力以水言之其當(dāng)程功與定質(zhì)同而水中又有橫流之水互相推蕩不能用以程功故水激上半輪當(dāng)程功與實程功若五與四水激下半輪當(dāng)程功與實程功若十與三也捕鳥鼠之巧機能生暫動巧偶鐘表之發(fā)條能生長動皆凸力也發(fā)條動時抵力恒有改變故以繞軸漸卸時所過微路乘各秒中所加抵力之路為所程功風(fēng)氣之力有二風(fēng)槍用漲力風(fēng)帆用動力水氣亦有漲力與動力其動力大小之比皆若速立方大小之比矣人畜能力以靜體為最大人力二十八斤又五分斤之四馬力一百四十四斤行則力必減小行至極速則力不能程功而一小時中極速之限人行六里馬行十二里故求人所程功者以一小時里數(shù)與六里相減余數(shù)自之四因五除為人力求馬所程功者以一小時里數(shù)與十二里相減余數(shù)自之為馬力各以里數(shù)乘之為所程功也

車以平速行于平路其力必等于面阻力若有阻物如小石類而車體甚堅阻物與輪周僅遇于一點過此點時車必減速加力則速不減矣車過阻物上行時所加之力為重阻力車行忽改方向震動時所加之力為震阻力法以輪半徑除阻物高為第一數(shù)輪半徑冪倍之以除阻物高冪為第二數(shù)以此兩數(shù)之較乘平速冪為震阻力率地力乘阻物高為重阻力率并兩率以乘車重即車過阻物之加力也若阻物高小于輪半徑則平速冪為震阻力率輪半徑乘地力為重阻力率或以薄鐵片附于軸下取其凸力令輪心漸離直而不震動阻力可減大半也

以物擊物其受擊物之抵力由兩物相遇而生故鐵錘之力大于紗球鐵墩所抵之能大于軟枕而錘之能力消于墩之抵力其所歷之時刻又有不同時刻愈小抵力必愈大而物性受凹愈少者時刻亦愈小也鋼鐵凸力率九百萬尺如以鐵錘擊鐵墩則錘高加墩高以乘錘高又以錘下行數(shù)乘而倍之為實凸力率為法實如法而一平方開之即錘墩共凹之路錘高乘凸力率又以錘下行數(shù)乘而倍之為實錘高加墩高為法實如法而一平方開之即鐵墩之抵力也若以錘擊釘入木則力為平力而釘能動抵力必小釘長加錘高以乘木徑倍凸力率除之即釘入木之路錘高乘平行數(shù)木徑除之內(nèi)減釘入木路即錘釘共凹之路也

流質(zhì)重學(xué)記　　　

顧觀光

物各有質(zhì)木石之類為定質(zhì)風(fēng)水之類為流質(zhì)而流質(zhì)又有輕重之分輕如風(fēng)氣重如水液其體皆得熱而大得寒而小而水之質(zhì)獨異當(dāng)寒暑表之四十度為極小之限更寒則反增大至三十二度而成冰矣成冰之時其體增大最速故瓶盆貯水每因冰而迸裂也流質(zhì)在器為地力所引必皆平于地平地球旋轉(zhuǎn)生離心力地心下引生向心力二者又有并力而水面必直交于并力故海面當(dāng)赤道則曲于球形當(dāng)二極則平于球形月過處有引力又合地力而生并力必令水面改變即潮汐之理也水之小者同于平面故測兩地高卑以水為準(zhǔn)若二處流質(zhì)相通必升至于平面以法激之能令水自下而上能令水載大重而上升或不用水而用風(fēng)氣理亦同也定質(zhì)抵力惟在引力所加之方向流質(zhì)抵力處處皆同設(shè)水在器中于其四周開相等之四xiao穴以短柱塞之令可進退一柱漸進則余柱必漸退其抵力之比同于穴大小之比去其一柱器必向?qū)叾鴥A以一邊無抵力也流質(zhì)愈深抵力愈大立方一尺之水抵力六十二斤半以乘體積即水抵力之重矣流質(zhì)抵力必有重心設(shè)上下不等正方體水滿其中重心必近于大方令大方在下則重心低而抵力大大方在上則重心高而抵力小若有兩器同底同高不論方斜尖直其底之抵力并同旁面抵力必在重心之下設(shè)為平行四邊形則抵力心之高為三分高之一設(shè)為兩等邊三角形角尖在上則為四分中垂之一角尖在下則為二分中垂之一凡水閘當(dāng)?shù)至π奶幈囟嗉幽芰σ宰杷?/p>

定質(zhì)為流質(zhì)所載重者必變而輕故竹木入水必升鐵入水銀亦升因等體積之流質(zhì)重于定質(zhì)故也定質(zhì)重為向下之力流質(zhì)重為向上之力二力同在一垂相等則物必定由此可得體積相等輕重不等之率如金重三十五分入水中則重三十一分所少四分即等于金體之水重是知水與金之重率為一與八七五矣若不合相定之理則物在水中或升或降令物升降之力即等體積之水重與物重之較也人入水中身重小于等體積之水重又胸中空處能大能小首昂則胸大而兩重較更大且以兩手入水必不沉也若手出水則身重大于等體積之水重而身必沉沉至水底抵力愈大身之體積愈小而不能復(fù)升矣人于桅端下墜入水必深以身重大于等體積之水重也歿則體漲大而復(fù)升以身重小于等體積之水重也氣球上升亦同此理其上升之力即球重于等體風(fēng)氣重之較矣風(fēng)氣又有冷熱之分而熱輕于冷又熱則體必加大而等體之冷風(fēng)氣愈重二重之較即令熱風(fēng)氣上升之力聚火處開煙囟令煙速出于上即此理也煙囟高則熱風(fēng)氣向上直升恒高于頂數(shù)尺外風(fēng)不能敵之低則熱風(fēng)氣亦低或不能敵外風(fēng)而回入室中矣

凡空處皆有風(fēng)氣風(fēng)氣漲力四面散行直至遇物攔阻而止設(shè)冷熱等則漲力大小與空體大小有轉(zhuǎn)比例如有長空圓柱兩端一通一塞以通之一端入水則柱中空體為水所逼漸下漸小而令柱下行之力必漸加大此即風(fēng)氣之漲力以漲力與抵力恒相等也水熱至寒暑表之二百十二度其漲力與風(fēng)氣等每方一尺抵力二千一百二十斤更熱則漲力極大雖至堅之物不能當(dāng)之矣

地球外之風(fēng)氣層層包裹近地最厚漸高漸薄至一百五十里則無風(fēng)氣矣用玻璃管長三十二寸內(nèi)徑極小不過八分寸之一兩端一通一塞滿貯水銀倒植水銀器中則管中水銀必降最卑至二十八寸最高至三十一寸其不能再降者為風(fēng)氣之所抵而風(fēng)氣厚薄時時不等故升降亦時時不等也海面水銀高二十九寸九分二厘二毫在高山則必降風(fēng)氣薄而輕也在深壑則必升風(fēng)氣厚而重也大率高九百尺水銀降下一寸是又為測高之簡法矣水在器中或倒懸而水不出以口有風(fēng)氣抵力也虹吸內(nèi)兩邊倒懸之水俱欲下行在頂點有兩分之意而頂點無空勢不能分兩邊一短一長必令短者逆流而上所以無空者風(fēng)氣抵之也若頂點高過三十二尺即有空矣極大虹吸高不得過三十二尺

風(fēng)氣冷熱處處不同赤道之下日光正射而熱入必多斜射則熱少愈斜則愈少故一年熱氣中率赤道之下寒暑表八十四度兩極之下僅得四度然則赤道下之風(fēng)氣較他處熱而輕故必上升而其下南北之冷風(fēng)氣入之復(fù)受熱氣上升而其下之冷風(fēng)氣又入之如水之流終古不斷遂生上下二潮上自赤道流向兩極下自兩極流向赤道而名之曰風(fēng)風(fēng)氣恒隨地球而行地球右轉(zhuǎn)之勢近赤道者較速近兩極者較遲故上潮速恒而下潮遲及其降至地面遲則與地轉(zhuǎn)相逆而北半球為東北風(fēng)南半球為東南風(fēng)速則與地轉(zhuǎn)相順而北半球為西南風(fēng)南半球為西北風(fēng)其勢正相反也赤道下有颶風(fēng)亦由于此蓋上下方向相對遂成回旋之風(fēng)矣擺用流質(zhì)與定質(zhì)同其動之比同于長平方根之比水自器中出口其速之比同于口離水面平方根之比設(shè)于器旁開二口一離水面一尺一離水面一百尺則一百尺之速必十倍于一尺之速如有少于此者面阻力為之也口在器底則水向下直行口在器旁則水依拋物行設(shè)為徑寸平圓之口則近口處徑一寸漸遠(yuǎn)漸小小至八分寸之五謂之截面此面距口有一定之度過此則形不變故測流質(zhì)出口多少不用口面積而用截面積也

舟行水中阻力之比同于速冪之比而阻力又有大小之不同全在水中則大半在水中則小行于闊處則大行于狹處則小若于狹處一小時行十余里舟行愈速出水愈高其阻力必大減矣水行川中上面速于下面中流速于兩邊因底與兩岸有面阻力且多曲處故也曲處凹邊之流速于凸邊因各點有離心力能令水積于凹邊也上下行速不同方向或異甚至有對面者如?？诔眮硐趟畯南氯氲畯纳铣鲆灾卣呦露p者上也浪乃略高之水行于水面與水行方向不同如桅上旗因風(fēng)而生綺浪亦與旗行方向不同故水浮水面浪雖擁擊而水不行也浪每因風(fēng)而生水闊二三百尺深三四尺浪高不過三寸深二三十尺浪高約尺半故可以浪之高低測水之深淺矣潮汐高卑由于日月攝力朔望時用其和兩弦時用其較而二攝力之大小時時不等因日月距地時時不等而攝力與距地之立方有轉(zhuǎn)比例也日力大小自十九至二十一月力大小自四十三至五十九故潮之最高與最卑若兩大數(shù)和與兩小數(shù)較即若十與三之比也各地早晚不同當(dāng)考者有五事一為月過中差潮漲在月過中后若干時刻日日不同大率當(dāng)以朔望為準(zhǔn)二為半月差月過中又因距日而生差當(dāng)于日月赤道緯度及地心差為中數(shù)時測之此差半月而復(fù)故名半月差三為潮距朔望差潮之大汛不在朔望而在朔望后之三潮上潮距月過中之平數(shù)即潮距朔望也四為日差一日二潮高卑不等或早潮高或晚潮高當(dāng)于各地測之五則日月地心差不同赤道緯度不同潮之高卑時刻亦因之而變測之既久乃知變者皆其常也有諸海港合而復(fù)分水道屢變有時成環(huán)繞之行水道變則遲速亦變是又當(dāng)兼測水道矣

天重學(xué)記　　　

顧觀光

日居中而不動地球環(huán)之其旋轉(zhuǎn)于本心而一日一周者晝夜之故也其循行于本道而一歲一周者寒暑之故也旋轉(zhuǎn)之勢依赤道循行之勢依黃道二道交角今為二十三度二十八分交點每歲西行五十秒一故地行黃道一周三百六十五日五小時四十八分四十九秒七再加二十分十九秒九而后復(fù)于恒星即歲差也黃道橢圓而日不正當(dāng)橢圓之中兩心差一六七八三六最高每歲東行十一秒八故地繞太陽一周三百六十五日六小時九分九秒六再加四分三十九秒七而后復(fù)于最高即歷周也最高差與歲差共一分一秒九積二萬九百八十四年而最高周于黃道則復(fù)其初矣地行于橢圓周每日五十九分八秒三三所歷之時刻等所過之面積亦等而最高半周角度小于積度則實行差而遲最卑半周角度大于積度則實行差而疾故日距地之平方與速率有反比例日距地之面積與時分有正比例也中距日視徑三十二分三秒三高則變小卑則變大大小之比同于日距地之反比矣黃道橢圓而地形亦為橢圓長徑過赤道短徑過兩極二徑之比若二百九十九與二百九十八地之旋轉(zhuǎn)近赤道則漸疾而下引之力減近兩極則漸遲而下引之力增故物在兩極較赤道重一百九十四之一各度加重之比同于緯度正弦冪之比也地徑與日徑比若一與一百十一五地徑與黃道徑比若一與二萬三千九百八十四故日之地平視差為八秒六各度視差之比同于視距天頂正弦之比也赤極環(huán)繞黃極二萬五千八百六十八年一周為諸星所攝動而黃赤大距古大今小約百年差四十八秒其最大差為一度二十一分赤極又為月所攝動而成小橢圓之行長徑十八秒五短徑十三秒七四凡十九年一周長徑恒向黃極故大距又有微差矣地以二十四小時旋轉(zhuǎn)一周而考之鐘表亦有微差一為橢圓遲疾差近最高則行遲而自轉(zhuǎn)有減分近最卑則行疾而自轉(zhuǎn)有加分一為黃赤升度差近二分則黃道一度當(dāng)赤道不足一度故自轉(zhuǎn)有加分近二至則黃道一度當(dāng)赤道一度有余故自轉(zhuǎn)有減分合二差以加減平時即真時也光行之速一秒凡五十五萬五千里而地行黃道一秒僅五十五里故光速率與地速率若半徑與二十秒五之正切是為光行差近地恒有蒙氣能令七政升卑為高地平視差三十三分地平以上漸小而其差又隨時隨地不同此必征諸實測非算術(shù)所能御矣

月繞地而又繞日其旋轉(zhuǎn)于本心與環(huán)繞乎地球皆二十七日七小時四十三分十一秒五而一周故月向地之面終古不易也月行白道與黃道斜交其角五度八分四十八秒交點退行于黃道每日三分十秒六四故月行南北二十七日二一二一而一周即交終也白道橢圓而地不正當(dāng)橢圓之中兩心差最大最小之比若三與二其中數(shù)為五四八四四二最高每日順行六分四十一秒八故月行遲疾二十七日五五四五而一周即轉(zhuǎn)終也月行于橢圓周每日十三度一七六四亦以面積為平行角度為實行與太陽同中距月視徑三十一分七秒大小之比亦為月距地之反比矣月地之行每日差十二度一九七五積二十九日十二小時四十四分二秒八七而復(fù)合是為一月地徑與月徑比若一與二七二九地徑與白道徑比若一與五十九九六四三五故月之地平視差其中數(shù)為五十七分六秒也日月二半徑和加月地平視差其最大者一度三十四分二十七秒日月兩心距小于此數(shù)則地面必有見食之處故日食限之距交為十六度五十八分法自日體之兩邊各作與月體相切引長之成尖圓其尖或過地或不及地若以兩交互切月引長至地界內(nèi)即生淡影人在淡影中則見食在尖圓中則見食既也月與內(nèi)虛二心距等于月外虛二半徑和即月入外虛之時等于月內(nèi)虛二半徑和即月入內(nèi)虛之時故月食限之距交為十一度二十一分法自日體之兩邊各作與地球相切引長之成尖圓即內(nèi)虛也若以兩交互切地引長之過月體即外虛也日光透過蒙氣則折而下其交外虛之角即倍地平蒙氣差其交內(nèi)虛之角即倍蒙氣差與日視徑之較月八外虛為昏黃色入內(nèi)虛則淺者為藍綠色深者為紅紫色也凡攝力之大小與相距之平方有反比例月距地心約地半徑之六十倍故地攝月力為地面攝力三千六百之一日之?dāng)z力甚大于地而日地距大于月地距約四百倍故日攝月力僅得地攝月力一百七十九之一也白道長徑與地之行每日差五十二分二十七秒二五積二百五日八九四而復(fù)合此一合中兩心差有增減長徑亦有進退而增減進退之差在最高者較大在最卑者較小大小之比若二十八與二十五矣朔望前二象限切力恒令速率增增則長徑變長朔望后二象限切力令恒速率減減則長徑變短又朔望左右各五十四度四十四分法力向外令曲率略小兩弦前后各三十五度十六分法力向內(nèi)令曲率略大其最大差為一度四分一月而復(fù)名二均差也月受日之?dāng)z力朔時距日近而略大望時距日遠(yuǎn)而略小故日心斜交地月之令月增減于橢圓行其最大差為二分名月角差也地行于橢圓周最高后距日漸近則日攝月力漸大最卑后距日漸遠(yuǎn)則日攝月力漸小其最大差為十一分一歲而復(fù)名年差也二千年間地道兩心差恒變而小約百年差二萬五千分之一則年差亦微有不同而月之平速恒變而大約百年差十一秒九其一終之時甚久未能征諸實測也二體相距必有重心其距二體心遠(yuǎn)近之比若二體輕重之比聯(lián)日地為一直其公重心在日體中聯(lián)月地為一直其公重心在地球中故月地之公重心繞日地之公重心而自人視之一若月繞地而地又繞日焉然因此而日之經(jīng)度亦有微差一月而復(fù)因名之曰月差其最大者不能至八秒六八秒六者日之地平視差也白極環(huán)繞黃極十八年六而一周而赤道既退行于黃道又退行于白道則赤極所行方向恒正交赤白二極距故不成正圓而為次擺其速率亦時大時小二道所生二差之比若二與五矣

五星繞日而行軌道并為橢圓與地球同其兩心差各以長半徑準(zhǔn)之水星二五五一四九金星六八六七火星九三三七木星四八一六二一土星五六一五五距日中數(shù)以地道半徑準(zhǔn)之水星三八七九八一金星七二三三三一六火星一五二三六九二三木星五二二七七六土星九五三八七八六一地與五星周時平方之比各同于距日立方之比推得五星之恒星周水星八十七日九六九二五八金星二百二十四日七七八七火星六百八十六日九七九六四六木星四千三百三十二日五八四八二一土星一萬七百五十九日二一九八一七其交黃道之角水星七度九秒一金星三度二十三分二十八秒五火星一度五十一分六秒二木星一度十八分五十一秒三土星二度二十九分三十五秒七其交點與最高點行皆甚遲故聯(lián)兩交點為一恒平分黃道焉外星之?dāng)z動內(nèi)星也于內(nèi)道上取距外星等于日距外星之兩點內(nèi)星自等距點至交點者交點退而后自交點至等距點者交點進而前內(nèi)星之?dāng)z動外星也二道相距小于內(nèi)道距日者于內(nèi)道上取距日與外星相等之兩點其交點之進退與外星攝內(nèi)星同二道相距大于內(nèi)道距日者二星在交之兩邊交點退而后在交之一邊交點進而前若二星中有一星正當(dāng)交點則交點不動矣二道漸相近而攝力又引之近二道漸相遠(yuǎn)而攝力又推之遠(yuǎn)則交角變大二道漸相近而攝力反推之遠(yuǎn)二道漸相遠(yuǎn)而攝力反引之近則交角變小引之近者交點退推之遠(yuǎn)者交點進故交角之大小與交點之進退不相應(yīng)也法力能變曲率向內(nèi)則曲率增向外則曲率減切力能變速率順則速率增逆則速率減故法力向內(nèi)而星近高點則長徑退近卑點則長徑進自高至卑則兩心差增自卑至高則兩心差減法力向外者反是切力順而星近高點則兩心差減近卑點則兩心差增自高至卑則長徑退自卑至高則長徑進切力逆者反是是兩心差與最高行互為消長而切法二力亦互為消長故五星之橢圓周古今不甚相遠(yuǎn)也人視五星見其忽順忽逆忽留若無法者因地不在星道之心而又繞日環(huán)行故也若自太陽視之則有遲疾而無留退故求地心經(jīng)緯度當(dāng)以日心經(jīng)緯度為根先用弧三角形直角為一角星道交黃道角為一角最卑交點二經(jīng)度較為兩角所夾之弧求得對直角之弧以加減星距最卑度即星距交度仍以直角為一角星道交黃道角為一角星距交度為兩角所夾之弧求得對交角之弧即日心緯度又求對直角之弧以加減交點距春分度即日心經(jīng)度也次用平三角形直角為一角日心緯度為一角星距日為對直角之邊求得緯度角之對邊為星距黃道又求得兩角所夾之邊為星對邊又以星對邊為一邊地距日為一邊星地二日心經(jīng)度較為兩邊所夾之角求得對角之邊為日對邊又求地距日之對角以加二日心經(jīng)度較再加地之日心經(jīng)度即星之地心經(jīng)度又以日對邊與星距黃道為夾直角之兩邊而求星距黃道之對角即地心緯度也土木二星之互相攝動也二星一合為七千二百五十三日四積至三合則土二周木五周而多八度六分以除三百六十度又以一合日數(shù)乘之得三十二萬二千三百七十三日約八百八十三年然其差因積久而大故九百十八年而一周此一周中一星速率增而周時變短則一星速率減而周時變長其最大差土星四十九分木星二十一分二星經(jīng)度之比若二星體積各乘長徑平方根之反比也金星之?dāng)z動地球也一合為五百八十三日九二積至五合則地八周金十三周而少二度二十四分以除三百六十度又以一合日數(shù)乘之得八萬七千五百八十八日約二百四十年而一周此一周中地速率減則日地中距變大地速率增則日地中距變小其差甚微然因此而月之速率亦有增減其最大差為二十三秒金星攝力又有直加于月者地轉(zhuǎn)三終則金轉(zhuǎn)五終而多二十七日十三小時七分三十五秒六較月轉(zhuǎn)終少十分五十六秒七約為三千六百二十五分月轉(zhuǎn)終之一凡二百七十三年而一周其最大差為二十七秒四是又在日地二攝力之外矣五星地半徑差并小于月測之甚難而聯(lián)日星與地為三角形則星距日與地距日若星距日度正弦與地道半徑差之正弦此差一年而周與光行差相似若以光行星與地道差為夾直角之兩邊而求地道差之對角即星所在之度也

彗星行法與五緯同而橢圓之長徑甚長兩心差甚大故或數(shù)十年而一見其差甚多不能盡知其根數(shù)也因格彗半長徑二二一六四兩心差八四七四三六交黃道角十三度七分三十四秒凡三年一一而一周迪未谷彗半長徑三九九四六兩心差六一七二五六交黃道角二度五十四分四十五秒凡五年一六七而一周勃陸孫彗半長徑三一五二一兩心差七九三六二九交黃道角三十度五十五分七秒凡五年二一六而一周比乙拉彗半長徑三五一八二兩心差七五五四七一交黃道角十二度三十四分十四秒凡六年二二而一周飛彗半長徑三八一一七九兩心差五五五九六二交黃道角十一度二十二分三十一秒凡七年一六一而一周達唳彗半長徑六三二六六兩心差七五六七二交黃道角三十一度二分十四秒凡十五年三二五而一周好里彗半長徑一七九八七九六兩心差九六七三九一交黃道角十七度四十五分五秒逆行凡七十六年一六而一周又有干隆三十五年之彗兩心差七八五八交黃道角一度三十四分凡五年半而一周道光二十三年之彗最卑距日五五八交黃道角三十五度三十六分二十九秒逆行凡二十一年八七五而一周又有順治十八年之彗約一百二十九年而一周嘉靖三十五年之彗約二百九十二年而一周康熙十九年之彗約五百七十五年而一周上考往古有當(dāng)見而不見者必近日而晝見有雖見而先后一二年則為他星所攝動也干隆五十一年至道光十八年因格彗已十五周每周減百分日之十一洪武十一年至道光十五年好里彗已六周每周增千分年之四百四十五增減之故未得而詳彗之頭如星氣漸近中心漸厚尾恒背日蓋太虛中之薄氣故借日光而明有時隔彗能見恒星知其為薄氣而非實體矣

代微積拾級序　　　

李善蘭

幾何之學(xué)自歐幾里得至今專門名家代不乏人粵在古昔希臘最究心此學(xué)爾時以圜錐諸曲之理為最精深亞奇默德而后其學(xué)日進至法蘭西代加德立縱橫二軸推曲內(nèi)諸點距軸遠(yuǎn)近自有此法而凡曲無不可推故曲之?dāng)?shù)多至無窮而以直為限一例用曲之法馭之既得諸曲依代數(shù)理推之可得諸平面諸曲面諸體其已推定之曲略舉其目曰平圜橢圜雙拋物半立方拋物薜荔葉蚌擺余擺和音次擺弦切諸指數(shù)對數(shù)亞奇默德螺對數(shù)螺等角螺交互螺兩端懸葛西尼諸橢圜平行動而圜錐諸曲與他曲統(tǒng)歸一例無或少異此代數(shù)幾何學(xué)也自有代數(shù)幾何而微分學(xué)之用益大微分學(xué)非一時一國一人所作其源流遠(yuǎn)矣數(shù)學(xué)有數(shù)求數(shù)代數(shù)無數(shù)求數(shù)然所推皆常數(shù)微分能推一切變數(shù)創(chuàng)法者不一家理同而術(shù)異求本之者日爾曼人也立界說曰以小至無窮之點積至無窮多推其幾何名為推無窮小點法難者曰無窮小之點雖積之至無窮不能成幾何解之曰但易無窮小為任何小即有積可推矣故其說雖若難解而其理未始不合也而英國奈端造首末比例法不用無窮小之長數(shù)乃用有窮最小長數(shù)之比例而推其漸損之限其幾何變大則為末限變小則為首限此法便于幾何而不便于代數(shù)后造流數(shù)術(shù)棄不用而謂萬物皆自變其變皆有速率凡幾何俱可用直顯之故速率之增損可用直之界顯之此說學(xué)者皆宗之嘉慶末法蘭西特浪勃造限法自云不過用柰端首末比例耳而蘭頓別創(chuàng)新法凡微分一憑代數(shù)不云任近限而云已得限名曰賸理拉格浪亦造法多依附戴老之理大略與蘭頓同總論之微分不過求變幾何最小變率之較耳家數(shù)雖多理實一焉奈端來本之同時各精思造法未嘗相謀相師也奈端于元上加點以顯流數(shù)如申為甲之流數(shù)是也用以推算覺不便故用來氏之彳號以顯之積分者合無數(shù)微分之積也亦用來氏之禾號以顯之微分積分為中土算書所未有然觀當(dāng)代天算家如董方立氏項梅侶氏徐君青氏戴鄂士氏顧尚之氏暨李君秋紉所著各書其理有甚近微分者因不用代數(shù)式故或言之甚繁推之甚難今特偕李君譯此書為微分積分入門之助異時中國算學(xué)日上未必非此書實基之也

代微積拾級序　　　

偉烈亞力

中法之四元即西法之代數(shù)也諸元諸乘方諸互乘積四元別以位次代數(shù)別以記號法雖殊理無異也我　朝康熙時西國來本之奈端二家又創(chuàng)立微分積分二術(shù)其法亦借徑于代數(shù)其理實發(fā)千古未有之奇秘代數(shù)以甲乙丙丁諸元代已知數(shù)以天地人物諸元代未知數(shù)微分積分以甲乙丙丁諸元代常數(shù)以天地人物諸元代變數(shù)其理之大要凡線面體皆設(shè)為由小漸大一剎那中所增之積即微分也其全積即積分也故積分逐層分之為無數(shù)微分合無數(shù)微分仍為積分其法之大要恒設(shè)縱橫二以天代橫以地代縱以彳天代橫之微分以彳地代縱之微分凡代數(shù)式皆以法求其微系數(shù)系于彳天或彳地之左為一切面體之微分故一切面體之微分與縱橫之微分皆有比例而疊求微系數(shù)可得面體之級數(shù)曲之諸異點是謂微分術(shù)既有面體之微分可反求其積分而最神妙者凡同類諸題皆有一公式而每題又各有一本式公式中恒兼有天地或兼有彳天彳地但求得本式中天與彳天之同數(shù)或地與彳地之同數(shù)以代之乃求其積分即得本題之全積是謂積分術(shù)由是一切曲曲所函面曲面曲面所函體昔之所謂無法者今皆有法一切八求弧背弧背求八真數(shù)求對數(shù)對數(shù)求真數(shù)昔之視為至難者今皆至易嗚呼算術(shù)至此觀止矣蔑以加矣羅君密士合眾之天算名家也取代數(shù)微分積分三術(shù)合為一書分款設(shè)題較若列眉嘉惠后學(xué)之功甚大偉烈君亞力聞而善之亟購求其書請余共事譯行中國偉烈君之功豈在羅君下哉是書先代數(shù)次微分次積分由易而難若階級之漸升譯既竣即名之曰代微積拾級時幾何原本刊行之后一年也

談天序　　　

李善蘭

西士言天者曰恒星與日不動地與五星俱繞日而行故一歲者地球繞日一周也一晝夜者地球自轉(zhuǎn)一周也議者曰以天為靜以地為動動靜倒置違經(jīng)畔道不可信也西士又曰地與五星及月之道俱系橢圓而歷時等則所過面積亦等議者曰此假象也以本輪均輪推之而合則設(shè)其象為本輪均輪以橢圓面積推之而合則設(shè)其象為橢圓面積其實不過假以推步非真有此象也竊謂議者未嘗精心考察而拘牽經(jīng)義妄生議論甚無謂也古今談天者莫善于子輿氏茍求其故之一語西士蓋善求其故者也舊法火木土皆有歲輪而金水二星則有伏見輪同為行星何以行法不同歌白尼求其故則知地球與五星皆繞日火木土之歲輪因地繞日而生金水之伏見輪則其本道也由是五星之行皆歸一例然其繞日非平行古人加一本輪推之不合則又加一均輪推之其推月且加至三輪四輪然猶不能盡合刻白爾求其故則知五星與月之道皆為橢圜其行法面積與時恒有比例也然俱僅知其當(dāng)然而未知其所以然奈端求其故則以為皆重學(xué)之理也凡二球環(huán)行空中則必共繞其重心而日之質(zhì)積甚大五星與地俱甚微其重心與日心甚近故繞重心即繞日也凡物直行空中有他力旁加之則物即繞力之心而行而物直行之遲速與旁力之大小適合平圜率則繞行之道為平圜稍不合則恒為橢圜惟歷時等所過面積亦等與平圜同也今地與五星本直行空中日之?dāng)z力加之其行與力不能適合平圜故皆行橢圜也由是定論如山不可移矣又證以距日立方與周時平方之比例及恒星之光行差地道半徑視差而地之繞日益信證以煤坑之墜石而地之自轉(zhuǎn)益信證以彗星之軌道雙星之相繞多合橢圜而地與五星及日之行橢圜益信余與偉烈君所譯談天一書皆主地動及橢圜立說此二者之故不明則此書不能讀故先詳論之

談天序　　　

偉烈亞力

天文之學(xué)其源遠(yuǎn)矣太古之世既知稼穡每觀天星以定農(nóng)時而近赤道諸牧國地炎熱多夜放羊因以觀天間嘗上考諸文字之國肇有書契即記及天文如舊約中屢言天星希臘古史亦然而中國堯典亦言中星歷家據(jù)以定歲差焉其后積測累推至漢太初三統(tǒng)而立七政統(tǒng)母諸數(shù)從此代精一代至郭太史授時術(shù)法已美備惟測器未精得數(shù)不密此其缺陷也中國言天者三家曰渾天曰蓋天曰宣夜然其推歷但言數(shù)不言象而西國則自古及今恒依象立法昔多祿某謂地居中心外包諸天層層硬殼傳其學(xué)者又創(chuàng)立本輪均輪諸象法綦繁矣后代測天之器益精得數(shù)益密往往與多氏說不合歌白尼乃更創(chuàng)新法謂太陽居中心地與諸行星繞之第谷雖譏其非然恒得確證人多信之至刻白爾推得三例而歌氏之說始為定論然刻氏僅言其當(dāng)然至奈端更推求其所以然而其說益不可搖矣夫地球大矣統(tǒng)四大洲計之能盡歷其面者無幾人焉然地球乃行星之一耳且非其最大者計繞太陽有小行星五十余大行星八其最大者體中能容地球一千四百倍其次能容九百倍也設(shè)以五百地球平列土星之光環(huán)能覆之而諸行星又或有月繞之總計諸月共二十余設(shè)盡并諸行星及諸月之積不及太陽積五百分之一太陽體中能容太陰六千萬倍可謂大之至矣而恒星天視之亦只一點耳設(shè)人能飛行空中如最速子亦須四百萬年方能至最近之恒星故目能見之恒星最小者可比太陽其大者或且過太陽數(shù)十萬倍也夫恒星多至不可數(shù)計秋冬清朗之夕昂首九霄目能見者約三千設(shè)一恒星為一日各有行星繞之其行星當(dāng)不下十五萬況恒星又有雙星及三合四合諸星則行星之?dāng)?shù)當(dāng)更不止于此矣然此僅論目所能見之恒星耳古人論天河皆云是氣近代遠(yuǎn)鏡出知為無數(shù)小星遠(yuǎn)鏡界內(nèi)所已測見之星較普天空目所能見者多二萬倍天河一帶設(shè)皆如遠(yuǎn)鏡所測之一界其數(shù)當(dāng)有二千零十九萬一千設(shè)一星為一日各有五十行星繞之則行星之?dāng)?shù)當(dāng)有十億零九百五十五萬意必俱有動植諸物如我地球偉哉造物其力之神能之鉅真不可思議矣而測以更精之遠(yuǎn)鏡知天河亦有盡界非布滿虛空也而其界外別有無數(shù)星氣意天河亦為一星氣無數(shù)星氣實即無數(shù)天河我所居之地球在本天河中近故覺其大在別星氣外遠(yuǎn)故覺其小耳星氣已測得者三千余意其中必且有大于我天河者初人疑星氣為未成星之質(zhì)至羅斯伯之大遠(yuǎn)鏡成始知亦為無數(shù)小星聚而成而更別見無數(shù)星氣則亦但覺如氣不能辨為星之聚設(shè)異日遠(yuǎn)鏡更精今所見者俱能辨恐更見無數(shù)遠(yuǎn)星氣仍不能辨也如是累推不可思議動法亦然月繞行星行星繞太陽近代或言太陽率諸行星更繞他恒星與雙星同然則安知諸雙星不又同繞一星而所繞之星不又繞別星耶如是累推亦不可思議偉哉造物神妙至此蕩蕩乎民無能名矣

割圜八綴術(shù)序　　　

缺