圜率考真圖解跋　　　

曾紀(jì)鴻

曩讀古今人數(shù)學(xué)書莫不言割圜之難數(shù)理精蘊(yùn)中所載圜率與西人固靈所求三十六位之?dāng)?shù)相同皆用內(nèi)容外切屢次開方之法欲求此三十六位之率不下數(shù)十年工夫亦綦難矣后有泰西杜德美特立屢乘屢除之法省去開方較舊法為稍捷然秀水朱君小梁用其術(shù)以求四十位圜率止有二十五位不誤其后十五位概行誤足見紛賾繁難易于淆亂果臣先生屬紀(jì)鴻等凝心構(gòu)思幸得創(chuàng)茲巧法斂級甚速按等推求了如指掌邇?nèi)丈钣谒阏吒F理之功多演數(shù)之功少反覺不切于日用今左君壬叟黃君玉屏竟用此術(shù)推得各弧背真數(shù)至百位之多庶幾息諸家之聚訟而為古之困于圜率者置一左券也

對數(shù)序　　　

劉彝程

人莫不知對數(shù)之用世亦不乏求對數(shù)之書奚俟后有論譔顧是書之不容已于作也其要有二一則自來求對數(shù)者求一對數(shù)祗可得一對數(shù)今思得一法求一對數(shù)俱可得兩對數(shù)蓋以前冊開方第二術(shù)求大于本數(shù)之對數(shù)較易正負(fù)相間之諸數(shù)為皆正即為小于本數(shù)之對數(shù)較以前冊開方第三術(shù)求小于本數(shù)之對數(shù)較易諸數(shù)皆正者為正負(fù)相間即為大于本數(shù)之對數(shù)較以此求諸對數(shù)以備立表視前人諸法不尤捷乎此首卷之所以要也一則近來西書求對數(shù)半較其法頗捷而立法之原不詳間以開方之理推之乃知亦系開方之法但此開方與前冊開方諸法不同蓋以中方根求大小兩方根半較法也爰自平方至無量數(shù)九乘方各以率數(shù)闡之莫不顯然一貫而開方之說可以據(jù)為定論無疑此次卷之所以要也至是書中逐事逐節(jié)闡微抉隱于對數(shù)之理均覺似非小補(bǔ)然以視最要之端則猶為余事矣

論對數(shù)根　　　

劉彝程

　第一問

問何謂對數(shù)根曰命單一下帶無數(shù)空位零一之?dāng)?shù)為方根求其無量數(shù)九乘方之積為真數(shù)次置方根零數(shù)即零一之一以一無量數(shù)乘之得單一為真數(shù)之自然對數(shù)由自然對數(shù)求得定準(zhǔn)對數(shù)即對數(shù)根也法以十之自然對數(shù)為首率十之定準(zhǔn)對數(shù)單一為中率求得末率為對數(shù)根蓋十之自然對數(shù)與十之定準(zhǔn)對數(shù)單一之比若以單一為自然對數(shù)與其定準(zhǔn)對數(shù)之比而此所得定準(zhǔn)對數(shù)用之乘一切方根零數(shù)可得一切數(shù)之定準(zhǔn)對數(shù)以其為諸對數(shù)之所自出故曰對數(shù)根也

　第二問

問以對數(shù)根乘一切數(shù)之方根零數(shù)而得一切數(shù)之定準(zhǔn)對數(shù)其理若何且求一切定準(zhǔn)對數(shù)舍對數(shù)根尚別有法乎曰一切數(shù)之方根零數(shù)既為一切數(shù)之自然對數(shù)則置本數(shù)之方根零數(shù)任以若干數(shù)之定準(zhǔn)對數(shù)乘之以若干數(shù)之自然對數(shù)除之必得本數(shù)之定準(zhǔn)對數(shù)顧此法須一乘一除不若有乘無除或有除無乘之便有乘無除者以對數(shù)根為乘法是也有除無乘者以十之自然對數(shù)為除法是也蓋自然對數(shù)單一與定準(zhǔn)對數(shù)對數(shù)根之比同于一切自然對數(shù)與一切定準(zhǔn)對數(shù)之比而所宜置之一率系單一可以省除宜以單一為一率對數(shù)根為二率一切自然對數(shù)為三率求得四率為一切定準(zhǔn)對數(shù)故以對數(shù)根乘一切方根零數(shù)即得一切定準(zhǔn)對數(shù)又十之自然對數(shù)與十之定準(zhǔn)對數(shù)之比同于一切數(shù)之自然對數(shù)與一切定準(zhǔn)對數(shù)之比而十之定準(zhǔn)對數(shù)系單一可以省乘故以十之自然對數(shù)除一切方根零數(shù)即得一切定準(zhǔn)對數(shù)夫位少之?dāng)?shù)乘便于除位多之?dāng)?shù)除便于乘似以十之自然對數(shù)為除法較以對數(shù)根為乘法為便十之自然對數(shù)與對數(shù)根皆位多之?dāng)?shù)顧乘除方根零數(shù)乃乘除于得數(shù)之后得數(shù)即得方根也乘除所借之根單一為乘根于第一數(shù)之先第一數(shù)即連比例之第一數(shù)乘除于后與乘除于先原無少異則與其以十之自然對數(shù)除方根零數(shù)孰若以對數(shù)根乘借根單一之為便乎此求對數(shù)者所以恒置對數(shù)根為第一數(shù)之實(shí)也置對數(shù)根為第一數(shù)之實(shí)即如以對數(shù)根乘單一也

　第三問

問求對數(shù)根共有幾法曰舊法以十為本積開五十四次平方然后以方根為真數(shù)以方根之零數(shù)為自然對數(shù)以單一折半五十四次為定準(zhǔn)對數(shù)置單一以定準(zhǔn)對數(shù)乘之自然對數(shù)除之得對數(shù)根此一法也戴氏以十為本積先開三十一乘方為用數(shù)然后以用數(shù)開無量數(shù)九乘方求得方根零數(shù)以三十一乘方之廉率乘之即三十二乘之得十之自然對數(shù)以十之自然對數(shù)除定準(zhǔn)對數(shù)單一得對數(shù)根此又一法也李紉叔氏以二為本數(shù)求得自然對數(shù)三因之得八之自然對數(shù)又求得四與五之自然對數(shù)較命為八與十之自然對數(shù)較四五與八十比例同故對數(shù)較亦同以加八之自然對數(shù)為十之自然對數(shù)然后以十之自然對數(shù)除單一得對數(shù)根此又一法也夫舊法極繁不可為訓(xùn)戴李二術(shù)因十之自然對數(shù)不可徑求故一則借用數(shù)以求之一則分二次以求之皆法之極善者也

　第四問

又問求對數(shù)根別有法乎曰無論以若干數(shù)之自然對數(shù)除本數(shù)之定準(zhǔn)對數(shù)皆得對數(shù)根以對數(shù)根乘諸自然對數(shù)既得諸定準(zhǔn)對數(shù)則以諸自然對數(shù)除諸定準(zhǔn)對數(shù)必得對數(shù)根但諸數(shù)之自然對數(shù)與定準(zhǔn)對數(shù)恒難兼而有之如二可得自然對數(shù)不能得定準(zhǔn)對數(shù)十之平方根可得定準(zhǔn)對數(shù)不能得自然對數(shù)試思何數(shù)可兼得自然與定準(zhǔn)兩對數(shù)則得對數(shù)根矣間嘗于戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法與戴法相似后一法與李法相似此法任取略大于單一之?dāng)?shù)皆可為求對數(shù)根之借端明乎此然后覺求之術(shù)途徑甚寬非一格所能限矣法如左

一任取略大于單一之?dāng)?shù)為借根屢自再乘至比十略大或略小而止為借積以十為本積視借根屢自再乘為若干次即以十開若干乘方得數(shù)為十之若干乘方根次以此方根為本數(shù)以若干乘方之廉率除十之定準(zhǔn)對數(shù)單一為本數(shù)之定準(zhǔn)對數(shù)復(fù)由本數(shù)求得自然對數(shù)然后以自然對數(shù)除定準(zhǔn)對數(shù)得對數(shù)根

　假如任取一一為借根自乘得一二一為平方以平方自乘得一四六四一為三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一為七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三為十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五為二十三乘方此法較以一一累乘二十三次略捷視二十三乘方之?dāng)?shù)與十相近而略小乃以此數(shù)為借積十為本積求十之二十三乘方根法以借積減本積得一五二六七三二五為屢次乘法十為屢次除法置借根一一為第一數(shù)乘法乘第一數(shù)除法除之得一六五二九四五八以廉率二十四除之得六八八七二五三為第二數(shù)除法除之得一三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得五三九四為第三數(shù)乘法乘第三數(shù)除法除之得八一以四十九乘之七十二除之得五五一為第四數(shù)乘法乘第四數(shù)除法除之得八以七十三乘之九十六除之得六為第五數(shù)諸數(shù)相得一一六九四一七一四為十之二十三乘方根以上用開方第一術(shù)

　次以十之二十三乘方根為本數(shù)以廉率二十四除十之定準(zhǔn)對數(shù)得四一六六六六六六七為本數(shù)之定準(zhǔn)對數(shù)仍以開方術(shù)求本數(shù)之自然對數(shù)法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數(shù)得一六九四一七一四為較積即為屢次乘法置借根單一借積一借根必仍為一以乘法乘之除法除之得一六九四一七一四合以一無量數(shù)除之今不除寄為母即為第一數(shù)正本系第二數(shù)因但求方根零數(shù)故徑以第二數(shù)為第一數(shù)乘法乘第一數(shù)除法為單一除與不除無異故可省去得一一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除與一無量數(shù)乘二無量數(shù)除等得五六九六五八一為第二數(shù)負(fù)乘法乘第二數(shù)得五一四八五又二乘之三除之得三四三二三三為第三數(shù)正乘法乘第三數(shù)得三四二六八五又三乘之四除之得二五七一四為第四數(shù)負(fù)如是求得二七四為第五數(shù)正一七三八為第六數(shù)負(fù)一五為第七數(shù)正一三為第八數(shù)負(fù)一為第九數(shù)正諸正數(shù)相諸負(fù)數(shù)以減之得九五九四一四五六合以一無量數(shù)乘之因第一數(shù)已寄一無量數(shù)為母是此數(shù)已為一無量數(shù)與方根零數(shù)相乘之?dāng)?shù)故即為借積與本數(shù)之對數(shù)較又此對數(shù)較合加借積之對數(shù)為本數(shù)之對數(shù)而借積系單一無對數(shù)可加諸數(shù)之中惟單一無對數(shù)故此對數(shù)較即為本數(shù)之自然對數(shù)置本數(shù)之定準(zhǔn)對數(shù)四一六六六六六六七以自然對數(shù)九五九四一四五六除之得四三四二九四四八二即對數(shù)根也以上用開方第二術(shù)

一任取略大于單一之?dāng)?shù)為本數(shù)求得自然對數(shù)次以本數(shù)屢自再乘至比十略小或略大而止復(fù)求得此數(shù)與十之自然對數(shù)較次置先所求自然對數(shù)以屢自再乘之次數(shù)加一乘之以后所求自然對數(shù)較加之得十之自然對數(shù)然后以十之自然對數(shù)除十之定準(zhǔn)對數(shù)單一得對數(shù)根

　假如任取一一為本數(shù)求其自然對數(shù)法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數(shù)得一為較積即為屢次乘法置借根單一降一位屢乘法除法皆為一乘除所得之?dāng)?shù)但降一位而數(shù)不變故以降一位代乘除一次也得一為第一數(shù)正此處寄母及得數(shù)后不復(fù)以無量數(shù)乘之之說俱已見前置第一數(shù)降一位一乘之二除之得五為第二數(shù)負(fù)置第二數(shù)降一位二乘之三乘之得三三三三三三為第三數(shù)正置第三數(shù)降一位三乘之四除之得二五為第四數(shù)負(fù)如是求得二為第五數(shù)正一六七為第六數(shù)負(fù)一四為第七數(shù)正一為第八數(shù)負(fù)諸正數(shù)相諸負(fù)數(shù)以減之得九五三一一八為一一之自然對以上用開方第二術(shù)

　次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五為一一之二十三乘方視此數(shù)與十相近而略小乃以此數(shù)為小積十為大積復(fù)開無量數(shù)九乘方求大小兩積之對數(shù)較法置大積自除得一為大借積以大積除小積得九八四九七三二六七五為小借積以減大借積得一五二六七三二五為較積乃以較積除小借積得六□五五四八六七第二位為單數(shù)故志以口為屢次除法合以較積為乘法小借積為除法今以乘法除除法為除法則屢次乘法可以省去置大借積之根單一以除法除之得一五二五五九八為第一數(shù)正除法除第一數(shù)一乘之二除之得一一六三七五為第二數(shù)負(fù)除法除第二數(shù)二乘之三除之得一一八四為第三數(shù)正除法除第三數(shù)三乘之四除之得一四為第四數(shù)負(fù)第一第三數(shù)相以第二第四數(shù)相減之得一五一四七八為大借積與小借積之自然對數(shù)較亦即為大積與小積之自然對數(shù)較大小兩借積皆寄大積除法為母同一寄母則與原大積小積比例仍同比例同故對數(shù)較亦同次置一一之自然對數(shù)以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次數(shù)加一乘之也得二二八七四四四三二為小積之自然對數(shù)以大小兩積之自然對數(shù)較加之得二三二五八五二為十之自然對數(shù)置定準(zhǔn)對數(shù)單一以十之自然對數(shù)除之得四三四二九四四八二即對數(shù)根也以上用開方第四術(shù)

代數(shù)術(shù)序　　　

華蘅芳

代數(shù)術(shù)二十五卷余與西士傅蘭雅所譯也傅君本精于此學(xué)余亦粗明算法故傅君口述之余筆記之一日數(shù)千言不厭其艱苦凡兩月而脫稿繕寫付梓經(jīng)年告成爰展閱一過而序之曰數(shù)之名始于一而終于九故至十則進(jìn)其位而仍以自一至九之?dāng)?shù)名之至百則又進(jìn)其位而仍以自一至九之?dāng)?shù)名之如是以至千萬億兆其例一也夫古人造數(shù)之時(shí)所以必以十紀(jì)之者誠以數(shù)之多可至無窮若每數(shù)各與一名則吾之名必有窮時(shí)且紛而無序?qū)⒉豢捎洃洸蝗鐦O之于九而以十進(jìn)其位則舉手而示屈指而記雖愚魯者皆能之故可便于民生日用傳之?dāng)?shù)千百年至今不變也觀夫市廛貿(mào)易之區(qū)百貨羅列精粗美惡貴賤之不同則其數(shù)殊焉多寡長短大小之不同則其數(shù)又殊焉凡欲以其所有易其所無者必握算而計(jì)之其所斤斤計(jì)較者莫非數(shù)也設(shè)有人言吾可用他法以代其數(shù)天誰能信之良以其乘除加減不過舉手之勞頃刻而得無有奧邃難明之理在其間本無藉乎代也惟是數(shù)理幽深最耐探索疇人演算務(wù)闡精微于是乎設(shè)題愈難布算愈繁甚至經(jīng)旬累月不能畢一數(shù)且其所求之?dāng)?shù)往往雜糅隱匿于各數(shù)之內(nèi)而其理亦紆遠(yuǎn)而不易明若每事必設(shè)一題每題必立一術(shù)枝枝節(jié)節(jié)而為之術(shù)之多將不可勝紀(jì)而仍不足以窮數(shù)理之變則不如任數(shù)理之萬變而我立一通法以馭之此中法之天元西法之代數(shù)所由作也代數(shù)之術(shù)其已知未知之?dāng)?shù)皆代之以字而乘除加減各有記號以為區(qū)別可如題之曲折以相赴迨夫?qū)永垡衙麟A級已見乃以所代之?dāng)?shù)入之而所求之?dāng)?shù)出焉故可以省算學(xué)之工而心亦較逸以其可不藉思索而得也雖然代數(shù)之術(shù)誠簡矣誠便矣試問工此術(shù)者遂能不病其繁乎則又不能也夫人之用心日進(jìn)而不已茍不至昏眊迷亂必不肯中輟故始則因繁而求簡及其既簡也必更進(jìn)焉而復(fù)遇其繁雖迭代數(shù)十次其能免哉由是知代數(shù)之意乃為數(shù)學(xué)中鉤深索隱之用非為淺近之算法而設(shè)也若米鹽零雜之事而概欲以代數(shù)施之未有不為市儈所笑者也至于代數(shù)天元之異同優(yōu)劣讀此書者自能知之無待余言也

論四元相消之理　　　

湯金鑄

四元之書今所存者以元朱漢卿四元玉監(jiān)為最古然四元實(shí)由天元所推廣而天元則宋秦道古數(shù)學(xué)九章元李鏡齋測圓海鏡益古演段郭邢臺授時(shí)厤艸皆著其法今并存唐王又孝通輯古算經(jīng)所立諸術(shù)多與天元四元所衍得者同疑亦據(jù)此而作也考九章算術(shù)少廣章曰借一算為法步之似即立天元一所自始顧天元因借一而立然所借止于一用猶未廣故推衍為四元而四元法則悉本方程以為用也蓋天元地元即方程之一色二色而今式云式即方程之一行二行故方程多一色須多一行猶元術(shù)多一元即多一式四元之相消無異方程之互乘對減方程對減一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然則對減者方程之轉(zhuǎn)樞而相消者實(shí)四元之關(guān)鍵矣夫相消原與常法相減無異而理則有殊蓋減則數(shù)有大小即有減余之?dāng)?shù)而相消必兩數(shù)參差相等消后數(shù)有對者汰之無對者列為正負(fù)存之故所得必正負(fù)相當(dāng)而等于無數(shù)天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者須得相等兩如積相消遇寄左數(shù)須開平方始與又?jǐn)?shù)等者即又?jǐn)?shù)等于左數(shù)之平方根也故以又?jǐn)?shù)自乘即與寄左數(shù)相等因自乘必?zé)o奇零開方數(shù)常不盡故以此通之也或遇左數(shù)當(dāng)以某數(shù)除之始與又?jǐn)?shù)等者即又?jǐn)?shù)小于左數(shù)若干倍也則以其數(shù)乘又?jǐn)?shù)令大若干倍即與左數(shù)相等因如積常不受除故以此通之也兩數(shù)既等即可消為一行得開方式若立二元者既有兩如積相消而得一式矣然式中又有兩元之和數(shù)或較數(shù)則兩元仍不可知故必更求兩如積相消而得又一式乃以此二式相消得開方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行乘右式則二式之最左一行必相同而相消必盡猶方程之互乘對減必減去最上一層也知其必盡故不必乘亦不必減所以省算也如是屢乘屢消以消至一行止為開方式若遇兩式中左行之?dāng)?shù)彼大于此若干倍者可以約率求之不必互乘蓋互乘所以齊同今此既小于彼若干倍則依若干倍之即與彼齊同矣遇兩式之行數(shù)不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇層數(shù)高下不同者亦然如右式有數(shù)在太上一層左式太下一層始有數(shù)可令右式降而從之或以左式升而從之其能任意升降者如以天元一除之或乘之也若立三元則可任意升降而不可任意左右蓋地人兩元互相牽制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元則牽制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行數(shù)層數(shù)不齊者必用剔消法馭之剔消之理因各式之?dāng)?shù)既正負(fù)相當(dāng)則任以一數(shù)乘之或除之其相當(dāng)固不變即其數(shù)任分為二各自乘相減所得仍相當(dāng)不變也故三元法遇各式行數(shù)多少不齊即將少行之式直剔為二各自乘而相消則數(shù)本為元者可增而為面體及多乘方可與多行之式相消矣四元法遇各式行數(shù)層數(shù)均不齊者則直剔一式使少行增為多行又橫剔一式使少層增為多層亦可與多行多層者相消矣至舊法天物相乘地人相乘得數(shù)皆紀(jì)于夾縫中式中有此則視其由何數(shù)相乘而得者即以其數(shù)除而去之若不受除則乘他式以齊之凡此皆不外通分齊同之義而能盡相消之用者也

　正負(fù)相當(dāng)?shù)扔跓o數(shù)則任以數(shù)乘之除之或自乘開方或剔乘相消必仍相當(dāng)而等于無數(shù)作者以此釋相消之理良由于四元代數(shù)貫徹純熟故能語必破的

九減法及任用他數(shù)減試說　　　

沈善蒸

驗(yàn)乘除之誤舊傳九減之外其三四六七八皆可作減試之法惟一二五不可用因乘除之誤恒差一二五等數(shù)故也梅氏算書祗有九減七減兩法因用他數(shù)減試之法均同七減故用他數(shù)之減法可不俱載焉按九減法無論驗(yàn)加減乘除之誤先以法數(shù)各位相并滿九者以九減之減至不滿九而止又實(shí)數(shù)得數(shù)并減亦如之并減過之?dāng)?shù)法仍為法實(shí)仍為實(shí)如驗(yàn)乘法者仍相乘驗(yàn)除法者仍除之驗(yàn)加減者仍加減之所得之?dāng)?shù)滿九者又九減之必與減過之原得數(shù)相同是為無誤若不同必有誤矣七減法則稍異不能各位相并須從首位次第以七減之減至尾位不滿七而止減畢后乘除加減試驗(yàn)之法皆與九減同試言其理夫數(shù)起于一極于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一與十百千萬之較數(shù)為九九十九九百九十九九千九百九十九按此諸較數(shù)俱為九之倍數(shù)以九減之俱能卻盡無余又如三與三十之較數(shù)二十七七與七十之較數(shù)六十三亦為九之倍數(shù)故無論何數(shù)退下一位或幾位即與九減幾次無異譬如八十退下一位變?yōu)榘思慈绨耸跃艤p八次亦為八所以九減之法十百千萬均可并入單位而他減則不能并也又準(zhǔn)此理九減之法可以改為以并代減更為簡捷假如八百六十五萬五千七百八十四今欲以并代減將各位相并得四十三又相并得七則與九減減得之?dāng)?shù)同若論用他數(shù)減試視九減孰為難易則他減難而九減易因九減可并故也然九減法有利亦必有弊凡乘除之誤往往因加錯(cuò)位次與減錯(cuò)位次者居多乃九減不能驗(yàn)出此等之誤因九減亦不計(jì)位次之故是以九減雖稱捷法誠不如七減之盡善也

論海洋深淺之理　　　

沈善蒸

依重心之理而論大西洋必深于太平洋赤道以北之洋必深于赤道以南之洋何以故凡地球吸力非地心所生是地球全體各質(zhì)點(diǎn)皆有吸力各點(diǎn)互吸其力必聚于公重心猶之一重物各質(zhì)點(diǎn)皆有重率而重心必歸于一點(diǎn)也凡萬物之有重力皆因地球吸力所致而重力與吸力原非二物故吸力之心即重心無疑所以地面上有物墜下必向地球之公重心而海面恒與重心至地面徑線成正交故重心即球心也又因地球以二極為軸每日東轉(zhuǎn)一周而生離心力焉故北半球之垂線俱向重心而稍偏南垂線者即懸線也南半球之垂線俱向重心而稍偏北維赤道與二極地方之垂線直向重心是以地球?yàn)槲⒇倚我咏耖喌貓D北半球陸地多于南半球若使海洋深淺略同則北半球地質(zhì)多于南半球是北半球重而南半球輕其公重心必偏在北半球海水亦隨之而北乃北半球之低地沒為海南半球之淺海變?yōu)殛懞文艹涩F(xiàn)在之形狀以鄙意度之北半球之海洋應(yīng)倍深于南半球之海洋故北半球洋面雖少以深補(bǔ)之仍不為少南半球洋面雖多以淺消之仍不為多乃兩半球之地質(zhì)輕重相等而重心亦無偏北之勢庶能成現(xiàn)在之形狀又大西洋應(yīng)深于太平洋之理亦然不知此論然否須質(zhì)諸泰西測海家驗(yàn)以實(shí)測方可自信如其不然必因地質(zhì)有松密北半球地質(zhì)多而松南半球地質(zhì)少而密亦能輕重相等可使重心不偏也

質(zhì)點(diǎn)　　　

韓應(yīng)陛

歐羅巴人光性論云物之微分人亦能分然不能至不可分之地蒙以為人之不能分非物之不可分以幾何之理言之物雖大合之可至無窮雖微分之可至無窮尺椎之說也而以為物有不可分之地者何也定質(zhì)質(zhì)點(diǎn)大水質(zhì)點(diǎn)小水質(zhì)點(diǎn)大氣質(zhì)點(diǎn)小氣中各類應(yīng)又分何類質(zhì)點(diǎn)大何類質(zhì)點(diǎn)小九與黍大小懸殊也以囷盛丸以盂盛黍囷底穴則丸相聚下至盡囷而正盂底穴則黍相聚下至盡盂而止其下之形與水之下之形無以異也顧囷之穴必大于丸盂之穴必大于黍囷之穴不大于丸則丸不得下也盂之穴不大于黍則黍不得下也故丸也黍也以網(wǎng)盛則下以布帛盛則不下布帛以盛水則下陶為密矣以盛水久而水沁于外陶孔大水粒小也比陶為尤密矣質(zhì)較疏者以盛水水無沁于外以盛油久而油沁于外孔大油粒小也水粒之大大于孔油粒之大不大于孔也據(jù)此而知凡物質(zhì)之有點(diǎn)點(diǎn)之有原度不獨(dú)定質(zhì)重流質(zhì)亦有之則亦可推此而知不獨(dú)重流質(zhì)輕流質(zhì)亦有之輕流質(zhì)之有質(zhì)點(diǎn)雖無據(jù)豈遂不能更有他器烈以測而知之者乎而今則未有其器可以測而知之者也

極說　　　

韓應(yīng)陛

凡可論之物有有極者有無極者有兩端皆有極者有一端有極一端無極者一端有極一端無極者數(shù)也度也數(shù)始于一一數(shù)之至小也不可更減也故即以是為小極由是而遞加加之而至無窮也此小有極大無極者也度終于三百六十三百六十度之至大也不可更加也故即以是為大極由是而遞減減之而至無窮也此大有極小無極者也兩端皆有極者南北極是也幾何之理是也幾何之理始于點(diǎn)終于體點(diǎn)不可減故為小極體不可加故為大極點(diǎn)不但不可減亦不可加使點(diǎn)可加加而為線是點(diǎn)雖不本大而固可使大維其不可加使大故終于點(diǎn)終于小也故為小極也體不但不可加亦不可減使體可減減而為面是體雖不本小而固可使小惟其不可減使小故終于體終于大也故為大極也是兩端皆有極者也而幾何中線加減不離線遞減不及點(diǎn)遞加不及面面加減不離面遞減不及線遞加不及體體加減不離體遞減不及面遞加減不及他形也是線也面也體也小亦無極也大亦無極也是兩端皆無極者也而線以兩點(diǎn)為界即以兩點(diǎn)為極而兩端可引之至無窮是兩端皆無極者也面以心一點(diǎn)為心線為界體以重心一點(diǎn)為心面為界心為小極線為大極重心為小極面為大極也而面之心一而已其界之線遞加而無窮也遞減而無窮也體之重心一而已其界之面遞加而無窮也遞減而無窮也是又小有極大無極者也一端有極一端無極者也投物水中水之浪層層相生以至無窮投物處極也其層層相生而無窮者無極也聲亦然出聲處為極聲漸遠(yuǎn)而漸微者無極也光亦然出光處為極光漸遠(yuǎn)而漸暗者無極也地球之理亦如是也地球以地心為極而水附于土以共為一球氣又附于水土以共為一大球地心吸力極大以漸而減地心吸力地質(zhì)點(diǎn)滯力用足相反也力足相敵也力相敵故相定幾何度球面距地心一里吸力幾何則等幾何度球面距地心加一倍為距二里其吸力必減四倍何也距地心二里球面必四倍大于距地心一里球面也則距地心二里球面質(zhì)點(diǎn)滯力必四倍大于距地心一里球面質(zhì)點(diǎn)滯力也夫地心吸力加于地質(zhì)遞加遞進(jìn)以至地面亦加于水遞及水面地水之上地心吸力又加風(fēng)氣使地心吸力不加風(fēng)氣則風(fēng)氣之性既自生漲力能推諸點(diǎn)四面散行漸遠(yuǎn)地心地水向心風(fēng)氣離心方向相反地上氣下應(yīng)生空隙今乃不然足證非是地心吸力加于地質(zhì)漸遠(yuǎn)漸減以至地面地面之上又加風(fēng)氣漸遠(yuǎn)漸減以至無窮何也地面風(fēng)氣漲力有幾何重可測而知如以玻璃方器抽出風(fēng)氣外面風(fēng)氣擠逼立碎試問此器不用風(fēng)氣用幾何力方能擠碎設(shè)云一十六兩則風(fēng)氣擠力極小當(dāng)不能減于一十六兩擠力漲力名異實(shí)同非有二義地心至地面萬五千里據(jù)上所云其距倍是為三萬里面大四倍力減四倍吸力漲力為成四兩使更倍是為六萬里面大四倍力減四倍吸力漲力為成一兩其距遞加其力遞減遞加之?dāng)?shù)可至無窮遞減之?dāng)?shù)去多存少去三存一終存四一亦自無窮譬如尺椎日取其半萬世不竭使不取半日取四三萬世之后終存四一是故地心吸力最大漸遠(yuǎn)漸減以至地面又加風(fēng)氣漸遠(yuǎn)漸減以至無窮永無盡界地心極也其漸遠(yuǎn)漸減而無窮者無極也故風(fēng)氣盡界說稱風(fēng)氣愈高愈薄漲力愈小漲力能推諸點(diǎn)四面散行漸遠(yuǎn)地心其方向與地心力對面此言是也至稱漲力漸小至與地心力相等風(fēng)氣諸點(diǎn)不復(fù)推開而有盡界者其義非是也

繙譯航海通書原本　　　

金楷理

是書所列日月行星每日躔度悉照英國都城外之觀象臺地名固林為志經(jīng)所定其地在赤道北緯五十一度二十八分三十八秒凡日月星從午迤西旋轉(zhuǎn)復(fù)至午為一日所歷之太陽平時(shí)日月星多寡不同在日則曰太陽日二十四時(shí)在月則曰太陰日約二十五時(shí)弱即今日過午至明日過午為一日在行星則各有行星日在恒星則有恒星日二十三時(shí)五十六分三秒半弱其命時(shí)也悉以太陽平時(shí)為宗　設(shè)太陽為不動則地軸旋轉(zhuǎn)及繞日其方向終古不變月星繞日從地心見其遲速不一成各星日也

測算有平時(shí)真時(shí)之別按鐘表走時(shí)平分即太陽之平時(shí)日晷測時(shí)不平分即太陽真時(shí)其理解見譯之航海通書

凡鐘表宜照平時(shí)開準(zhǔn)蓋真時(shí)由測星而得平時(shí)以意平分之謂為平時(shí)者別于真時(shí)也

平時(shí)真時(shí)之較曰時(shí)差每日午正以所差之?dāng)?shù)列如表

設(shè)于一千八百七十年正月初一日在該處測日心正交午所得之午正即為該處真時(shí)查其時(shí)差為三分五十一秒四零依號加于真時(shí)則知日交午之平時(shí)為午正三分五十一秒四零也

凡推算必先準(zhǔn)定一處為起算之端如此表依英國為準(zhǔn)移用他處俱照相距該處之遠(yuǎn)近為加減相距十五度即差一點(diǎn)鐘設(shè)同此一時(shí)在該處為午正者其西十五度之處尚為午初蓋同時(shí)太陽不能分居兩處之午也

行船表即度時(shí)表在該處開準(zhǔn)者任至某處欲知該處之時(shí)檢表即得驗(yàn)諸實(shí)測尚須推算其時(shí)差以加減之凡算家所定之表宜各照其測處之午為準(zhǔn)

常用以夜半子正起至明日子正為一日而中分于午為午前十二點(diǎn)午后十二點(diǎn)此書則以正午起至明日正午止歷二十四點(diǎn)為一日如常用在正月初二日午前七點(diǎn)鐘四十九分此書則為在正月初一日十九點(diǎn)四十九分也余仿此　每月月終必多列一日即下月初一之?dāng)?shù)便中比例之用也

每月第一頁所列諸數(shù)系日心正交該處午時(shí)之?dāng)?shù)其赤道經(jīng)度自春分點(diǎn)記起日距赤道南北若干度謂之緯度

若干別時(shí)求日之赤道經(jīng)緯度及時(shí)差之法當(dāng)以次行所記之一點(diǎn)較數(shù)上求之表所列之?dāng)?shù)為午正前后一點(diǎn)中日所移之?dāng)?shù)若算別時(shí)之較取距午正折中之處而比其較中之較視下日較數(shù)之大小以別加減乃加減于本日較數(shù)內(nèi)即為所求時(shí)每點(diǎn)應(yīng)移之?dāng)?shù)而與所求時(shí)相乘即得其午正后所移之準(zhǔn)數(shù)以加本日午正如日之赤緯度及時(shí)差在退行時(shí)則減于本日午正即得所求之?dāng)?shù)也考其所列之每點(diǎn)較數(shù)乃并上下兩日之行分乃以兩日共四十八點(diǎn)歸之即得下日之一點(diǎn)較

設(shè)是年正月十六日在該處四點(diǎn)鐘時(shí)求日之赤道緯度則檢表內(nèi)十六日午正之一點(diǎn)較為二十八秒七六十七日午正之一點(diǎn)較為二十九秒七五兩較相減得較中之較為零秒九九以二十四點(diǎn)歸之得每點(diǎn)差百分秒之四有奇乃以求午正后四點(diǎn)折半為二點(diǎn)即其中處與百分秒之四有奇相乘約得百分秒之八乃視其下日之較為漸大故加于十六日一點(diǎn)較數(shù)上共為二十八秒八四即所求四點(diǎn)時(shí)每點(diǎn)應(yīng)移之赤道緯度乃以四點(diǎn)因之得一分五十五秒四查十六日正交午時(shí)在赤道南二十度五十五分五秒視十七日緯度小于十六日則知漸減以減十六日之緯度余為南二十度五十三分十秒即所求四點(diǎn)時(shí)之赤道緯度也求經(jīng)度及時(shí)差之法皆仿此

日半徑每日過午所歷之恒星時(shí)因日距赤緯之南北而改變及半徑有大小別所歷之時(shí)因之不等考其測日之過午必測日之外環(huán)相切于午加此半徑所歷之時(shí)而得日中心過午之時(shí)故設(shè)此表也首頁時(shí)差表為真時(shí)改平時(shí)之用設(shè)是年正月十六日該處真時(shí)為午后三點(diǎn)求其平時(shí)查正月十六日時(shí)差次行一點(diǎn)較為千分秒之八百四十四十七日為千分秒之八百十五則十六日三點(diǎn)之較應(yīng)為千分秒之八百四十二法見前以三點(diǎn)因之得二秒二六以加十六日時(shí)差十分零三秒七五共為十分零六秒二八再加三點(diǎn)得三點(diǎn)十分零六秒二八即所求之平時(shí)

四月首頁時(shí)差表有加有減十五以前為加十五以后為減中有粗畫作記每月第二頁表為該處平午正時(shí)日之赤道經(jīng)緯度按此表從日之黃道經(jīng)緯及黃道交角等數(shù)算出記真太陽所見處距地球赤道及真春分點(diǎn)之?dāng)?shù)

任于何地何時(shí)算日之赤道經(jīng)緯度法　設(shè)于是年三月初一日在英國偏西九十八度之處平時(shí)為二十一點(diǎn)二十分求日之赤道經(jīng)度按偏西九十八度應(yīng)加六點(diǎn)三十二分為英國之三月初二日三點(diǎn)五十二分也查三月初二與初三兩日經(jīng)度之較為三分四十三秒九五以二十四點(diǎn)比三分四十三秒九五若三點(diǎn)五十二分與三十六秒八凡四率比例皆用以比若與四字括之以即一率比即二率若即三率與即四率下仿此以加三月初二之經(jīng)度二十二點(diǎn)五十二分三十八秒一二共為二十二點(diǎn)五十三分十四秒二零即所求經(jīng)度也如求緯度亦查初二與初三兩日緯度之較為二十二分五十七秒六以二十四點(diǎn)比二十二分五十七秒六若三點(diǎn)五十二分與三分四十一秒九查兩日之緯度漸減以減于初二日緯南七度九分五十三秒六得緯南七度六分十一秒七即所求之赤道緯也若更窮其細(xì)依前法求兩日之每點(diǎn)較數(shù)比例之則愈密也因各曜之遲速在一日之內(nèi)亦非平分必以漸而改日之半徑因距地遠(yuǎn)近而異夏至后十余日在其至高故半徑最小冬至后十日在其至卑故半徑最大每日列表如測日之高度若測其上環(huán)必減此半徑或測其下環(huán)則加此半徑或測日月相距度乃并日月兩半徑以加減之即得其中心之距度

第二頁時(shí)差表為平時(shí)改真時(shí)之用故其加減之號與真時(shí)條下相反兩數(shù)有微差者乃時(shí)差中亦應(yīng)移之?dāng)?shù)即時(shí)差行也日之赤道經(jīng)緯度亦同

既有平時(shí)如號加減即得真時(shí)設(shè)于是年四月初二日在該處之平午正時(shí)欲求其真時(shí)查此日午正時(shí)差表應(yīng)減三分三十七秒七零以減初二日午正即為四月初一日二十三點(diǎn)五十六分二十二秒三零即所求之真時(shí)也又如在該處偏東一百零五度之地四月十五日平時(shí)為十五點(diǎn)即十六日午前之三點(diǎn)鐘時(shí)此系偏東處平時(shí)求真時(shí)偏東一百零五度應(yīng)減七點(diǎn)是為英國之四月十五日八點(diǎn)查十五與十六兩日時(shí)差之較為十四秒七九因一為加一為減故相并為一日較以二十四點(diǎn)比十四秒七九若八點(diǎn)與四秒九三而十六為當(dāng)加之日十五為當(dāng)減之日其十五日表內(nèi)減余之?dāng)?shù)只剩零秒四六少于應(yīng)減之?dāng)?shù)乃以比得之?dāng)?shù)反減零秒四六余四秒四七其號即變?yōu)榧幽思佑谑妩c(diǎn)共得十五點(diǎn)零四秒四七為所求處之真時(shí)

恒星時(shí)者乃每日該處平午正時(shí)午上赤道經(jīng)度距春分起點(diǎn)之?dāng)?shù)乃日之平分赤道經(jīng)度也設(shè)太陽為不動則地軸每日旋轉(zhuǎn)一周又兼繞日之行視恒星所居之原點(diǎn)已西移三分五十六秒半也逐日累之則成恒星時(shí)矣

是書所載恒星時(shí)乃算家常用之表以明正午測望時(shí)距分點(diǎn)偏西之度分秒恒星時(shí)分點(diǎn)其差甚微故曰真恒星時(shí)而不名平恒星時(shí)如以日有平時(shí)而欲求恒星平時(shí)即日之平經(jīng)度以十五約之即為平恒星時(shí)恒星之真時(shí)與恒星平時(shí)之較十九年中止差二秒三差甚微細(xì)故不另立表也算家測各恒星經(jīng)度其表已悉訂正無誤是書因之倘欲變更測凡章動之?dāng)?shù)皆須改易也

凡測量以求日之平時(shí)即以平午正之恒星時(shí)為準(zhǔn)如用恒星時(shí)求日之平時(shí)或用日之平時(shí)求恒星時(shí)俱用五百零四至五百零七頁之等時(shí)表查之即得設(shè)于是年正月初二日二十一點(diǎn)九分二十四秒零四之恒星時(shí)求該處午相當(dāng)之太陽平時(shí)

法以今有恒星時(shí)內(nèi)減本日午正之恒星時(shí)十八點(diǎn)四十七分四十一秒余為本日午正后之恒星時(shí)二點(diǎn)二十一分四十三秒零四檢等時(shí)后表即得其相當(dāng)之太陽平時(shí)為二點(diǎn)二十一分十九秒八二即所求蓋以恒星時(shí)一點(diǎn)比太陽平時(shí)五十九分五十秒一七零四若本日午后恒星時(shí)二點(diǎn)二十一分四十三秒零四與所求之太陽平時(shí)二點(diǎn)二十一分十九秒八二與表數(shù)合

又如正月初二日二點(diǎn)二十一分十九秒八二之太陽平時(shí)求該處午相當(dāng)之恒星時(shí)

法以今有太陽平時(shí)檢等時(shí)前表即得其相當(dāng)之恒星時(shí)為二點(diǎn)二十一分四十三秒零四以加本日平午正之恒星時(shí)十八點(diǎn)四十七分四十一秒共為二十一點(diǎn)九分二十四秒零四即所求蓋以太陽平時(shí)一點(diǎn)比恒星時(shí)一點(diǎn)零九秒八五六五若今有太陽時(shí)二點(diǎn)二十一分十九秒八二與所求之恒星時(shí)二點(diǎn)二十一分四十三秒零四與表數(shù)合即加于本日午正之恒星時(shí)是也

凡測算在該處之西者其平午正之恒星時(shí)每點(diǎn)照加九秒八五六五在該處之東者則減亦如之

設(shè)于該處偏西九點(diǎn)十分六秒之地十五度為一點(diǎn)求正月初二日平午正之恒星時(shí)乃以一點(diǎn)比恒星時(shí)長于太陽平時(shí)之較九秒八五六五若偏西九點(diǎn)十分六秒與一分三十秒三七偏西應(yīng)加以加表內(nèi)是日平午正之恒星時(shí)十八點(diǎn)四十七分四十一秒共為十八點(diǎn)四十九分十一秒三七即所求

每月第三頁列太陽黃道經(jīng)度從春分點(diǎn)起而光行有差故所記經(jīng)度真數(shù)為平午正時(shí)之?dāng)?shù)

設(shè)以囷為連半徑以四百九十七秒九八與囷相乘減余為日之經(jīng)度真處因光行之差其過見處較后于真處也

太陽黃道緯度乃自太陽中心成一弧與黃道之面交股其弧度即為太陽黃道緯度也

　考日之黃道緯度根于自轉(zhuǎn)日之本體想亦橢圓二十六日奇自轉(zhuǎn)一周與表內(nèi)交終之率恰合因此悟及也

帶半徑之對數(shù)乃平午正時(shí)地心與日心真影相距之對數(shù)即黃道之長半徑即日距地心對數(shù)

以上諸條為量日之準(zhǔn)而行星及彗星之行度皆藉以推測其距日心之處而求地之經(jīng)度須查太陽經(jīng)度而訂其光行差即可測算

光行差表見二百四十二頁黃道交角等表內(nèi)每十日列一數(shù)余詳五百三十二頁內(nèi)

凡于太陽黃道經(jīng)度既得其光行差數(shù)其章動數(shù)可求諸恒星之位

月半徑者乃自月心至地心一如半徑則月之半徑如正切所成之角如從地心見之也

地平視差者乃自地心至月心一如半徑則地球半徑如正切所成之角如從月心見之也

凡測見月之外環(huán)而欲求其中心可用月半徑表至于地之各緯度望月求其視差必以月在地平時(shí)最大之視差為比例蓋以地為匾球則隨處可以測月即高出地平之處其差亦能算故于地面測月可改為不異地心見月耳

兩項(xiàng)較中之較相加共一秒七折半得百分秒之八十五為中較再以八約之得百分秒之十一則所較不過差百分秒之十一也

照此細(xì)推視差其差為十分秒之四

每月第四頁月行黃道經(jīng)度緯度之?dāng)?shù)其正交分點(diǎn)處乃自地心推算所載表數(shù)無益航海之人黃道經(jīng)度乃專為章動而設(shè)蓋月之動也遲速不一欲于子午兩正外測月之黃道經(jīng)緯二度則須較其秒數(shù)甚有較至三四次始得其準(zhǔn)者月年者乃日月合朔一周之日數(shù)也如中厤每月日數(shù)月過子午圈者乃太陰中心每日過該處上子午之平時(shí)表數(shù)僅記十分分之一不更求其細(xì)依表測月可定行船經(jīng)度以推測潮信至欲求月出月入時(shí)候亦用此表而參以半弧表表中有○此記號者乃明此日太陰不過該處子午圈也月行之?dāng)?shù)較多于日太陰行一過太陽尚未及一周太陽在月行一周之中故每月有一日不過子午圈者

如正月三十日月行多于日行五十二分三即兩次月過午時(shí)之較查其上次過午時(shí)乃在正月二十九日二十三點(diǎn)十五分六下次過午則在正月三十一日零點(diǎn)七分九是知中間之一日月尚未及一周也若日月相距在半周時(shí)每月有一日不過下子午

三百九十頁至四百二十八頁記月相近之星表內(nèi)亦記月在何時(shí)常僅過該處午線一次如三百九十三頁記正月三十一日月僅過下子午線一次三百九十四頁記二月十五日月僅過上子午線一次之類

無論何處欲求月過子午圈之平時(shí)設(shè)其地在該處之東者則以昨今過午時(shí)相較如在該處之西者則以今明過午時(shí)相較乃以二十四點(diǎn)比兩次過午時(shí)較若所偏經(jīng)度化時(shí)與所求之較在東者應(yīng)減在西者應(yīng)加蓋在東者太陰必先過午也

設(shè)于是年正月二十六日午前在該處之東六十度求月過子午圈之平時(shí)按二十六日在午前者為此書之二十五日查月過該處午為十九點(diǎn)三十六分三與前一日過午時(shí)之較為五十二分九以二十四點(diǎn)比五十二分九若四點(diǎn)即偏東六十度所變之時(shí)與八分八于十九點(diǎn)三十六分三內(nèi)減之偏東故減得十九點(diǎn)二十七分半即所求設(shè)于是日再求偏西六十度月過午之平時(shí)則將十九點(diǎn)三十六分三與后一日過午時(shí)之較為五十四分三以二十四點(diǎn)比五十四分三若四點(diǎn)偏西度變時(shí)與九分一乃加于十九點(diǎn)三十六分三得十九點(diǎn)四十五分四即所求

以上算法似嫌未密然尋常用之差亦無幾不必過求其細(xì)也

每月第五頁至十二頁所記每日每點(diǎn)太陰所行赤道緯度緯度每十分之較數(shù)其緯數(shù)時(shí)數(shù)地平經(jīng)度月出月入等項(xiàng)可由諸頁檢算至表列之?dāng)?shù)乃從地心推出

設(shè)于是年正月十二日午后八點(diǎn)四十五分在該處東六十度之地求月之赤道經(jīng)度

法以偏東六十度變?yōu)樗狞c(diǎn)以減于八點(diǎn)四十五分為該處之正月十二日四點(diǎn)四十五分查是日四點(diǎn)表數(shù)為三點(diǎn)二十七分二十八秒八五五點(diǎn)表數(shù)為三點(diǎn)二十九分二十九秒八零兩數(shù)相減余二分零秒九五以六十分比二分零秒九五若四十五分與一分三十秒七一加于四點(diǎn)表數(shù)得三點(diǎn)二十八分五十九秒五六即所求

求緯度亦同此法惟有時(shí)較中之較亦不甚小故有每十分緯度之較如前所設(shè)時(shí)求赤道緯度查是日四點(diǎn)緯表每十分之較為八十六秒六九五點(diǎn)緯表每十分之較為八十六秒一四是四點(diǎn)二十二分半之中即四十五分折中之處其每十分之較應(yīng)為八十六秒四八即將兩較中之較用六十歸之二十二分半乘之以減于四點(diǎn)下十分之較即得所求理與日躔一點(diǎn)較同以十分比八十六秒四八若四十五分與六分二十九秒二查表知緯度漸加以加于四點(diǎn)表數(shù)緯北十三度五十三分二秒三得緯北十三度五十九分三十一秒五為所求月之赤道緯度太陰形載每月第十二頁所記朔望兩弦時(shí)僅至十分分之一月之黃道經(jīng)度與日無距度為朔距日九十度為上弦一百八十度為望二百七十度為下弦所列俱為該處之平時(shí)

月過其本天最高最卑二點(diǎn)為離地最遠(yuǎn)最近所由分其所列表數(shù)亦為該處之平時(shí)

每月第十三頁至十九頁為月中心與日心及行星恒星之斜距度乃從地心推算逐日照該處平午正時(shí)起每越三列一數(shù)凡既測見月距星之斜距度則當(dāng)依表加其視差而減其蒙氣差蓋推算之表數(shù)乃月與星之實(shí)相距度測得者為月與星之視相距度在月要推月之視差用太陰高弧視差表止能改月之視高為實(shí)高其斜距弧上實(shí)距與視距之較須再用三角形算蓋高弧視差即如高下差再推東西南北差也可以憑月心與何星之實(shí)相距度依下法推其為該處之何平時(shí)諸星自西徂東表以距月最西起列至最東為序西則在月之西東則在月之東

諸星距月度數(shù)每三點(diǎn)有較即列其比例對數(shù)用以較定度數(shù)而得該處平時(shí)法詳后

任于何日何時(shí)測得月與星斜距度按前法改為實(shí)距度乃查此表是日月與其星相距度與所測略近者取其前一數(shù)相距度與所測度相較余求比例對數(shù)見航海表內(nèi)減前一數(shù)之傍所列之比例對數(shù)余檢比例對數(shù)表所對之時(shí)分秒加于前一數(shù)之時(shí)即得該處之平時(shí)比例對數(shù)表至三小時(shí)其數(shù)為故省一三小時(shí)乘之也按此一比例不用對數(shù)算之亦易以表中前后兩距度化秒比歷時(shí)三點(diǎn)鐘若所測距度減前一數(shù)距度之較不足減反減之與所求之歷時(shí)恒加于前一數(shù)之時(shí)是也

加月星相距度數(shù)與前后比例對數(shù)之較其加減同率則照前法自無謬誤若其加減異率者欲求該處之時(shí)另應(yīng)查一準(zhǔn)數(shù)法詳下

一　如前法求　二　查表內(nèi)某度前相近一數(shù)或后相近一數(shù)得兩項(xiàng)比例對數(shù)相減而得其較　三　于第四百九十八頁準(zhǔn)數(shù)表內(nèi)傍行查時(shí)即先依前法比出其零時(shí)分乃以所得零時(shí)檢此表而以比例對數(shù)之較于表上橫行查對檢其與零時(shí)分縱橫相遇之秒數(shù)即為所求之準(zhǔn)數(shù)也　四　視比例對數(shù)漸減則加此準(zhǔn)數(shù)若漸加則減此準(zhǔn)數(shù)加減于先得之零時(shí)分可得該處之平時(shí)設(shè)于是年正月初十日測得月實(shí)距飛馬甲西名星四十四度十九分五十秒求該處平時(shí)查初十日該星表所測相距度在三點(diǎn)六點(diǎn)之間則三點(diǎn)為相近前一數(shù)算如下

　三點(diǎn)月與星相距四十三度四十五分二十九秒其比例對數(shù)三千九百十九

　今測月星相距四十四度十九分五十秒

兩距度之較為三十四分二十一秒　　　　　比例對數(shù)七千一百九十四

比列對數(shù)表所對之時(shí)為一點(diǎn)二十四分四十一秒　　　　　　減余三千二百七十五

查三點(diǎn)與六點(diǎn)之表知前后比例對數(shù)之較為四十九再查第四百九十八頁準(zhǔn)數(shù)表內(nèi)一點(diǎn)二十分與所算之時(shí)為最近而以四十九即用四十八亦可行下查其縱橫相遇之準(zhǔn)數(shù)為十五秒因其比例對數(shù)由漸而減故加于算出之時(shí)上為三點(diǎn)以后之零時(shí)故求得該處平時(shí)為正月初十日四點(diǎn)二十四分五十六鈔也如不算準(zhǔn)數(shù)即差經(jīng)度三分四十五鈔準(zhǔn)數(shù)之表僅列至一百三十八凡遇比例對數(shù)之較有大于此者可折半以檢表查得準(zhǔn)數(shù)后倍之理亦同

設(shè)于是年五月二十一日測得月距飛馬甲星除去視差蒙氣差外實(shí)距為三十度零八分零二秒求該處平時(shí)

查二十一日該星表數(shù)所測相距度在十八點(diǎn)與二十一點(diǎn)之間則十八點(diǎn)為相近前一數(shù)算如下

　十八點(diǎn)月相距為三十度三十六分三十一秒　　　　比例對數(shù)五千一百五十

　今測距度為三十度零八分零二秒

　兩距度之較為二十八分二十九秒　　　　　　　　比例對數(shù)八千零零七

　檢表之時(shí)為一點(diǎn)三十三分十四秒　　　　　　　　減余二千八百五十七

查十八點(diǎn)與二十一點(diǎn)之表其比例對數(shù)之較為二百五十二此數(shù)大于一百三十八故半之為一百二十六再查四百九十八頁準(zhǔn)數(shù)表傍行內(nèi)與所算零時(shí)分相近者為一點(diǎn)三十分次查上面比例對數(shù)之較第一百二十六之行與傍行時(shí)分縱橫相遇之準(zhǔn)數(shù)為三十九秒倍之因較數(shù)以折半檢表故得數(shù)倍之為七十八秒因比例對數(shù)由漸而加故于所算之時(shí)分內(nèi)減之即為十八點(diǎn)以后之零時(shí)分故求得該處平時(shí)為五月二十一日十九點(diǎn)鐘三十一分五十六秒也若不算準(zhǔn)數(shù)即差經(jīng)度十九分半然差多至此亦罕有也星之比例較數(shù)愈小則測之愈易緣月之向星或離星所行加速所測倍準(zhǔn)且當(dāng)比例對數(shù)漸減必其本數(shù)加大故對數(shù)漸減知月行漸遠(yuǎn)而測之較便矣如是年正月二十日午正至三點(diǎn)鐘時(shí)土星最易測查是日之比例對數(shù)僅二千二百七十?dāng)?shù)較少于他星故土星表自二十起至二十六日止均易測算也又如是年七月十六日九點(diǎn)至十二點(diǎn)內(nèi)以比例對數(shù)言之其易測者序如下

第一土星　　　　　第二畢宿大星　　　第三木星　　　　　第四婁三

第五火星　　　　　第六太陽　　　　　第七金星　　　　　第八河鼓二

以上諸星測不易準(zhǔn)如欲驗(yàn)其準(zhǔn)否須測數(shù)星而比較之視其比例對數(shù)之小者庶可無差按各條用法皆測得星月相距以推該處之平時(shí)其用比例對數(shù)之較求準(zhǔn)數(shù)一表乃巧而捷因月行斜距遲疾漸改不可以平行馭故再求準(zhǔn)數(shù)加減之所以齊其不齊也

每月第十九頁乃算家愛里氏所定恒星準(zhǔn)數(shù)乃用下頁甲乙等號對數(shù)及該處十二年星部算出西國算家以此法精于白水而氏故恒用之以其不用加減之號法省且便也列如表

下頁亦兼列白水而氏法各有其妙

設(shè)于是年二月初五日在該處平子正時(shí)求某恒星距赤道經(jīng)度及距北極度并歲差光行差章動準(zhǔn)數(shù)等數(shù)分點(diǎn)過午之平時(shí)者乃春分起度之點(diǎn)每日過該處午時(shí)之恒星時(shí)即恒星時(shí)當(dāng)午正中時(shí)分點(diǎn)距午之時(shí)數(shù)故是表謂之恒星子午正中時(shí)凡已知恒星時(shí)而欲求太陽平時(shí)可用第五百零六七頁之等時(shí)表算之每月第二十頁乃白水而氏恒星準(zhǔn)數(shù)表是表明恒星真處及其中處有方程式或用乘數(shù)不依恒星之處為眾星公共之?dāng)?shù)蓋惟憑日月黃道經(jīng)度月之交點(diǎn)也表內(nèi)對數(shù)為公共對數(shù)算家用之隨算一星可合方向照三百二十九頁之表已經(jīng)于該處平子正時(shí)算合惟丙丁二號內(nèi)除二式

是表與英會星厤合算可得彼厤所記恒星之處凡星厤內(nèi)未及之星應(yīng)先算其與他星相合對數(shù)而后用甲乙丙丁號內(nèi)之?dāng)?shù)或即照第三百三十頁及三百三十一頁列之表推算亦可因是表不論何星皆合也其數(shù)系從三百二十九頁方程式算出列譬于左申明二表之法用星厤者其勿忘恒星赤道經(jīng)度準(zhǔn)數(shù)之號耳

設(shè)于是年二月初五日平子正時(shí)在該處求其星赤道經(jīng)緯二度歲差光行差及章動之準(zhǔn)數(shù)此星即英會星厤第一千六八十七號之星

天△為經(jīng)度準(zhǔn)數(shù)　　　　　黃△為緯度準(zhǔn)數(shù)

舊歷數(shù)表　是表乃英星士黑失而氏添入謂有此表可省天算家查數(shù)之煩

分日平時(shí)者謂自春分后所過平時(shí)也以平午正時(shí)為則而記其日之分?jǐn)?shù)是年正月初一日至三月二十二日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一為一千八百六十九年之春分后自二十一日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一以后乃為本年春分年之始時(shí)因春分年為三百六十五平日又百萬分平日之二十四萬二千二百十六是年三月二十二日平午正相合春分時(shí)為三百六十五日又百萬分日之二萬七千四百六十五可知是年三月二十二日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一乃春分年新舊之交也日分者乃春分年日之共分如是年正月十九日平午正時(shí)為三百零三日又百萬分日之二萬七千四百六十五以此例推直至三月二十二日春分年終乃改共分為百萬分日之二十一萬四千七百五十一是年三月二十三日平午正時(shí)為百萬分日之七十八萬五千二百四十九此共分?jǐn)?shù)應(yīng)加于每日春分時(shí)至明年而止

凡日到平春分時(shí)設(shè)在某處午線上此處午線之平太陽時(shí)適與春分時(shí)相合周而復(fù)始至明歲春分年終日已過某處午三百六十五次又二四二二一六則春分起點(diǎn)又應(yīng)在他處午上矣是知春分之末每年必移二四二二一六即向西五點(diǎn)四十八分四十七秒四六是年與明年之間春分東過經(jīng)度百萬分日之七十八萬五千二百四十九即該處西五點(diǎn)九分十四秒四八也

一千八百二十八年行海通書始附列此表蓋天下各處儀象臺之子午遠(yuǎn)近不一概以春分時(shí)則隨處皆可得一同數(shù)之日而與日行遲速亦無異同故歷家觀象論時(shí)不必更詳何處之時(shí)如是年正月初五日彗星過最卑之點(diǎn)在英國平時(shí)為五點(diǎn)四十七分在潑立司法都平時(shí)為五點(diǎn)五十六分二十秒六而以春分時(shí)核之則俱為一千八百六十九年二百八十九日六點(diǎn)二十六分三十二秒九八蓋以兩地測之則有遠(yuǎn)近不同之?dāng)?shù)而春分年乃天下公共之時(shí)也

凡已得太陽平時(shí)而求相合之春分時(shí)如于該處相合之平時(shí)內(nèi)加此日該處平午正之春分時(shí)其總數(shù)即所求時(shí)如前彗星之譬潑立司在該處之東九分二十秒六于五點(diǎn)五十六分二十秒六內(nèi)減去九分二十秒六為五點(diǎn)四十七分與該處平時(shí)相合以加該處正月初五日春分平午正時(shí)二百八十九日又百萬分日之二萬七千四百六十五約其分?jǐn)?shù)即三十九分三十二秒九八故當(dāng)日彗星過最卑點(diǎn)時(shí)為二百八十九日六點(diǎn)二十六分三十二秒九八即一千八百六十九年春分后之日時(shí)也

一千八百二十八年行海通書附用迪白而氏平黃道經(jīng)度以定春分時(shí)所定之時(shí)每年長短一例俱系三百六十五平太陽日又二四二二六四以后推算太陽縱使加精此數(shù)亦無可更改嗣于一千八百三十四年至一千八百五十六年其行海通書則改用白水而氏平黃道經(jīng)度以定春分時(shí)其時(shí)則每年長短不一英星士黑失而氏謂一千八百二十七八年至一千八百三十三四年間應(yīng)將白迪二家之表不同之?dāng)?shù)較正自一千八百五十六年以后春分年應(yīng)永定為三百六十五平太陽日二四二二一六若一千八百三十四至一千八百五十六年之春分年長短其差甚微可以不計(jì)蓋其差之最大者亦不過萬分日之二也

一千八百二十八年起至一千八百三十三四年止較正白迪二家表數(shù)如下

論年之日數(shù)　表列統(tǒng)年日數(shù)自正月一日平午正起故正月一日為零而以初二平午正為滿一日論年之分?jǐn)?shù)　此分?jǐn)?shù)乃以萬分為一年而用三百六十五日又千分日之二百四十二分之逐日登記其數(shù)計(jì)日加二十七分半以便天算家也

第二百四十二頁列黃道與赤道相交之角每十日記其數(shù)記至明年正月六日止故于十二月則多六日為三十七日此角度數(shù)常改因有中減率地軸旋動也凡知星距此一面或黃道或赤道若干數(shù)即可依表算得彼面之?dāng)?shù)如從黃道經(jīng)緯度算可得赤道經(jīng)緯度或從赤道經(jīng)緯度算可得黃道經(jīng)緯度是也設(shè)值表上未列之日而欲求是日之交角數(shù)則以前后所記二數(shù)求每日比例較分即中比例但其較甚微故平常測量止取表內(nèi)相近之?dāng)?shù)用之

日之地平視差乃日心至地心為一直地之橫半徑上再出一斜射日心成一最大角形如從日心見之也是表亦十日一記地心距日心愈遠(yuǎn)此角愈小視差之用乃人在地面測日可改到地心推算也光行差

光常流行地又常依軌道行故所見日處非其真處真處較在見處之前是以有差所差之?dāng)?shù)表內(nèi)亦十日一記凡已知日見之黃道經(jīng)度而求其真處依表加此光行差即得如從地心推算一星之處而求日之真黃道經(jīng)度亦加此光行差設(shè)是年四月十一日平午正時(shí)所列日見黃道經(jīng)度為二十一度二十三分十一秒二加光行差二十秒四得二十一度二十三分三十一秒六即真黃道經(jīng)度

歲差　春分點(diǎn)在赤道上所退之?dāng)?shù)即恒星東移之?dāng)?shù)十日一記用以正平春分之經(jīng)度如是年四月十一日真春分之日見黃道經(jīng)度為二十一度二十三分十一秒二光行差為丁此號為減二十秒四春分差為丁十六秒八反用┴此號為加法加此二數(shù)得二十一度二十三分四十八秒四為四月十一日平春分日之真黃道經(jīng)度減相合之歲差十三秒八為二十一度二十三分三十四秒六為四月十一日之日真黃道經(jīng)度但此數(shù)系以是年正月一日平春分算起者

春分差凡日月星所列黃赤諸表俱系平春分算定但平春分點(diǎn)與真春分點(diǎn)不符故有春分差所差之?dāng)?shù)十日一記于平春分之黃道經(jīng)度內(nèi)減此差數(shù)即得真春分之黃道經(jīng)度

若所指一星黃道經(jīng)度據(jù)真春分言則將此差數(shù)反用之即得平春分之黃道經(jīng)度設(shè)是年四月十一日真春分所合太陽黃道經(jīng)度為二十一度二十三分十一秒二相合之春分差為丁十六秒八反用⊥法得二十一度二十三分二十八秒即為此日平春分之太陽黃道經(jīng)度

赤道經(jīng)度之春分差亦照此法推算即得與黃道相交然其度分須燮點(diǎn)算變時(shí)表恒星等時(shí)亦同此

月正交點(diǎn)之平黃道經(jīng)度　六十日一記以平春分算如值表內(nèi)未列之零日可用表末在表之下每日計(jì)┬三分一八每日退行數(shù)算之如欲約算月將平掩何星亦須此表也

第二百四十三頁至二百五十頁日之縱橫每日列該處平午正時(shí)日心與地心之縱橫用□天□地□人號記之○天為每日過真春分○地為赤道面向夏至之○人為赤道面交股向北之　算家以彗星難推故別列此表變真春分○天○地○人縱橫而用是年正月一日之平春分縱橫

第二百五十一頁至三百頁乃諸大行星之表以水金火木土及天王海王分列七表其赤道經(jīng)緯度皆依該處每日平午正時(shí)從地心推算列表謂星之中心如從地心見之惟天王海王二星每隔四日列表　又各行星之黃道經(jīng)緯度皆從日心推算謂星之中心如從日心望見之以平春分記之其地心之赤道經(jīng)緯度有光行差故所記為其見處凡求緯度時(shí)羅盤偏東偏西即可測望金火木土四星而得之蓋能見太陽時(shí)亦能見此諸星也　內(nèi)金木二星尤易測量行星過該處午之平時(shí)亦可藉此以推過他處午之平時(shí)然亦有一日內(nèi)不過該處午者因行星日較長于平太陽日也行星如月亦有不過午之日表以○(＊)為記查是年四月十二日水星不過該處午是日水星日之始早于太陽日二分九在十二日午正之前而其終則遲于太陽日十分分之八在十三日午正以后故太陽一周日間此星不及過午也若如中法子正起算水星無日不過子午者

亦有一日過午二次者則以行星日較短于太陽日也蓋行星日之始在太陽日之后而其終則在太陽日之前故太陽一周日間行星必過午兩次矣表亦記之但與月有異因太陰日恒長于太陽日行星有退行時(shí)短于太陽日者如是年六月初四日水星過該處午在午正后一分再于是日之二十三點(diǎn)五十四分九即初五午前也復(fù)道午也

求行星過別處午之平時(shí)　查前后兩日過午之較為行星二十四點(diǎn)中之加速率或減速率既得此率再以距英國經(jīng)度而比其較此較數(shù)謂之正數(shù)或加或減于行星過英國午時(shí)之上但布算者宜詳細(xì)審察如測處在英國之東則所有加速率乃行星過測處午早于英國若所有減速率乃行星過測處午遲于英國在英國之西者反是

設(shè)于是年二月初四日午后六點(diǎn)鐘測處平時(shí)在英國偏西三十度之處求水星赤道經(jīng)緯度并水星過測處午之平時(shí)

法偏西三十度應(yīng)加二點(diǎn)鐘為英國之二月初四日八點(diǎn)鐘以算赤道經(jīng)度查二月初四日水星赤道經(jīng)度為二十點(diǎn)五十五分三十五秒九五二月初五日為二十點(diǎn)五十分五十三秒八一兩數(shù)之較為四分四十二秒一四以二十四點(diǎn)比四分四十二秒一四若八點(diǎn)與一分三十四秒零五查表經(jīng)度漸減以減于初四日經(jīng)度余為二十點(diǎn)五十四分零一秒九零即為所求水星赤道經(jīng)度也然其每點(diǎn)之減率不同須再算較中之較法見日躔減之得二十點(diǎn)五十四分零秒五八為所求赤道經(jīng)度

再求赤道緯度　查二月初四日為南十三度三十三分二秒九二月初五日為南十三度五十一分二十五秒九兩數(shù)之較為十八分二十三秒以二十四點(diǎn)比十八分二十三秒若八點(diǎn)與六分七秒七加于初四日之緯度得緯南十三度三十九分十秒六即所求赤道緯度再推較中之較應(yīng)減七秒九法見日躔

求水星過測處午之平時(shí)　查二月初四水星過英國午為二十三點(diǎn)四十九分二二月初五為二十三點(diǎn)四十分九其較為八分三以二十四點(diǎn)比八分三若二點(diǎn)偏西三十度所化之時(shí)與十分分之七測處在英國之西且又減速率應(yīng)減于初四之過午時(shí)為二月初四日二十三點(diǎn)四十八分五即得測處水星過午之平時(shí)尋常測算不必求精用此法則無大差

第三百零一二頁乃水金木火土天王六行星之赤道地平視差及半徑越五日一記下載水土二星乘數(shù)為算極半徑之用木土二星極半徑等于赤道半徑乘千分之九百二十七

第三百零三至三百二十四頁記五星及天王海王過該處午時(shí)之赤道經(jīng)緯度及每點(diǎn)較數(shù)每間日一記用以較算過別處午之赤道經(jīng)緯度應(yīng)推其相距英國之?dāng)?shù)用每點(diǎn)較數(shù)求之如所設(shè)經(jīng)度在其東則取本日表數(shù)與前二日之表數(shù)核其較如所設(shè)經(jīng)度在其西則與后二日之表數(shù)核其較以兩項(xiàng)每點(diǎn)較數(shù)相減得其較中之較以兩日共四十八點(diǎn)歸之乃以兩處相距之經(jīng)度變時(shí)折半取其中數(shù)乘之視下一數(shù)每點(diǎn)較數(shù)比本日較數(shù)大小以別加減乃加減于本日每點(diǎn)較數(shù)為所求時(shí)每點(diǎn)較數(shù)之準(zhǔn)數(shù)復(fù)以兩處相距度變時(shí)乘之即得里差應(yīng)移之赤經(jīng)度理與日躔每點(diǎn)較數(shù)法同乃視下二日赤經(jīng)度之進(jìn)退以別加減加減于本日經(jīng)度得測處之赤經(jīng)度求緯度法仿此

設(shè)是年三月初二日在英國東六十度之地求過午之赤道經(jīng)緯度　查三百零四頁內(nèi)是日水星過英國午時(shí)其赤道經(jīng)度為二十一點(diǎn)十三分四十二秒二五每點(diǎn)經(jīng)度之較為┴此代數(shù)記號西表作一譯改作┴十一秒五七用上法推得四點(diǎn)相距六十度變時(shí)時(shí)之每點(diǎn)較數(shù)為十一秒五四與┬減西作十譯改作┬四點(diǎn)相乘得┬四十六秒一六以減于是日英國過午之赤道經(jīng)度此逆推而上之法理亦同得二十一點(diǎn)十二分五十六秒零九為水星過測處午時(shí)之赤道經(jīng)度也　再查是日水星緯度表為南表以南為┬數(shù)十六度四十七分三十七秒二每點(diǎn)較數(shù)為┴二十八秒五如上法推得準(zhǔn)數(shù)為┴二十八秒二與┬四點(diǎn)相乘得┬一分五十二秒八以加是日緯南度得緯南十六度四十九分三十秒一即水星過測處午時(shí)之赤道緯度也

再設(shè)在三月初一日算其經(jīng)度準(zhǔn)數(shù)應(yīng)為┴十一秒一八緯度準(zhǔn)數(shù)應(yīng)為┴二十四秒七也

凡測見行星之環(huán)而欲推算其至中心之?dāng)?shù)可用半徑過午之恒星時(shí)表若推算其緯數(shù)則用半徑表地平視差表用以便觀象者改到地心推算也

第三百二十五至三百八十九頁記一百四十七恒星之赤道平經(jīng)緯度以是年正月一日午正后千分日之四十八為起算之端記其歲差　其赤緯南北各有記號惟以北緯為┴凡緯北可依號加減南緯為┬在緯南者須反用其號

設(shè)于是年五月三十一日求畢宿大星之平赤道經(jīng)度查經(jīng)度歲差為┴三秒又萬分秒之四千三百五十三再查五月第二十頁末行萬分年之分?jǐn)?shù)表內(nèi)其三十一日相合分?jǐn)?shù)為四千一百零七依原表加萬分之二十六得萬分之四千一百三十三此數(shù)與三秒四三五三相乘得一秒四二此即正月一日又千分日之四十八以后至五月三十一日歲差之比例分?jǐn)?shù)也既有┴號應(yīng)加于正月一日又千分日之四十八時(shí)候所記赤道平經(jīng)度四點(diǎn)二十八分二十七秒七八二上共得四點(diǎn)二十八分二十九秒二零二是為五月三十一日所求畢宿大星之赤道平經(jīng)度又查赤道緯度歲差為┴七秒六二二如前法與萬分年之四千一百三十二相乘得三秒一五既為北緯度則依號加于正月一日又千分日之四十八時(shí)候所記之赤道平緯度北十六度十四分四十四秒一四內(nèi)共得北十六度十四分四十七秒二九是為五月三十一日所求畢宿大星之赤道平緯度

又如是年六月初三日求帝星之赤道平經(jīng)緯度查經(jīng)度歲差為┬萬分秒之二千四百八十九再查六月第二十頁是日年之分?jǐn)?shù)為萬分之四千一百八十九依原表加萬分之二十六得萬分之四千二百十五此數(shù)與歲差相乘得千分秒之一百零五依號減于正月一日又千分日之四十八時(shí)候平赤道經(jīng)度十四點(diǎn)五十一分六秒八五七減余為十四點(diǎn)五十一分六秒七五二是為六月初三日所求帝星之平赤道經(jīng)度

又查赤道緯度歲差為┬十四秒七五七與年之分?jǐn)?shù)四千二百十五相乘得六秒二二依號減于正月一日又千分日之四十八時(shí)候平赤道緯度北七十四度四十一分十一秒二四減余為北七十四度四十一分五秒二是為六月初三日所求帝星之平赤道緯度

又如是年五月三十一日求心宿中心平赤道緯度查其歲差為減八秒三八七與是日年之分?jǐn)?shù)為萬分之四千一百三十三見前相乘得三秒四七因?yàn)榫暷隙裙蕷q差之┬號應(yīng)反用遂加于所記正月一日又千分日之四十八時(shí)候該星緯南二十六度八分二十七秒六二共得緯南二十六度八分三十一秒九是為五月三十一日所求心宿中星之平赤道緯度每月第二十頁所載白水而氏之推方表已設(shè)譬于三百二十九頁此三百三十頁及三百三十一頁所用英會星部恒數(shù)定星表亦于五百二十九頁內(nèi)詳其法勾陳第一星及第三星并逐日列表其余一百四十五恒星皆越十日列一數(shù)所列之?dāng)?shù)皆以是日恒星過該處午時(shí)之經(jīng)緯度表之上面所列赤道經(jīng)度之點(diǎn)分?jǐn)?shù)與緯度之度分?jǐn)?shù)因一歲之中恒星赤道經(jīng)度出入之?dāng)?shù)只爭在秒故其大數(shù)總計(jì)于上端止以秒數(shù)小余記其下故其秒數(shù)即有過于六十外者亦不便收分仍以秒計(jì)如三百四十六頁是年十二月十七日屏星第二所見之赤道經(jīng)度為四點(diǎn)五十九分六十秒四二其實(shí)則為五點(diǎn)秒四二也　又如三百四十八頁是年十二月十七日廁星第一所見赤道緯度為南十七度五十四分六十二秒七其實(shí)則為南十七度五十五分二秒七也其不可移換大數(shù)者限于幅耳

每十日并列其經(jīng)緯較數(shù)便求零日用中比例也

恒星亦有一日過該處午兩次者倘遇其日亦即記其經(jīng)緯度兩次如三百五十四頁七月三十日記柳宿第五星過午兩次凡遇恒星過午兩次之日若非表列之日即于經(jīng)度上下十日之中間別列小字指出十日內(nèi)之何日此星過該處午兩次則太陽日十日內(nèi)其星既過午十一次則其所記之較數(shù)亦應(yīng)作十一分比例如三百四十八頁參宿第二星表內(nèi)六月初十日與二十日之間傍注小字為十三以明六月十三日此星過午兩次也查表傍較數(shù)為秒一二作十一日分之每日應(yīng)為千分秒之十一其十三日之第一次過午為十日內(nèi)第三次應(yīng)用三因千分秒之十一而得其較十三日之第二次過午為十日內(nèi)第四次應(yīng)用四因千秒之十一而得其較其十四日之過午為十日內(nèi)第五次也雖差數(shù)止微其理固如是也

如欲細(xì)算五極星所見位數(shù)須尋一準(zhǔn)數(shù)此準(zhǔn)數(shù)當(dāng)以代數(shù)∥求之

是表記星所見之位不算準(zhǔn)數(shù)者緣星之變率每日約二十六度所變甚大故不記也惟三百八十八九兩頁于月之黃道經(jīng)度則每度記之表末申明其法正每日光行差之方程式記在序內(nèi)

第三百九十頁至四百二十八頁乃近月之星謂其赤道經(jīng)緯度距月不遠(yuǎn)凡欲算地上東西二午之較即較所測見之星與月相距赤道經(jīng)度而得之蓋月如不動則星與月赤道經(jīng)度之較無論何處午皆可一例相同惟月常行動則過二處之午已自改其赤道經(jīng)度所改度數(shù)加于二處之午較數(shù)內(nèi)即知西邊午應(yīng)移若干度而月始至故知月赤道經(jīng)度之較亦可算東西二午之較月明環(huán)之赤經(jīng)度與月中心之赤經(jīng)度在過該處之上下午時(shí)表列其數(shù)均有上字下字作記號甲乙二字記月之左右二環(huán)

星之等數(shù)表即記星之大小表之左行記其日數(shù)及十分日之幾

每隔一點(diǎn)即十五度月改赤道經(jīng)度表即月過該處午時(shí)之每點(diǎn)較數(shù)也　如月自英東七度半至英西七度半兩處之較為一點(diǎn)此一點(diǎn)所移之?dāng)?shù)即從月之明環(huán)赤經(jīng)度推測故其半徑亦常改也

凡東西二午之較不大謂在一二度之間可用近月之星算之若較數(shù)甚大謂相距十度以上而欲詳算其經(jīng)度應(yīng)以東西二午之中間午為準(zhǔn)求得月所移赤道經(jīng)度之?dāng)?shù)而推得之　如欲約算月之明環(huán)過他處子午之赤經(jīng)度用此測之　法以英國午與測處午經(jīng)度之較與月所移經(jīng)度相乘得數(shù)視測處午距英國之東西以別加減在東者減在西者加乃加減于表內(nèi)赤經(jīng)度即為測處子午上月明環(huán)經(jīng)度

設(shè)于是年六月十八日月過英國上午時(shí)其乙明環(huán)赤經(jīng)度為二十二點(diǎn)四十七分四十七秒二四其每點(diǎn)較數(shù)為一百二十四秒五而求乙環(huán)過潑立司法都上午之赤經(jīng)度　查潑立司偏東九分二十秒六化為千分點(diǎn)之一百五十六與每點(diǎn)較數(shù)相乘得十九秒四二以減偏東故減表內(nèi)赤經(jīng)度余二十二點(diǎn)四十七分二十七秒八二是為乙明環(huán)過潑立司午之赤經(jīng)度

凡他處距英國不甚遠(yuǎn)者其月之赤緯度亦可如法約算惟地偏于東及緯度在南者皆為負(fù)數(shù)即以前譬明之　是日月過英國上午為南十二度三分四十一秒八每點(diǎn)較數(shù)為┴六百二十三秒一此數(shù)與┬千分點(diǎn)之一百五十六相乘得┬一分三十七秒三此負(fù)數(shù)與緯南度相加月之緯南漸減因偏東故反減得緯南十二度五分十九秒一是為月過潑立司午時(shí)之赤緯度

星名表側(cè)有＊號者指此星不論在赤道南北俱可與月同時(shí)測算以定月之視差也

月半徑過午所歷之恒星時(shí)　此數(shù)因月距赤緯之南北而改變時(shí)時(shí)不等凡測見月之外環(huán)相切于午之時(shí)而加此數(shù)即改為中心過午之時(shí)

第四百二十九頁至四百四十三頁記日月交食在何地何時(shí)可以望見記其算出之諸根數(shù)

第四百四十四頁至四百五十四頁記星之交食其數(shù)有五　其一記一等至六等之恒星于該處平子正時(shí)為月所掩在該處能測見者　其二記行星或恒星自一等至五等不論何處見其為月所掩者　其三記星與月應(yīng)于該處何平時(shí)同一赤經(jīng)度　其四記月與星合一經(jīng)度時(shí)其緯度有何較數(shù)　其五記在何緯度外月不掩星

凡算月掩何星可用諸表表內(nèi)所記星月之?dāng)?shù)皆從地心推算故地上不論何處皆可通用惟須算其距英國若干經(jīng)度變時(shí)以加減之在東者加在西者減即得月星相合時(shí)之測處平時(shí)

設(shè)于是年八月初四日月掩氏宿第三星在英國平時(shí)為十六點(diǎn)二十九分五十七秒而在潑立司平時(shí)為十六點(diǎn)三十九分十七秒六因潑立司在英國東九分二十秒六故也

緯限者謂自地上某度起至某度止得見月掩何星外此不見其掩是為緯度之限也

設(shè)有人自星望地而月界其中則地面幾分為月所掩而月自西至東移過時(shí)地面成一帶形闊與月徑相等若反言之則人在地面于帶形中望月則星為月掩在帶之上下兩限但見月與星相切而不相掩是為緯度限在其上者為上限在其下者為下限

緯限表以明星在何度應(yīng)為月掩外此不必布算也

如英國在赤道北五十一度二十八分三十八秒即北極高出地平度設(shè)于是年八月內(nèi)查四百五十一頁表自十六日起查末行緯限表至十七日掩α星只指一希臘字星名α希臘字在赤道北二十六度之處起至九十度之間皆可見惟被掩之時(shí)在三點(diǎn)十一分四十四秒是在午后日光所逼仍不能見惟是日之十二點(diǎn)四分二十一秒月又掩○星在赤道北十四度至九十度之間八月十九日十四點(diǎn)一分十七秒月掩畢宿第五在赤道南四度之處起至赤道北六十八度之間又是日十四點(diǎn)三十五分三十八秒月又掩是星在赤道北六度之處起至八十五度查四百五十六頁表知已上三星之所掩其二在英國能見其一不能見也

第四百五十五六頁之表乃恒星與行星在該處地平上為月所掩記其不見至再見之恒星時(shí)及平時(shí)記星于月環(huán)內(nèi)始隱于某度復(fù)見于某度若以翻影鏡測之凡穿過月之北極與中心成一大圈與月環(huán)成一交點(diǎn)方近月環(huán)之星距交點(diǎn)若干度當(dāng)從角之北點(diǎn)數(shù)之穿過月之天頂與其中心成一大圈亦與月環(huán)成一交點(diǎn)方過月環(huán)之星距交點(diǎn)若干度則從角之頂點(diǎn)數(shù)之用此角可測量小星且當(dāng)星之隱而復(fù)見時(shí)亦須先知此角不然難定鏡之方向

表內(nèi)月掩幾星時(shí)有在該處不得見者然離該處不遠(yuǎn)即能見也

第四百五十七頁至四百七十六頁是表所記木星之月或食或掩或月過或影過等數(shù)皆準(zhǔn)該處之平時(shí)圖形以明其隱顯之處如自翻影鏡視之圖內(nèi)之形雖舉望日之?dāng)?shù)然木星離地甚遠(yuǎn)目力不及故其體與影一月內(nèi)更變甚微除與日對峙時(shí)形狀有異外余則通月皆然試以兩月圖形較之便可曉然當(dāng)木星距該處地平上八度日在地平下八度時(shí)其月之食有此米為號明該處可以測望至木星在地平上日在地平下時(shí)有此十為記則亦能望見也

□甲者指月木星月被星影所掩方隱之際也○乙者指月離星影再顯之時(shí)也此乃月距木星略遠(yuǎn)則然若日星對峙時(shí)則月之食也近星之體日星對峙以前月之隱見在木星之西日星對峙以后月之隱見在木星之東用翻影鏡視之則東西相反日星對峙以前僅見第一月之隱對峙以后方見其顯至第二月被星影所掩時(shí)其隱見鮮能并見第三第四月或可并見云

凡在別處求木星某月隱見之時(shí)即以測處經(jīng)度在英國之東西推算在東加經(jīng)度之較變時(shí)在西減經(jīng)度之較即為所求時(shí)然亦須查木星之地平上下與日在地平上下如日在地平上光耀難見算之者應(yīng)以半弧表自東至西日出入半弧也助以半天球始可定日星距地平之方向

測得木星月之食可定地上經(jīng)度第一月最易測惟須詳悉測量之的確時(shí)刻此時(shí)與英國時(shí)之較即為經(jīng)度之較化度測處之時(shí)早與英國為在其西遲于英國為在其東

設(shè)于是年七月二十四日在潑立司法都測得木星第一月之隱平時(shí)為十四點(diǎn)三分二十四秒九乃查第四百六十六頁表內(nèi)英國平時(shí)為十三點(diǎn)五十四分四秒三其較為九分二十秒六即兩處相距之經(jīng)度因所測之時(shí)遲于英國故知其在東也

凡測星月之掩木星與其月除表有差數(shù)外尚有別樣難處不能詳定地之經(jīng)度且遠(yuǎn)鏡測量各不同若欲詳算經(jīng)度須用相類之鏡算其地面蒙氣視差若不必詳算則以測見木星為某月所掩約計(jì)地上經(jīng)度如某月之隱見俱能測得則更妙矣

表內(nèi)約計(jì)月食月過之過所以便天算家預(yù)備測量推驗(yàn)此表之差否因測此二事須用最妙之鏡而海上尤不易測也　入出二字記月初遇木星環(huán)面為入初離木星環(huán)面為出

第四百七十七頁至四百八十七頁　木星兩月毘連表內(nèi)用數(shù)記之以代尋常之○號而不記其黃道緯度在上者記于上在下者記于下

表右為東表左為西如見木星之月自西向東移動時(shí)則知木星在月與地之間而月行于后半軌道故有食有掩若見月自東向西移動時(shí)則知月在木星與地之間而月行于前半軌道故有月過與影過

設(shè)于是年正月二十七日在英國八點(diǎn)鐘時(shí)平時(shí)用翻影鏡測望木星月如圖其第一第二兩月實(shí)在木星之左從翻影鏡視之則在右第三第四兩月實(shí)在右而反左　表首西東二字乃月實(shí)在木星之東西方向也木星常在該處天頂之南圖左之月應(yīng)見于木星之西圖右之月應(yīng)見于木星之東蓋月之倒影故遂反其方向也乃自木星中心起一直遠(yuǎn)近相等而左右互易以此驗(yàn)圖可得月之真向

表內(nèi)時(shí)分皆指該處平時(shí)觀表與圖可以辨木星之諸月而亦以別他星之近木星者

第四百八十八頁至四百九十頁　行星與月或與他行星合一赤經(jīng)度及行星與恒星或合經(jīng)度或合緯度皆每月一格記其日時(shí)行星當(dāng)此時(shí)候最易測望又以便天算家考驗(yàn)表之然否

第四百九十一頁　土星光環(huán)之位表中越二十日一記以明其能見與否○為光環(huán)之短軸距何赤緯度∣∣∥∥甲乙甲乙為光環(huán)所見大小之?dāng)?shù)丑∣丑之比以定能見與否蓋太陽與地同在一邊高過環(huán)面時(shí)其環(huán)自能測見若不能見之時(shí)則其故有三　一則環(huán)面平過日心則∣丑與○等

二則環(huán)面平過地心即丑與○等皆不能見　三則日在環(huán)之一面而地又在一面亦不能見因環(huán)上無經(jīng)光之面向地耳

第四百九十二三頁記月之明環(huán)約于何平時(shí)側(cè)動最大記火星金星之環(huán)在何月中光顯幾分至月之緯度側(cè)動之?dāng)?shù)則不論何時(shí)皆可照四百九十三頁計(jì)之

第四百九十四頁至四百九十七頁　系該處潮汐與中國無涉故不譯

第四百九十八頁之準(zhǔn)數(shù)表　凡測見月距星之度數(shù)業(yè)將蒙氣視差等推準(zhǔn)可求秒數(shù)相較即比例對數(shù)之較于表內(nèi)查一準(zhǔn)數(shù)以加減之即可得該處相合之時(shí)其算之法見后五百二十五六頁內(nèi)

第四百九十九頁及五百頁　表內(nèi)之?dāng)?shù)算月之側(cè)動

第五百一頁至五百三頁　為測勾陳大星若不在午線時(shí)可用此表能算地上緯度法如左

先將儀差及蒙氣推準(zhǔn)減于星之高點(diǎn)再照五百四頁改測望之太陽平時(shí)為恒星時(shí)于此表內(nèi)查得相合之第一準(zhǔn)數(shù)為⊥┬按號加減于測見之高度得所求緯度之約數(shù)復(fù)以所算恒星時(shí)查第二第三表得相合之第二準(zhǔn)數(shù)加此二準(zhǔn)數(shù)于上約數(shù)內(nèi)即得真緯度

航海通書改率說　　　

賈步緯

是集從英國行海通書譯出考西人之航海來游實(shí)以此書為鄉(xiāng)導(dǎo)蓋海舶既駛遠(yuǎn)洋茫無畔岸可紀(jì)羅盤祗可辨方向不能測其現(xiàn)行何地惟藉天度可認(rèn)地球之經(jīng)緯數(shù)理精蘊(yùn)天上一度相當(dāng)?shù)孛娑倮镉?jì)三十六萬尺以天度之一秒當(dāng)?shù)孛嬉话俪叽苏撃媳本暥葎t然若東西偏度不正當(dāng)赤道下每度皆不滿大圈之里數(shù)須依弧三角法算之晝則量日夜測月星輔以算術(shù)道里之距了如指掌是以無遠(yuǎn)弗屆故吾中國航海亦以繙譯此書為首務(wù)特延西士層解條分闡明理數(shù)撮要刪繁譯成是集以引誘來學(xué)凡吾同志咸宜家置一集朝夕講求引伸類長制備儀象隨時(shí)測量并可驗(yàn)其算法之疏密然否實(shí)為推步家特開門徑學(xué)者必由是而學(xué)焉則庶乎其不差矣

改率

考行海通書原依英都觀象臺之中線立算諸星行度表悉照該處平午正時(shí)解見時(shí)差從地心起數(shù)其天周以春分起步與中國不同今譯改時(shí)遵　京都順天府為中線諸星皆從子正起天周以冬至起步中西同用平時(shí)共宗地心立算三百六十度為一周天中法又分為十二宮以冬至丑宮初度起逆行十二支每宮三十度每度六十分每分六十秒又一日二十四時(shí)此書從西例以一點(diǎn)鐘為一時(shí)便布算也故凡言一時(shí)皆一小時(shí)也每時(shí)六十分中法又以十五分為一刻一時(shí)為四刻因多增位數(shù)不便布算姑從西例不命刻每分六十秒秒下小余則隨秒不以六十遞析

據(jù)西士實(shí)測得東西經(jīng)線相距一百十六度二十七分變時(shí)見變時(shí)表為七點(diǎn)四十五分四十八秒蓋英國午正已為順天七點(diǎn)四十五分四十八秒也故用原書之本日午正星度再加四點(diǎn)十四分十二秒之星行度即湊滿半日十二時(shí)之?dāng)?shù)倘星之經(jīng)緯有退行者則減即得明日順天之子正度也

中比例算法

星者算法也用星必先明算一二三四之四率比例為西算之大宗其法以已知推未知故以原有之?dāng)?shù)為一率二率今有之?dāng)?shù)為三率恒以二率與三率相乘數(shù)為實(shí)以一率為法歸除之得所求之四率數(shù)也

時(shí)差

推算所得曰平時(shí)通書表數(shù)俱按平時(shí)算定如鐘表之走平分時(shí)也中國又名實(shí)時(shí)日晷所測曰真時(shí)中國又名用時(shí)蓋時(shí)刻并宗赤道原系平分黃道與赤道斜交在赤道則度有闊狹日行黃道又有冬盈夏縮之異緣此兩端故生時(shí)差即平時(shí)與真時(shí)之較也兩數(shù)相減曰較其數(shù)列如表加減于平時(shí)即得真時(shí)也

鐘表宜開平時(shí)說

西書云一晝夜地球自轉(zhuǎn)一周則宗北極一歲中地球繞日一周則宗黃極兩極相距二十三度二十七分西率尚有二十余秒零數(shù)且每年有行分如歲差然蓋日晷測時(shí)皆依繞日之軌而出故與赤道自轉(zhuǎn)之率有異細(xì)較之且逐日不同用度時(shí)表候之表之極準(zhǔn)者行船用以較偏度故又名行船表二十四時(shí)中即一晝夜甚有差至半分者故設(shè)時(shí)差加減也

然則鐘表但能走平分與赤道同率如太陽之盈縮黃赤道之升度差不與焉故必開準(zhǔn)平時(shí)按號加減時(shí)差以求合于日晷測量之要事也

如先測得日晷午正求鐘表平時(shí)則將時(shí)差號反用加者減之減者加之以加減十二點(diǎn)即得平時(shí)

逐日測北極高度不拘何地

法候日晷將交午正之前后凡日晷至午正可不問地之經(jīng)緯何度節(jié)氣早晚器之密咸可一概施之惟羅盤指南鍼與日影有偏向且隨地不同中國恒偏于日影之東故測太陽高度宜過晷數(shù)分候之用紀(jì)限儀屢測太陽高度取其最高之度為本日午正太陽高度內(nèi)減蒙氣差加地半徑差則改視高為實(shí)高隨查通書內(nèi)本日太陽赤道緯度表數(shù)俱子正起求午正用中比例南加北減于太陽實(shí)高度得赤道距地平度亦即北極距天頂度再與一象限九十度相減得測處北極出地度　若測恒星高度赤緯加減與太陽同法惟恒星無地半徑差但減蒙氣差即實(shí)高度

又法任于何日算勾陳大星過上子午線之時(shí)分測其視高度內(nèi)減蒙氣差改為實(shí)高度又減距極度約一度二十二分半余即北極高度或算其過下子午線之時(shí)分測其視高度內(nèi)減蒙氣差加距極度亦即北極高度

測候用時(shí)表說

凡度時(shí)表必按京師之平時(shí)開準(zhǔn)蓋諸曜黃赤經(jīng)緯表數(shù)俱依京師平時(shí)起算故任至何地視表內(nèi)之時(shí)分與通書上星行經(jīng)緯度隨時(shí)合時(shí)表實(shí)為省算之捷徑設(shè)無時(shí)表船至某處尚未知其地經(jīng)緯何度用何比例求星之所在必任設(shè)多處逆探推求豈不費(fèi)算故西人航海測天儀器而外度時(shí)表與通書二者相須為用缺一不可也

算星過午線時(shí)即中星時(shí)置本日星之赤道經(jīng)度內(nèi)減本日太陽平行赤道經(jīng)度即恒星時(shí)若不足減加二十四時(shí)減之此為設(shè)星在午正太陽平行距午正后之時(shí)分視其數(shù)不滿十二時(shí)則加十二時(shí)過十二時(shí)則減十二時(shí)比例要從子正起算故加減十二時(shí)為本日星過午之泛時(shí)如恰在子正即為平時(shí)有距時(shí)分因日星俱有行分故曰泛時(shí)如法再求明日星過午線之泛時(shí)以一日化一千四百四十分為一率兩日之泛時(shí)較化秒為二率本日泛時(shí)化分為三率求四率即泛時(shí)內(nèi)應(yīng)行之泛時(shí)較秒數(shù)視兩日之泛時(shí)順逆以別加減如明日之?dāng)?shù)多則加于本日數(shù)明日之?dāng)?shù)少則減于本日數(shù)加減于本日泛時(shí)即京師星過午之平時(shí)如算太陰過午線每時(shí)俱有細(xì)行只須用一時(shí)之?dāng)?shù)為比例不用兩子正比例

有某地緯度用日晷測偏度

法以日晷按其地極高度測得時(shí)分若非午正晷須極準(zhǔn)方應(yīng)視京師平時(shí)表內(nèi)系何時(shí)分加減本日本時(shí)之時(shí)差改為京師日晷時(shí)與所測日晷時(shí)相減以時(shí)較化度法見變時(shí)表即得其地距京師之偏度也所測時(shí)早于京師為偏東遲于京師為偏西

測太陰過午算偏度

任至何地測得太陰過午視京師平時(shí)表內(nèi)系何時(shí)分隨檢通書本日太陰過午系何時(shí)分與所測時(shí)分相減余為兩地所測處與京師過午時(shí)分較乃檢通書之明日過午時(shí)分內(nèi)減本日過午時(shí)分余化分加一日化一千四百四十分為一率一日化一千四百四十分為二率兩地過午時(shí)分較為三率求四率為偏度時(shí)分檢變時(shí)表得偏東西度早于京師為偏東遲于京師為偏西

蓋測太陰視差多端惟其過正午時(shí)但有南北視差可于經(jīng)度無關(guān)是以便于測算諸曜每日過午之時(shí)分較數(shù)惟太陰為最大用以比例求偏度易準(zhǔn)若恒星每日過午時(shí)分較祗三分五十六秒五六太陽平行度即恒星時(shí)也故測得兩地過午時(shí)分較每點(diǎn)鐘減十秒即偏度時(shí)分西人航海常測月過午差為算偏度之捷徑也

赤道經(jīng)緯度說

按西書七政經(jīng)緯度并宗赤道立算求其故皆因諸曜隨天西轉(zhuǎn)西謂地球自西徂東亦同惟赤極不動故其經(jīng)緯隨地隨時(shí)測算較易若黃極每日既繞赤極一周則其經(jīng)緯晷刻異視不惟測候甚難即憑以知地之經(jīng)緯布算亦不易故西書云黃道經(jīng)緯度無益航海之人考其數(shù)亦從赤道經(jīng)緯度用斜弧算出又其五星之黃道經(jīng)緯度皆從日心立算恒以星出入黃道之南北交終為一周天如水星只八十八日一周金星二百二十余日一周之類并無退留之行用于仰觀不合故是集止取其赤道經(jīng)緯度列表若求黃道經(jīng)緯度　欽天監(jiān)既有七政時(shí)憲書頒行故省推算

表算日食法　　　

賈步緯

求入限

所求年干支察首朔食應(yīng)表表見后得年前十二月朔食應(yīng)以后每朔但于月數(shù)上遞加一月小余仍之滿食周十一月七三七六五者去之此即月距交平行十三周天月數(shù)余為所求朔食應(yīng)視某月朔入食限

二月三六五二三六以外

三月一三八五二八以內(nèi)

八月六七五六四七以外

九月三七二四一三九以內(nèi)

附求望食限

所求年干支察首望食應(yīng)表得年前十二月望食應(yīng)以后每望遞加一月小余仍之滿食中五月八六八八二五者去之即得逐月望食應(yīng)視某月望入食限

二月五五六一一七八以外

三月三一二七七一八以內(nèi)

右平朔望可食之限摘徐鈞卿先生法不過舉其大凡欲定食之有無須用日躔月離求實(shí)朔望太陰距交度始為的食限也

求實(shí)朔泛時(shí)

以平朔距冬至之日數(shù)用推日躔月離法法見考成后編各求其子正黃道實(shí)行將本日子正太陽實(shí)行與太陰實(shí)行相較如太陰實(shí)行未及太陽則平朔日即為實(shí)朔本日如太陰實(shí)行已過太陽則平朔日即為實(shí)朔次日平朔前一日為實(shí)朔本日又用推日躔月離法各求其子正黃道實(shí)行將本日子正太陽實(shí)行內(nèi)減太陰實(shí)行余為月距日度分化秒求對數(shù)法見數(shù)理精蘊(yùn)加日法一千四百四十分對數(shù)內(nèi)減一日之月距日實(shí)行對數(shù)次日日實(shí)行內(nèi)減本日日實(shí)行余為一日之日實(shí)行又次日月實(shí)行內(nèi)減本日月實(shí)行余為一日之月實(shí)行內(nèi)減一日之日實(shí)行余為一日之月距日求對數(shù)即是得距本日子正分?jǐn)?shù)之對數(shù)檢表得真數(shù)以時(shí)收之得實(shí)朔泛時(shí)如次日月實(shí)行仍未及日則次日為實(shí)朔日乃以次日日實(shí)行內(nèi)減月實(shí)行余為月距日化秒求對數(shù)加一千四百四十分對數(shù)內(nèi)減前所得一日之月距日實(shí)行對數(shù)得距次日子正后分?jǐn)?shù)之對數(shù)

求泛時(shí)月距正交

次日月距正交內(nèi)減本日月距正交不及減加十二宮減之余為一日之月距正交化秒求對數(shù)加泛時(shí)距子正分?jǐn)?shù)之對數(shù)內(nèi)減一千四百四十分對數(shù)得距本日子正之月距正交化秒對數(shù)檢表得真數(shù)以度分收之加本日子正月距正交得泛時(shí)月距正交

求的食限

視月距正交自初宮初度至初宮十八度二十六分自五宮十一度三十四分至六宮六度二十二分自十一宮二十三度三十八分至十一宮三十度皆入食限為有食不入此限內(nèi)者不食即不必算

視泛時(shí)若在夜距日出前日入后五刻以內(nèi)者可見食五刻以外者全在夜不可見即不必算如泛時(shí)在日出入前后者先須加減時(shí)差審晝夜

求實(shí)朔實(shí)時(shí)

實(shí)朔泛時(shí)上下設(shè)前后兩時(shí)如泛時(shí)為丑正二刻則設(shè)丑正初刻為前時(shí)寅初初刻為后時(shí)用推日躔月離法各求其黃道實(shí)行以前后兩時(shí)日實(shí)行相減為一小時(shí)日實(shí)行以前后兩時(shí)月離黃道實(shí)行相減為一小時(shí)月實(shí)行兩實(shí)行相減為一小時(shí)月距日乃以前時(shí)日實(shí)行內(nèi)減月實(shí)行余為前時(shí)月距日化秒求對數(shù)加一小時(shí)化三千六百秒對數(shù)內(nèi)減一小時(shí)月距日化秒對數(shù)得距前時(shí)秒數(shù)之對數(shù)檢表得真數(shù)以分收之加于前時(shí)得實(shí)朔實(shí)時(shí)再以實(shí)朔實(shí)時(shí)用推日躔月離法各求其黃道實(shí)行則日月必同宮同度分秒不異方準(zhǔn)乃視本時(shí)月距正交入前限者為有食

求均數(shù)時(shí)差

實(shí)朔日引宮度察日躔均數(shù)時(shí)差表即得記加減號

求升度時(shí)差

實(shí)朔日躔黃道宮度察升度時(shí)差表表見后即得記加減號

求實(shí)朔用時(shí)

實(shí)朔實(shí)時(shí)加減二時(shí)差得實(shí)朔用時(shí)

求日實(shí)行

前后兩時(shí)日躔黃道實(shí)行相減為一小時(shí)日實(shí)行

求月實(shí)行

前后兩時(shí)月離白道實(shí)行相減為一小時(shí)月實(shí)行

求實(shí)行總較

日實(shí)行與月實(shí)行相加為實(shí)行總相減為實(shí)行較

求半外角

置半周一百八十度內(nèi)減黃白大距余數(shù)半之即半外角

求半較角

實(shí)行較對數(shù)凡弧度求對數(shù)化皆秒入算求三差法仿此如求八線對數(shù)必要弧度入算加半外角正切對數(shù)內(nèi)減實(shí)行總對數(shù)余為半較角正切對數(shù)

求斜距交角差

半外角減半較角余為斜距交角差

求斜距黃道交角黃白二經(jīng)交角

實(shí)朔黃白大距加斜距交角差即斜距黃道交角亦即黃白二經(jīng)交角實(shí)朔月距正交初宮十一宮白經(jīng)在黃經(jīng)西五宮六宮白經(jīng)在黃經(jīng)東記東西號

求兩經(jīng)斜距

日實(shí)行對數(shù)加實(shí)朔黃白大距正弦對數(shù)內(nèi)減斜距交角差正弦對數(shù)余為兩經(jīng)斜距對數(shù)

求斜距對數(shù)較

一小時(shí)三千六百秒對數(shù)內(nèi)減兩經(jīng)斜距對數(shù)余為斜距對數(shù)較各限距弧求距時(shí)加對數(shù)較距時(shí)求距弧減對數(shù)較故用對數(shù)較

求食甚實(shí)緯

斜距黃道交角余弦對數(shù)加實(shí)朔太陰黃緯化秒下同對數(shù)內(nèi)減半徑對數(shù)即前位所進(jìn)之一余為食甚實(shí)緯對數(shù)檢表得真數(shù)為秒秒下必帶小余一位求三差法仿此記南北號與實(shí)朔月緯南北同

求食甚距弦　食甚距時(shí)

斜距黃道交角正弦對數(shù)加實(shí)朔太陰黃緯對數(shù)內(nèi)減半徑對數(shù)余為食甚距弧對數(shù)再加斜距對數(shù)較即食甚距時(shí)對數(shù)檢表得真數(shù)為秒以分收之月距正交初宮六宮為減五宮十一宮為加記加減號

求食甚用時(shí)

實(shí)朔用時(shí)加減食甚距時(shí)得食甚用時(shí)即京師食甚用時(shí)

求太陽實(shí)引

實(shí)朔太陽引數(shù)加減太陽均數(shù)得太陽實(shí)引

求太陰實(shí)引

實(shí)朔太陰引數(shù)加減太陰初均數(shù)得太陰實(shí)引

求地平高下差

太陰實(shí)引宮度及本天心距地見月離察交食太陰地半徑差表表見考成后編得太陰在地平時(shí)最大地半徑差內(nèi)減太陽地平地半徑差十秒余為地平高下差

求太陽實(shí)半徑

太陽實(shí)引宮度察交食太陽視半徑表得視半徑內(nèi)減太陽光分十五秒即實(shí)半徑

求太陰視半徑

太陽實(shí)引宮度及本天心距地察交食太陰視半徑表得太陰視半徑

求并徑

太陰實(shí)半徑加太陰視半徑得并徑

求距時(shí)日實(shí)行

日實(shí)行對數(shù)加食甚距時(shí)對數(shù)內(nèi)減三千六百秒對數(shù)余為距時(shí)日實(shí)行對數(shù)加減號與食甚距時(shí)同

求食甚太陽黃道經(jīng)度

實(shí)朔太陽黃道實(shí)行加減距時(shí)日實(shí)行得食甚太陽黃道經(jīng)度

求食甚太陽赤道經(jīng)度

食甚太陽黃道經(jīng)度察黃赤升度差表得黃赤升度差加減黃道經(jīng)度即食太陽赤道經(jīng)度

求食甚太陽赤道緯度

食甚太陽黃道經(jīng)度察黃赤距度表得食甚太陽赤道緯度記南北號

求食甚太陽黃赤道宿度

用上元甲子列宿黃赤經(jīng)緯度表列宿黃道經(jīng)度加歲差每年五十二秒算至所求年察食甚太陽黃道經(jīng)度足減本年黃道宿鈐內(nèi)某宿度分則減之余為食甚太陽黃道宿度　又將赤道宿度按赤經(jīng)加減歲差算至所求年察食甚太陽赤道經(jīng)度足減本年赤道宿鈐內(nèi)某宿度分則減之余為食甚太陽赤道宿度

求太陽距北極

置九十度南加北減太陽赤道緯度得太陽距北極

求黃赤二經(jīng)交角即黃道赤經(jīng)交角之余

食甚太陽黃道經(jīng)度察黃赤二經(jīng)交角表得黃赤二經(jīng)交角冬夏至后黃經(jīng)在赤經(jīng)西東記東西號

求赤白二經(jīng)交角

黃赤二經(jīng)交角與黃白二經(jīng)交角即斜距黃道交角東西同號相加?xùn)|西仍之異號相減東西從數(shù)大者得赤白二經(jīng)交角記東西號此之謂東西乃白經(jīng)在赤經(jīng)之東西也若兩角相等而減盡無余則白經(jīng)與赤經(jīng)合無交角如無黃赤二經(jīng)交角則黃白二經(jīng)交角即為赤白二經(jīng)交角東西并同

求北極距天頂

置九十度減本地北極出地度得本地北極距天頂

求半和弧　半較弧

日距北極與北極距天頂相加半之為半和弧相減半之為半較弧

求正弦對數(shù)較

半和弧正弦對數(shù)減半較弧正弦對數(shù)得正弦數(shù)較其號為減因與半角余切相減也

求余弦對數(shù)較

半較弧余弦對數(shù)減半和弧余弦對數(shù)得余弦對數(shù)較其號為加因與半角余切相加也此兩數(shù)九限皆可同用較之舊法用垂弧者簡捷數(shù)倍

求本地食甚用時(shí)

置京師食甚用時(shí)加減本地偏東西度時(shí)分偏東偏西度見考成下編得本地食甚用時(shí)

求用時(shí)太陽距午赤道度即可借為前設(shè)時(shí)

以食甚用時(shí)午前午后時(shí)分如用時(shí)在午正前則置十二小時(shí)減用時(shí)余為午前時(shí)分如用時(shí)在午正后減十二小時(shí)余為距午正后時(shí)分變赤道度如用時(shí)距午正一小時(shí)變?yōu)槭宥纫环肿優(yōu)槭宸忠幻胱優(yōu)槭迕搿〉糜脮r(shí)太陽距午赤道度或用變時(shí)表按時(shí)取度表見馮林一先生中星表后半之為半距午赤道度

求設(shè)時(shí)半較角

半距午赤道度余切對數(shù)內(nèi)減正弦對數(shù)較得半較角正切對數(shù)

求設(shè)時(shí)半和角

半距午赤道度余切對數(shù)加余弦對數(shù)較得半和角正切對數(shù)

求設(shè)時(shí)赤經(jīng)高弧交角

半和角減半較角若北極出地二十三度二十七分以內(nèi)太陽夏至前后在天頂北者則兩角相加得設(shè)時(shí)赤經(jīng)高弧交角午前為東午后為西記東西號

求設(shè)時(shí)白經(jīng)高弧交角

設(shè)時(shí)赤經(jīng)高弧交角與赤白二經(jīng)交角見前東西同號相加?xùn)|西仍之異號相減東西從數(shù)大者得設(shè)時(shí)白經(jīng)高弧交角記東西號此之謂東西乃太陽在白平象限之東西也若兩角相等而減盡無余則太陽正當(dāng)白平象限無交角設(shè)時(shí)即真時(shí)但有高下一差若相加過于九十度與半周相減用其余則白平象限在天頂北

求設(shè)時(shí)太陽距天頂　設(shè)時(shí)高下差

北極距天頂正弦對數(shù)加設(shè)時(shí)太陽距午赤道度正弦對數(shù)內(nèi)減設(shè)時(shí)赤經(jīng)高弧交角正弦對數(shù)得設(shè)時(shí)太陽距天頂正弦對數(shù)加地平高下差對數(shù)內(nèi)減半徑對數(shù)得設(shè)時(shí)高下差對數(shù)

求設(shè)時(shí)東西差

設(shè)時(shí)白經(jīng)高弧交角正弦對數(shù)加設(shè)時(shí)高下差對數(shù)內(nèi)減半徑對數(shù)得設(shè)時(shí)東西差對數(shù)

求設(shè)時(shí)南北差

設(shè)時(shí)白經(jīng)高弧交角余弦對數(shù)加設(shè)時(shí)高下差對數(shù)內(nèi)減半徑對數(shù)得設(shè)時(shí)南北差對數(shù)如白經(jīng)高弧交角為九十度則無南北差實(shí)緯即視緯但有高下一差

求設(shè)時(shí)視緯

食甚實(shí)緯南加北減南北差得設(shè)時(shí)視緯若不足減則置南北差反減實(shí)緯變北為南白平象限在天頂北者反是記南北號

求設(shè)時(shí)距分

設(shè)時(shí)與食甚用時(shí)相減得設(shè)時(shí)距分如以食甚用時(shí)為前設(shè)時(shí)則無距分

求設(shè)時(shí)實(shí)距弧

設(shè)時(shí)距分對數(shù)內(nèi)減斜距對數(shù)較得設(shè)時(shí)實(shí)距弧對數(shù)在用時(shí)前后為緯西東記東西號

求設(shè)時(shí)視距弧

設(shè)時(shí)實(shí)距弧加減設(shè)時(shí)東西差得設(shè)時(shí)視距弧

月在限東西設(shè)時(shí)在用時(shí)前則減加后則加減

月在限東西東西差大于實(shí)距弧為緯東西小為緯西東記東西號如以食甚用時(shí)為前設(shè)時(shí)則無實(shí)距弧其東西差即視距弧限東亦為緯東限西亦為緯西

求設(shè)時(shí)視距視緯差角

設(shè)時(shí)視距弧對數(shù)加半徑對數(shù)內(nèi)減設(shè)時(shí)視緯對數(shù)得設(shè)時(shí)視距視緯差角正切對數(shù)

求設(shè)時(shí)兩心視相距

設(shè)時(shí)視距弧對數(shù)加半徑對數(shù)內(nèi)減設(shè)時(shí)視距視緯差角正弦對數(shù)得設(shè)時(shí)兩心視相距對數(shù)

以上各條自太陽距午赤道度起至兩心視相距止共十四件凡食甚用時(shí)近時(shí)真時(shí)及初虧復(fù)圓用時(shí)近時(shí)真時(shí)皆名同而數(shù)異故不重列諸求其實(shí)皆設(shè)時(shí)也故統(tǒng)以設(shè)時(shí)冠之其求三限真時(shí)并用前后兩設(shè)時(shí)求之

求食甚前后兩設(shè)時(shí)視相距和較

前設(shè)時(shí)兩心視相距與后設(shè)時(shí)兩心視相距相加為視距和相減為視距較

求對視行角

前設(shè)時(shí)視距視緯差角加減后設(shè)時(shí)視距視緯差角東西同則減異則加得對視行角半之得對視行半角

求半和角

對視行半角余切對數(shù)加視距較對數(shù)內(nèi)減視距和對數(shù)得半和角余切對數(shù)

求視行旁小角

半和角內(nèi)減對視行半角得視行旁小角

求兩設(shè)時(shí)視行

對視行角正弦對數(shù)加小視相距對數(shù)內(nèi)減視行旁小角正弦對數(shù)得兩設(shè)時(shí)視行對數(shù)

求視行差

視距和對數(shù)加視距較對數(shù)內(nèi)減兩設(shè)時(shí)視行對數(shù)得視行差對數(shù)

求食甚真時(shí)視行

兩設(shè)時(shí)視行加視行差半之得食甚真時(shí)視行

求食甚真時(shí)距分

兩設(shè)時(shí)較對數(shù)加真時(shí)視行對數(shù)內(nèi)減兩設(shè)時(shí)視行對數(shù)得食甚真時(shí)距分對數(shù)

求食甚真時(shí)兩心視相距

視行旁小角正弦對數(shù)加大視相距對數(shù)內(nèi)減半徑對數(shù)得食甚真時(shí)兩心視相距對數(shù)

　復(fù)以食甚真時(shí)為設(shè)時(shí)求其兩心視相距以考其合否合則食甚真時(shí)即為定真時(shí)否則再求視行以求考定真時(shí)并如前法

求食甚定真時(shí)

設(shè)時(shí)距分小大于真時(shí)距分限西為加減限東為減加

置食甚設(shè)時(shí)加減真時(shí)距分得食甚定真時(shí)

求食分

并徑內(nèi)減定真時(shí)兩心視相距余求對數(shù)加六百秒對數(shù)內(nèi)減太陽全徑太陽實(shí)半徑倍之即全徑對數(shù)得食分對數(shù)

求初虧復(fù)圓前設(shè)時(shí)

食甚定真時(shí)兩心視相距與并徑相加為距徑和相減為距較徑較

距徑和對數(shù)加距徑較對數(shù)半之加定真時(shí)距分對數(shù)內(nèi)減定真時(shí)視行對數(shù)得初虧復(fù)圓前設(shè)時(shí)距分對數(shù)

求初虧復(fù)圓后設(shè)時(shí)

前設(shè)時(shí)兩心視相距與并徑相減為距徑較食甚兩心視相距與前設(shè)時(shí)兩心視相距相減為視距較距徑較對數(shù)加前設(shè)時(shí)距分對數(shù)內(nèi)減視距較對數(shù)得后設(shè)時(shí)距分對數(shù)

求初虧復(fù)圓真時(shí)

兩設(shè)時(shí)相減為設(shè)時(shí)較兩設(shè)時(shí)視相距相減為視距較后設(shè)時(shí)兩心視相距與并徑相減為距徑較設(shè)時(shí)較對數(shù)加距徑較對數(shù)內(nèi)減視距較對數(shù)得真時(shí)距后設(shè)時(shí)對數(shù)

求初虧定交角

初虧真時(shí)視距視緯差角即并徑白經(jīng)交角加減白經(jīng)高弧交角得定交角初虧在限東西者緯南北則加與半周相減緯北南則減南北以初虧視緯論若白平象限在天頂北則緯南如緯北緯北如緯南如無初虧白經(jīng)高弧交角則視距視緯差角即定交角如兩角相等減盡無余或相加適足一百八十度則交角為初度

求復(fù)圓定交角

復(fù)圓真時(shí)視距視緯差角即并徑白經(jīng)交角加減白經(jīng)高弧交角得定交角復(fù)圓在限東西者緯北南則加與半周相減緯南北則減解同初虧

求初虧方位

初虧在限東西者定交角初度為正上下四十五度以內(nèi)為上下偏右四十五度以外為右偏上下九十度為正右過九十度為右偏下上白經(jīng)高弧交角大反減交定角者變右為左白平象限在天頂北左右相反

求復(fù)圓方位

復(fù)圓在限東西者定交角初度為正下上四十五度以內(nèi)為下上偏左四十五度以外為左偏下上九十度為正左過九十度為左偏上下白經(jīng)高弧交角大反減交定角者變左為右白平象限在天頂北左右相反

求食限總時(shí)

復(fù)圓定真時(shí)減初虧定真時(shí)得食限總時(shí)

對數(shù)尺以量代算或作量法代算　　　

賈步緯

西洋對數(shù)能變乘除為加減其算必資于表造之實(shí)難而用之甚便為今習(xí)算者所不可少近已用活字翻行弁以用法數(shù)則俾得開卷了然蕆事后復(fù)深思其理既可兩數(shù)相并以代乘相減以代除必能施諸量法因變通其術(shù)作直尺一千根記根數(shù)于尺之上面爰按假數(shù)之積各識真數(shù)于尺內(nèi)以代表施之閭閻貿(mào)易尋常日用之算乘除可以量馭法甚淺易雖婦人孺子略識數(shù)目字亦可朝得暮能豈非于常算之外更出一奇乎凡習(xí)此尺須制薄銅尺一根或牙或篾青皆可將一邊削薄口如刀以便密切尺內(nèi)之?dāng)?shù)必取光滑則所記墨識算訖隨可揩去依書中兩根尺度為長以官尺三四分為闊居中刻定一線平分為兩根凡遇乘法有兩零相并過一根者即將一根并入根數(shù)內(nèi)用其下余數(shù)量之理亦同或遇除法有實(shí)之零內(nèi)不足減法之零者即可少記一根移于尺之上半將實(shí)之零數(shù)接于下即可減矣

凡初習(xí)此尺須用算盤記根數(shù)便于加減待用之既熟根數(shù)加減自能肚算無需算盤矣又此尺只能以加減代乘除之用如有幾數(shù)疊加或遞減此尺不能馭仍須用算盤凡定所求位數(shù)之大小用對數(shù)表之首位法辨之如單位之首為十之首為一百之首為二千之首為三萬之首為四十萬之首為五之類如百與十乘則二加一為三其所得應(yīng)為千數(shù)如乘法遇有兩根相并過一千根者即可減去一千根用余數(shù)量之得數(shù)亦同惟其位數(shù)照常必升一位矣又除法遇有實(shí)之根數(shù)少于法之根數(shù)則不足減可加一千根于實(shí)內(nèi)減之仍用減余數(shù)量之得數(shù)亦同惟其位數(shù)照常必降一位矣若所求位數(shù)之大小可以意會不者便不須尋首位矣凡有法實(shí)兩數(shù)欲相乘者先任以一數(shù)于尺內(nèi)真數(shù)中尋對看尺之上面記其根數(shù)另用銅尺上端齊尺之上面細(xì)界線量至真數(shù)所在之處即其根數(shù)下之零數(shù)用墨線記于銅尺上再查又一數(shù)之上面根數(shù)并入所記根數(shù)上復(fù)以銅尺上墨線所記之處齊尺之上面細(xì)界線量至又一數(shù)真數(shù)所在之處亦其根數(shù)下之零數(shù)再以墨線記其下則兩零數(shù)亦接成一直線矣爰視兩次所并之根數(shù)于尺之上面根數(shù)中尋對再以銅尺上端齊尺之上面細(xì)界線量其下所記墨線處相遇之真數(shù)即得兩數(shù)乘出之?dāng)?shù)也如遇兩根數(shù)相并過一千根及兩零相接過一根者俱依前法量之

凡有法實(shí)兩數(shù)欲歸除者先以實(shí)數(shù)于尺內(nèi)真數(shù)中尋對看尺之上面記其根數(shù)另用銅尺上端齊尺之上面細(xì)界線量至實(shí)之真數(shù)所在之處即其根數(shù)下之零數(shù)用墨線記于銅尺上再以法數(shù)于尺內(nèi)真數(shù)中尋對看尺之上面記其根數(shù)亦以銅尺上端齊尺之上面細(xì)界量至法之真數(shù)所在之處亦其根數(shù)下之零數(shù)用墨疊記于銅尺上面先將實(shí)之根數(shù)內(nèi)減去法之根數(shù)視其減余之根數(shù)于尺之上面查對復(fù)以銅尺上實(shí)之零數(shù)內(nèi)亦減去法之零數(shù)用其減余之較數(shù)齊尺之上面細(xì)界量其下所記墨處相遇之真數(shù)即得兩數(shù)除出之?dāng)?shù)也如遇實(shí)之根數(shù)少于法之根數(shù)及實(shí)之零少于法之零者俱依前法量之

凡算四率比例依常法第二率與第三率相乘數(shù)為實(shí)以第一率為法歸除之即得所求之第四率數(shù)故用量法亦以二率與三率之根數(shù)與零數(shù)如乘法相并即為實(shí)再如歸除法減去第一率之根數(shù)及零數(shù)視其余數(shù)依前法量之即得所求之四率數(shù)其理與用對數(shù)表同

凡開平方先以方積于尺內(nèi)真數(shù)中尋對看尺之上面根數(shù)若為偶數(shù)即可折半若為奇數(shù)則少記一根移于紙上再以紙齊尺之上面細(xì)界量至方積真數(shù)所在之處即其根數(shù)下之零數(shù)以墨記于紙上隨視折半之根數(shù)于尺之上面尋對再將紙上零數(shù)對摺齊尺之上面細(xì)界量其下墨處相遇之真數(shù)即得方邊然須審方積之位數(shù)必加首位于根數(shù)上折半復(fù)去首位而量之始方邊之?dāng)?shù)不淆因方積兩位定方邊一位故也如方積止有單位則首位為即將根數(shù)折半是也若方積在一百以內(nèi)為二位數(shù)則其首位為一必加一千根于根數(shù)上折半方合若方積在一千以內(nèi)為三位數(shù)則其首位為二必加二千根于根數(shù)上折半方合遞求而上皆然

凡開立方積之根數(shù)亦必加首位惟根數(shù)與零數(shù)各取其三分之一如前法量其相遇之真數(shù)即得立方邊多乘方依數(shù)遞推如三乘方取四分之一四乘方取五分之一之類

中西歷學(xué)源流異同論　　　

葉耀元

竊謂兩間中有萬古不易之理無百世不變之法萬事皆然于歷為最故治歷者惟當(dāng)順天以求合不當(dāng)為合以驗(yàn)天堯命羲和歷象日月星辰舜在璇璣玉衡以齊七政是皆隨時(shí)考測以合天也從未聞立一千古不易之法以能合永遠(yuǎn)之天象雖子輿氏所云茍求其故千歲之日至可坐而知然亦仍屬求合之言古今來治歷者七十余家疏密代更詳推各異而要其理不外乎唐虞時(shí)所定之型模歷也象也璇璣玉衡也即算數(shù)圖象及測驗(yàn)之器也此乃治歷之大經(jīng)雖萬世莫之易顧其歷書三代而上誠有原原本本則師傅曹習(xí)之學(xué)而畢喪于祖龍之焰惟堯典僅載以三百有六旬有六日為歲實(shí)杜預(yù)謂舉全數(shù)而言則有六日其實(shí)為五日有四分日之一日躔論謂漢晉諸家皆以日行一度三百六十五日有四分日之一而一周天自北齊張子信始覺有入氣之差而立損益之率隋劉焯立盈縮躔度與四序?yàn)樯地史釉斨猎鼐茨朔钟s初末四限定歲實(shí)為三百六十五日又萬分日之二千四百二十五較前代為密至前明西法漸入中土歷數(shù)之學(xué)始稱美備自漢時(shí)西人多祿畝以迄明第谷則立為本天高卑本輪均論諸說用三角推算其術(shù)尤精乃定歲實(shí)為三百六十五日又千萬分日之二百四十二萬一千八百七十五較之郭守敬又減萬分之三有奇　國朝西人刻白爾噶西呢等更相推考又以本天為橢圓均分其面積為平行度又月離古歷皆謂月每日行十三度又十九分度之七東漢賈逵始言月行有遲疾至劉洪列為差率元郭守敬定為轉(zhuǎn)分進(jìn)退時(shí)各不同猶今之有初均也迨今西法益明始知太陰共有十種行度皆因日行盈縮及本天高卑兩弦朔望而生均與舊法迥殊惟因古時(shí)歷年既淺所差甚微非一時(shí)所能灼見迨歲月遷流積微成著然后共見而差法立焉此非前人之智不若后人也蓋前人不能預(yù)見后來之差而后人則能考前代之度分也故世愈以降歷愈以明其勢則然此歷法所以古疏而今密者良有由也考泰西歷學(xué)起于羅馬國羅馬歷自奴馬至該撒儒略一年為十二月乃祭司與大吏任意改定后該撒儒略征請亞力山太天算家鎖西日呢定歷始創(chuàng)三百六十五日及三百六十六日二假歲實(shí)之法以三百六十六日為閏日之年每四年一閏與郭守敬第谷等所定之歲實(shí)略近乃于耶穌降生前四十五年正月初一日為始改用新歷按史記當(dāng)在漢宣元之間是時(shí)歷法尚亂故史稱其年為亂年嗣后儒略之令未行而死死后祭司不明歷以本年為第一閏年至第四年又為閏年如是每三年中一閏歷三十六年法當(dāng)閏九日而誤閏十二日該撒亞古士督覺其誤下令十二年不置閏日乃合儒略之本意后不復(fù)改至小余積久自生差遂為格勒固里改之當(dāng)漢儒子?jì)氤跏荚晷旅Ы▏哪昙疤禅P三年等俱為閏日之年歷家咸依此上推迄唐時(shí)始有九執(zhí)歷元季始有回回歷統(tǒng)回部各國猶太等歷言之也歐羅巴人又從回歷加精近世噶西呢等踵起闡微發(fā)奧推測尤詳當(dāng)時(shí)西法并宗之然而術(shù)分疏密今古殊途理至精微中西一轍我　國家推恩中外一視同仁遂聘西人襄理歷法此　歷象考成等書所由來也

然于歷算諸學(xué)皆殫極精微惟中國向以閏月定四時(shí)成歲其故因地球歷三百六十五日五小時(shí)三刻三分四十五秒而繞日一周月約二十九日十二小時(shí)二刻十四分二秒而追繞地球一周地繞日一周而月繞地十二次有十日有奇故三年一閏五年再閏十有九年而七閏始合其期惟二十四節(jié)氣古時(shí)皆平分歲實(shí)故謂恒氣今以日行盈縮而定其損益謂之定氣而節(jié)氣一周與歲實(shí)仍同焉西國以太陽躔恒星十二宮分歲實(shí)為十二分彼既不以月圓為例故無正月二月等名目俗稱外國正月二月者乃華人稱之則然爾在西國歷家固無所謂月也然其十二月之日數(shù)亦各不同以黃道上有高卑差而日躔即因之有加減也如磨碣宮日躔最卑行速故二十八日而行一宮若巨蟹宮日躔最高行遲故三十一日而行一宮總以三百六十五日為一年較諸歲實(shí)尚欠五小時(shí)有奇故每四年閏一日又因四倍五小時(shí)有奇尚不足一日之?dāng)?shù)故又歷一百二十八年而少閏一日法應(yīng)閏三十二日者則閏三十一日始合其期夫閏日乃以太陽行度紀(jì)年閏月則以太陰行度作歲雖月分閏法各有不同而歲序紀(jì)綱則無少差異此謂之不約而合者也中國以正月朔為歲首梅勿庵謂西國以日躔斗四度為正月朔或云西國以地球當(dāng)最卑為過年之期二者所差尚微因最卑東行每歲約六十二秒恒星東行每歲約五十一秒僅差十一秒須積至三百二十七年有奇始差一度推今歲冬至最卑點(diǎn)距冬至點(diǎn)后十度五十八分四十一秒自注此論系光緒丙戌年作冬至后二十日內(nèi)日行最速每日約一度有零故冬至越十日而為西國過年之期即中國十二月初八日也西人恒以過年前八日為耶穌誕辰即太陽躔第十二宮第二十五日故耶穌誕辰在中國冬至后三日也雖然中西兩歷不同而實(shí)同然而同之中又有不同焉耶穌誕辰后冬至三日者在近今六十年中則然爾推原厥故并非關(guān)乎理法之疏密而由于立法之各異天象之變遷惟西國總以地球當(dāng)最卑為過年之期最卑又每歲東行約六十二秒約歷六十年而差一度故六百年之間而最卑距冬至已差至十度矣若以日躔斗四度為過年之期大略相同如今年最卑后距冬至十度零越六百年而當(dāng)變?yōu)榫喽攘銊t西國過年之期亦將在中國冬至后二十日而耶穌誕辰即因之變?yōu)楹笫找哟蠓擦曛幸嘤幸欢諈⒉罱駳q交冬至節(jié)在十一月二十七日卯初故為后三日設(shè)于二十六日亥時(shí)交冬至則變?yōu)楹笏娜找游┎榭滴跷斐侥暾岸Y單耶穌誕辰則在冬至后四日似以日躔斗四度為過年之期也考最卑與冬至同度當(dāng)在宋理宗時(shí)自宋以上又差而前故上溯漢哀帝庚申年最卑以前距冬至約二十二度十六分所以耶穌降生之辰當(dāng)在哀帝庚申年十月即冬至前二十七或二十八日為小雪后二三日也一千九百年之間已差至三十一日此所謂同之中更有不同者也愚準(zhǔn)最卑東行之理推之自今以往約歷一萬零一百四十年之久則地球繞日之軌道最卑最高將易位置是最卑點(diǎn)當(dāng)夏至點(diǎn)而西國過年之日在中華夏至之期即耶穌誕辰在中國夏至前七日矣當(dāng)是時(shí)北半地球夏生酷暑冬有嚴(yán)寒愈近北極而其苦愈甚蓋最卑最高所受日光之比若十六與十五比地土皆環(huán)繞北冰海披離下垂故南半球多水北半球多陸水可回光故難受亦難散陸能傳熱故易受而易散夏至北極朝日日光直射北半球惟地球適當(dāng)最高則相宜乃彼時(shí)適當(dāng)最卑其積熱應(yīng)得百度者增而為一百零七度冬至南極朝日日光斜照北半球若地球當(dāng)最卑則尚宜乃彼時(shí)適當(dāng)最高其余熱應(yīng)有二十度者減而為十八度雖略能以行度之盈縮而迭相消長然曷若今日消長之自然也或曰寒暑表上升降數(shù)度在人似不大覺何苦之有曰伏暑增兩三度不能隆冬減兩三度不能不見夫赤日當(dāng)空火傘方張之候竟有多掛一絲而不能者此何故歟又不見云愁水結(jié)燈寒榻冷之間直有欲把刀剪而難堪者此又何故歟夏至?xí)r且將增七度之熱而人有不喚苦者乎自此更歷萬余年而仍復(fù)今日此又天運(yùn)之循環(huán)而中西歲月之大不同者至于最卑最高之根源及最卑之運(yùn)行弗替則其故甚微一時(shí)不可思議雖歐洲楚精天文家亦莫明其妙惟大約其故必在恒星焉

更定測北極出地簡法　　　

胡惟德

西人顏家樂測北極出地簡法見赤水遺珍疇人傳亦載之其法先于其處測一恒星自出地平至正午所歷之時(shí)及其高度以時(shí)變赤道度以其大矢為一率正矢為二率高度正弦為三率得四率為正弦查表得度內(nèi)減去星距天頂度余與九十度相加折半轉(zhuǎn)減九十度得北極出地度但此法必北極出地不滿半象限星過子午圈在天頂南赤道北而后可否則不合李氏壬叔以其非通法也而改之見所著天算或問其法視星在赤道南北不同而大矢正矢異其乘除視星之高弧或深弧南北不同而兩弧異其加減法雖略備轉(zhuǎn)失之繁故顏氏法簡而不備李氏法備而不簡學(xué)者卒難領(lǐng)悟今變通兩家綴為公法諸題均可一以貫之并補(bǔ)圖演草于后推步之家庶有取焉光緒十二年丙戌夏六月丁澣識于滬濱格致堂

法曰于一處任測一恒星自出地平至子午圈所歷之時(shí)及在子午圈之高弧乃以時(shí)化度以其本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦為三率得四率為正弦檢表得度為星之深弧與高弧相加以減半周折半得北極出地度自地平圈南至星出地最高點(diǎn)為高弧自地平圈北至星入地最深點(diǎn)為深弧兩弧如有過象限者仍用本角度不用外角度

圖略

如圖午癸丙丁有依子午圈剖成平圓面乙丁為地平癸為北極癸乙為北極出地午為赤道交子午圈點(diǎn)甲為星甲丙為星道徑甲丁為高弧甲壬為其正弦乙丙為深弧庚丙為其正弦甲辛為星道度本角正矢辛丙為星道度外角正矢星一晝夜而一周故以時(shí)化度即星道度甲辛壬與辛庚丙兩句股形為同式故星道度本角正矢即甲辛弦與星道度外角正矢即辛丙弦比若高弧正弦即甲壬股與深弧正弦比即庚丙股此比例而得深弧正弦之理也甲癸與癸丙兩弧相等并為深弧加北極出地之度以甲丁高弧減乙己丁半周余甲乙弧為北極出地倍度又加深弧之度故井高弧深弧以減半周折半即北極出地度此加減而得北極出地之理也何以知星道度本角正矢為甲辛外角正矢為辛丙也如甲卯丙未為依星道剖成平圓面甲丙為星道徑丑甲為星出地平至子午圈所過之度甲心丑為本角其正矢為甲辛丑心丙為外角其正矢為辛丙也

　于一處測得一恒星自出地平至子午圈歷二十六刻二分高弧六十三度求北極出地草曰以星出地平至子午圈時(shí)刻化度得九十八度其本角正矢為一一三九一七三外角正矢為八六八二七乃以本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦八九一六五為三率求得四率六七三二九八為深弧正弦檢表得四十二度十九分與高弧相加得一百零五度十九分以減半周得七十四度四十一分折半得三十七度二十分三十秒即北極出地度

對數(shù)草曰九十八度本角正矢對數(shù)為一五六五八九七一外角正矢對數(shù)為九九三四九一五八三乃以本角正矢對數(shù)為一率外角正矢對數(shù)為二率高弧正弦對數(shù)九九四九八八八八為三率求得四率九八二八二七為深弧正弦對數(shù)檢表得四十二度十九分如前法加減得北極出地

　于一處測得一恒星自出地平至子午圈歷十四刻十二分高弧七度求北極出地

草曰以星出地平至子午圈時(shí)刻化度得五十五度三十分其本角正矢為四三三五九三八外角正矢為一五六六四六二乃以本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦一二一八六九三為三率求得四率四四二六六五為深弧正弦檢表得一百五十三度五十三分與高弧相加得一百六十度五十三分以減半周得十九度七分折半得九度三十三分三十秒即北極出地度

對數(shù)草曰五十五度三十分本角正矢對數(shù)為九六三七八三一外角正矢對數(shù)為一一九四九四三九乃以本角正矢對數(shù)為一率外角正矢對數(shù)為二率高弧正弦對數(shù)九八五八九四四七為三率求得四率九六四三七一五八五為深弧正弦對數(shù)檢表得一百五十三度五十三分如前法加減得北極出地

　于一處測得一恒星自出地平至子午圈歷四十二刻二分高弧一百二十一度求北極出地

草曰以星出地平至子午圈時(shí)刻化度得一百五十八度其本角正矢為一九二七一八三九外角正矢為七二八一六一乃以本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦八五七一六七三為三率求得四率三二三八六九三為深弧正弦檢表得一度五十一分與高弧相加得一百二十二度五十一分以減半周得五十七度九分折半得二十八度三十四分三十秒即北極出地度

對數(shù)草曰一百五十八度本角正矢對數(shù)為一二八四九二三一五外角正矢對數(shù)為八八六二二二七六七乃以本角正矢對數(shù)為一率外角正矢對數(shù)為二率高弧正弦對數(shù)九九三三六五五九為三率求得四率八五一三七一一為深弧正弦對數(shù)檢表得一度五十一分如前法加減得北極出地

附真數(shù)對數(shù)求正矢法

真數(shù)求正矢以余弦減半徑即得如弧之過象限者其余弦為負(fù)故以加為減

對數(shù)求正矢無論過象限與否以半弧正弦對數(shù)倍之加二之對數(shù)三一二九九九減半徑對數(shù)一即得蓋首率半徑中率通弦即半弧倍正弦得末率為倍正矢故通弦自乘半之半徑除之為正矢而通弦自乘半之即半弧正弦自乘又二乘之也今對數(shù)倍之為自乘加為乘減為除故半弧正弦對數(shù)倍之加二之對數(shù)減半徑對數(shù)即正矢對數(shù)也

近代疇人著述記　　　

華世芳

　疇人傳自羅茗香續(xù)后未有再續(xù)者近時(shí)算家著述序跋足繼前賢而開后學(xué)者頗不乏人顧或僻處偏隅遺書未顯或英年多故著作未成亦往往而有欲搜訪而續(xù)輯之誠未易言矣然而覃精數(shù)理者名山之絕業(yè)也多方蒐錄者尚友之苦心也不揣檮昧勉效管窺意在網(wǎng)羅有傷繁冗謹(jǐn)分條詮次如左

儀征阮文達(dá)公元嘗以虞推小雅十月之交在幽王六年因用時(shí)憲術(shù)士推幽王六年十月朔正得入交督漕運(yùn)時(shí)立糧艘盤糧尺算法頒行各省又嘗溯古今沿革之原究中西異同之致掇拾史書薈萃籍創(chuàng)為疇人傳自黃帝以降甄而錄之得二百八十人綜算氏之大成紀(jì)步天之正軌至今游藝之士奉為南鍼

甘泉羅茗香士琳少時(shí)所著有比例匯通四卷摘九章中切于日用者匯為比例十二種意主發(fā)明西法后益專精于天元四元之術(shù)著觀我生室匯稿已刻者凡九種曰句股容三事拾遺本博繪亭之法取句股中舊有之容方邊容圓徑益以西法之容中垂交互相求一以天元御之曰三角和較算例取斜平三角中兩邊夾一角術(shù)熔入立天元一法用和較推演成式曰四元玉監(jiān)細(xì)草以朱松庭原書秘奧難讀殫精一紀(jì)步為全草補(bǔ)漏訂訛申明疑義曰演元九式括玉監(jiān)中進(jìn)退升降消長諸例借無數(shù)之?dāng)?shù)入以正負(fù)開方式曰臺錐積演以玉監(jiān)中有茭草形段果積壘藏二門足補(bǔ)少廣之缺爰取臺錐形引而申之曰周無專鼎銘考以四分周術(shù)為主佐以三統(tǒng)漢術(shù)推得宣王十六年九月既望甲戌與銘詞合曰續(xù)疇人傳以阮傳歷年已久有應(yīng)續(xù)增入者因復(fù)增補(bǔ)得六卷曰弧矢算術(shù)補(bǔ)以李四香弧矢算術(shù)其術(shù)未備爰增二十七術(shù)合成四十術(shù)曰增廣新術(shù)推廣正升斜升橫升之算法以求太陰隨地隨時(shí)之明魄方向分秒復(fù)以其術(shù)通之以求交食限內(nèi)之方向邊分及所經(jīng)歷之邊分其未刻者有六種曰交食圖說舉隅遵現(xiàn)行之橢圓法于各求下綴以法解曰春秋朔閏考集黃帝以來六術(shù)及漢三統(tǒng)術(shù)以考春秋自隱迄哀凡二百五十五年總經(jīng)傳七百九十九日名推演成書曰綴術(shù)輯補(bǔ)以祖沖之之綴術(shù)久佚爰搜括各書參以本法演得二卷曰句股截積和較算例以孔軒少廣正負(fù)術(shù)所載未備推而廣之得八十四術(shù)曰淮南天文訓(xùn)存疑曰博能叢話

甘泉易蓉湖之瀚以羅茗香玉監(jiān)細(xì)草格于體裁凡四元之條段羼糅開方之頭緒紛如悉未能指出義例因撮取開方以及天元四元諸算例為四元釋例一書附于羅草之后

山陽駱春池騰風(fēng)著開方釋例四卷于諸乘方方廉和較大小加減之理皆質(zhì)言之而推求各元進(jìn)退定商諸術(shù)足補(bǔ)李四香開方說所未備又嘗取衰分方程句股等法以及九章所未載與夫古今算書之未能該洽者溯源正為藝游錄二卷

全椒江云椎臨泰善用對數(shù)所著弧三角舉隅續(xù)傳誤為張作楠作簡明直捷附刻于張丹村翠微山房叢書中

黟縣俞理初正燮博極書長于考訂兼擅天算之學(xué)所著溝洫東田諸解恒星七曜古憲四分諸論皆獨(dú)具神識未經(jīng)人道

德清許積卿宗彥經(jīng)生而兼精推步之理著太陽行度解以辨王寅旭戴東原之誤其目曰解日本天解日行黃道解日經(jīng)度解日緯度解求經(jīng)緯度解高卑盈縮解用赤道度解日度無闊狹解日左右旋凡九篇

元和沈狎鷗欽裴嘗為李云門校九章算術(shù)細(xì)草圖說均輸一章多所增訂又補(bǔ)海島算經(jīng)細(xì)草晚得秦道古數(shù)書九章鈔本于張古愚家訂補(bǔ)脫歷有年所著有秦書刊誤以老病未卒業(yè)歿后其弟子宋勉之搜得殘稿數(shù)卷采其說入札記居京師時(shí)嘗手錄徐氏所步玉監(jiān)細(xì)草數(shù)段因欲補(bǔ)撰全草遺稿四冊為長洲馬遠(yuǎn)林釗所藏余師張嘯山先生曾見之其草與羅氏大同小異實(shí)不如羅之詳然四象朝元第三第五兩問羅草方廉隅諸數(shù)皆不符原術(shù)竟無說以處此沈氏所演獨(dú)與術(shù)合此則勝于羅草者也馬君謀刻之而未果后馬君殉難遺稿遂不可蹤矣

江陰宋勉之景昌著數(shù)書九章札記以狎鷗所校明鈔本為主而參以李四香所校四庫館本搜眾說而折衷之足資后學(xué)考證又嘗校楊輝算法六種皆刻入宜稼堂叢書中其未刻者有開方之分還原術(shù)一種

無錫鄒敬甫安鬯精究琴理著琴律細(xì)草一卷篤好天元一術(shù)校讀算書每有所得輒題于眉上嘗以郁刻秦道古數(shù)書九章謬訛錯(cuò)出演算不易故用力尤勤而辨正為多有沈李毛宋諸家所未及者竊擬編次其說為數(shù)書校議一冊庶幾鄉(xiāng)先哲之學(xué)術(shù)可以不沒云

烏程陳靜杰著算法大成上編凡十卷門分類別意在引誘初學(xué)其中平弧三角數(shù)卷頗能洞見本原句股求三整數(shù)法尤為新得之理惟以天元正負(fù)諸乘方為算家故設(shè)難題不適于用未免為識者所噱下編十卷則由法而致用顧無刻本蓋未定之書也又有緝古算經(jīng)細(xì)草一卷圖解三卷馬義一卷刊行于世又有彗星譜一冊其弟子有烏程張南坪福禧歸安丁寶書兆慶皆明算而未成著述算法大成中錄其兩邊夾一角徑求對邊術(shù)解頗為明晰

錢唐項(xiàng)梅侶名達(dá)其算學(xué)之書已刻者曰下學(xué)算書凡三種曰句股六術(shù)圖解變通舊術(shù)分術(shù)為六使題之相同者通為一術(shù)圖解明晰比例精簡曰平三角和較術(shù)曰弧三角和較術(shù)極數(shù)究理于無可比例中尋得比例婉轉(zhuǎn)妙合古所未有惜其圖解尚無成書未刻者曰象數(shù)一原項(xiàng)氏原書祗六卷而卷四僅六紙為未完之書歿后其友人戴鄂士校補(bǔ)之始成全帙凡七卷卷一曰整分起度弦矢率論卷二曰半分起度弦矢率論卷三卷四曰零分起度弦率矢論皆以兩等邊三角明其象遞加法定其數(shù)末乃申論其算法卷五曰諸術(shù)通詮取新立此弧弦矢求他弧弦矢二術(shù)半徑求弦矢二術(shù)及董氏杜氏諸術(shù)按術(shù)詮解之卷六曰諸術(shù)明變雜列所定弦矢求八術(shù)開諸乘方捷術(shù)算律管新術(shù)橢圓求周術(shù)皆從遞加數(shù)轉(zhuǎn)變而得者也卷七曰橢圓求周圖解則鄂士所補(bǔ)纂也其弟子錢唐王吉甫大有篤嗜算術(shù)涉中西兩家言嘗校刻割圖捷術(shù)合編不知有他著述否

烏程徐壯愍公有壬著務(wù)民義齋算學(xué)已刻者凡七種曰測圓密率本杜德美董方立輩屢乘屢除之法而廣為互求之術(shù)曰造表簡法以垛積招差之法求西人立表之根曰橢圓正術(shù)因新法盈縮遲疾皆以橢圓立算而取徑迂回布算繁重爰撰是術(shù)法簡而密尤便對數(shù)曰截球解義直抉球與等徑等高之圓囷其外面皮積亦等之理為幾何所未發(fā)曰弧角拾遺括舊法垂弧次形矢較諸目而統(tǒng)歸于和較施之對數(shù)尤便曰表算日食三差以西法步算多資于表獨(dú)日食未立步法故用新法補(bǔ)之曰朔食九服里差增廣疇人舊術(shù)為見食各州郡隨時(shí)測驗(yàn)之準(zhǔn)其未刻者尚有堆垛測圓三卷圓率通考一卷四元算式一卷校正九執(zhí)術(shù)一卷古今積年解源二卷強(qiáng)弱率通考一卷毀于兵燹不可得見矣

錢唐戴鄂士煦粵雅堂叢書中刻其所著求表捷術(shù)三種共九卷其一曰對數(shù)簡法續(xù)對數(shù)簡法始以開方表求諸對數(shù)繼因假設(shè)對數(shù)即訥白爾對數(shù)以求定準(zhǔn)對數(shù)即十進(jìn)對數(shù)續(xù)悟開無量數(shù)乘方法用連比例求諸對數(shù)而得數(shù)益捷此求對數(shù)表捷術(shù)也曰外切密率用連比例互相比例借杜德美求弦矢諸術(shù)變通之以求切割二割圓之法乃大備此求八表捷術(shù)也曰假數(shù)測圓創(chuàng)為負(fù)算對數(shù)可舍八而徑用弧背入算以求其八對數(shù)此求八對數(shù)表捷術(shù)也又有四元玉監(jiān)細(xì)草與羅茗香所著略同而圖解明暢過之音分古義二卷以連比例立算與古律分合皆未刻

吳縣馮景亭桂芬著弧矢算術(shù)細(xì)草圖解一卷本李四香十三題而詳演天元加減乘除開方各式意淺語詳有裨初學(xué)刻入昭代叢書中咸豐之季西人新術(shù)初入中土通其法者尟而李壬叔所譯代微積拾級一書尤為難讀因取其書逐節(jié)疏解與上元陳子瑒同撰西算新法直解一書惟輕改其所記之號所代之字此正如戴東原之變易舊名轉(zhuǎn)足以疑誤后學(xué)也又有中星表按咸豐辛亥天正冬至星度立算

金山顧尚之觀光著書甚多全稿名曰武陵山人雜著其言算者有十一種曰算賸初續(xù)編凡二卷曰九數(shù)存古依九章為九卷而以堆垛大衍四元旁要重差夕桀割圓弧矢諸術(shù)附焉皆采自古書而分門隸之曰九數(shù)外錄則括西術(shù)為對數(shù)割圓八平三角弧三角各等面體圓錐三曲靜重學(xué)動重學(xué)流質(zhì)重學(xué)天文重學(xué)作記十篇曰六厤通考據(jù)開元占經(jīng)所紀(jì)黃帝顓頊夏殷周魯積年而為之考證曰九執(zhí)厤曰回回厤解皆就其法而疏通證明之曰推步簡法曰新厤推步簡法曰五星簡法皆就疇人所用術(shù)改度為百分趨于簡易而省其紆曲曰算賸余稿曰雜著則身歿之后余師張嘯山先生為之分別編次者也

杭州夏紫笙鷥翔遺書凡四種曰萬象一原曰致曲術(shù)圖解推究縱橫之條理研求微積分之奧竅曰洞方術(shù)探索夫遞加數(shù)尖堆底之原可以加減代乘除為求弦矢之捷徑曰少廣縋鑿專立捷術(shù)以開各類乘方通為一術(shù)可徑求數(shù)十位方根無論益積翻積俱視為坦途矣

臨川紀(jì)慎齋大奎著筆算便覽其書以筆算為名而兼及籌算述宣城梅氏之義具見簡明同治庚午南昌梅氏重梓算經(jīng)十書曾取其書附刻于后

廣州何報(bào)之夢瑤曾刪訂算法統(tǒng)宗及輯梅定九朱吟石兩家之書共為四卷經(jīng)復(fù)鈔撮數(shù)理精蘊(yùn)得八卷合為一書凡得十二卷名曰算迪今伍氏刻本祗八卷蓋非其全稿也

南海鄒特夫伯奇遺書曰學(xué)計(jì)一得以算術(shù)解經(jīng)義為治經(jīng)者之助曰補(bǔ)小爾雅釋度量衡三篇博引傳注考證詳明曰格術(shù)補(bǔ)述夢溪之遺緒為算學(xué)之支流曰對數(shù)尺記因西人對數(shù)表而變通之以尺代表制簡用廣曰乘方捷術(shù)首立開方四術(shù)以明其理又立求對數(shù)較四術(shù)以探其賾末設(shè)對數(shù)開方計(jì)息諸草以著其術(shù)之切于日用曰存稿則雜文也嘗繪輿地全圖其經(jīng)度無盈縮而緯度漸狹相視皆為半徑與余弦之比橫九幅縱十幅合一之則成地球滂沱四隤之形以圜繪圜其形維肖又準(zhǔn)咸豐甲寅歲前恒星經(jīng)緯繪赤道南北恒星圖二幅其未定之書尚有測量備要二冊其弟子伊善卿德齡有求弦矢通街一卷刻入傳習(xí)錄中

嘉定時(shí)清夫曰醇熟于求一之術(shù)嘗以大衍一術(shù)求等約分頭緒不一撰求一術(shù)指一書晚年目已雙瞽猶能手按珠盤口授其子著百術(shù)衍二卷以張邱建百一題衍為大中小三色皆有分子之題以盡通分之妙每題分立兩法一馭以方程一馭以求一以示術(shù)理相通每問各列三答以存其概然疏略甚多若以代數(shù)求之則合問之答數(shù)尚不止此也

興化劉融齋熙載著天元正負(fù)歌四則簡捷易明最便初學(xué)見昨非集

長沙丁果臣取忠為楚南絕學(xué)之倡嘗?？贪总教盟銓W(xué)叢書其所撰述者曰數(shù)學(xué)拾遺多發(fā)明古今算家未盡之旨曰輿地經(jīng)緯度里表據(jù)魏氏海國圖志以補(bǔ)張氏揣龠小錄為之析旗部增海國推距里惟魏圖輾轉(zhuǎn)鉤摹所紀(jì)經(jīng)緯不足為據(jù)而據(jù)以推算不無毫厘千里之謬即如今實(shí)測英國倫頓為中國京師中偏西一百十六度二十八分而此表乃云一百二十七度十分差至一千二百余里其他各國誤率類是曰粟布演草其書以發(fā)商生息為題匯輯各家術(shù)草以明開方之術(shù)而鄒特夫截算續(xù)商二法亦藉以附見焉曰對數(shù)詳解一本乎代數(shù)之法而闡明對數(shù)之理與用算式繁重演算不易則曾栗諴之力也

海甯李壬叔善闌嘗與西士偉烈亞力續(xù)譯幾何原本之后九卷以竟徐文定公未完之業(yè)又譯代數(shù)學(xué)十三卷代微積拾級十八卷重學(xué)二十卷曲說三卷談天十八卷刊行于世代數(shù)者猶中法之天元四元也惟天元四元之所重者在行列位次而代數(shù)則不論行列位次一切皆以記號明之故其理雖同而為用尤廣微分積分者凡面體皆設(shè)為由小漸大一剎那中所增之積即微分也其全積即積分也一切曲及曲所函面曲面及曲面所函體八弧背互求真數(shù)對數(shù)互求昔之所謂無法而難求者今皆有法求之而甚易矣重學(xué)者其學(xué)分動靜兩支靜重學(xué)所推者力相定動重學(xué)所推者力生速速有平速漸加速之分而其理之大要有二曰分力力曰重心則靜動兩學(xué)所共也又有流質(zhì)重學(xué)其力有二曰互攝力曰互推力曲者圓錐三曲也一為橢圓二為雙曲三為拋物置圓錐形截之其截面錐底交角小于錐腰錐底交角者為橢圓大于錐腰錐底交角者為雙曲等于錐腰錐為底交角者為拋物談天者西士候失勒所著天文之書也其言日與恒星不動而地與五星俱繞日而行地與五星之繞日與月之繞地其軌道俱系橢圓而歷時(shí)等則所過面積亦等此真順天以求合而非為合以驗(yàn)天也凡此數(shù)者皆西人至精之詣中土未有之奇以視明季所譯殆遠(yuǎn)過之矣所自著者有則古昔齋算學(xué)凡十四種曰方圓闡幽曰弧矢啟秘曰對數(shù)探源皆以尖錐立算發(fā)古人未發(fā)之秘曰垛積比類則本玉監(jiān)遺法而分條別派詳細(xì)言之于九章外別立一幟曰四元解指明算例改定算格詳演細(xì)草圖解術(shù)雖深讀此可豁然矣曰麟德術(shù)解以李氏盈朒遲速二法為授時(shí)術(shù)平定二差所托始因取史志所載校正而解明之曰橢圓正術(shù)解以徐所立正術(shù)俱極精深逐術(shù)為補(bǔ)圖詳解之曰橢圓新術(shù)則又變通正術(shù)而益趨于簡易曰橢圓拾遺拾西說之遺義以究曲之極致曰火器真訣以拋物之法通之于平圓曰尖錐變法釋考西術(shù)之異同別用法之正變可以抉對數(shù)之藩籬而無余蘊(yùn)矣曰級數(shù)回求為一切級數(shù)互求之準(zhǔn)繩曰天算或問則雜紀(jì)其答問之詞單文賸義剖晰入微曰考數(shù)根法數(shù)根者惟一可度而他數(shù)不能度之?dāng)?shù)也立法凡四可補(bǔ)幾何之未備

新化鄒叔積漢勳與丁果臣同治算學(xué)尤研究天文推步之書著有顓頊憲考其弟季深漢池亦通算學(xué)丁氏之度里表多出其手

長沙李晉夫錫蕃著借根句股細(xì)草一卷括七十八題為二十五術(shù)大旨與李四香天元句股細(xì)草相仿而西法之借根即中法之天元也固可相附而行

湘陰左壬叟所著有割圜八綴術(shù)補(bǔ)草綴術(shù)釋明綴術(shù)釋戴等書一貫以天元寄分之法用以立式巧變莫測又有通分捷法一帙將分母分子析為極小數(shù)根而同者去之任以多項(xiàng)通分頃刻可得

湘鄉(xiāng)曾栗諴紀(jì)鴻文正公之次子也著圓率通考據(jù)西士尤拉之法見代數(shù)術(shù)二十五卷而立新術(shù)推得圓率百位為從古所未有其他算稿尚未成書卒以用心過度嘔血而卒

　算學(xué)至今日可謂極矣中華之天元四元即西人代數(shù)之理但不及代數(shù)之變化代數(shù)又不及微積之盡變數(shù)十年前項(xiàng)戴所造之法甚近微分此后積世積人積智更于代微積外別樹一幟或有其人然不能必也余友崔君聘臣名朝慶者觀理澄澈于算學(xué)尤深入奧窔嘗與余論算曰算學(xué)自項(xiàng)戴諸君子出觀止矣足征心得之語茲選輯二十余人之作雖不能盡如項(xiàng)戴然亦多近項(xiàng)戴者余固實(shí)領(lǐng)其著述之精非同便為鈔錄讀是輯者即是文已足見一斑矣丁亥秋日湘鄉(xiāng)葛道殷心水氏識于江南機(jī)器制造總局繙譯館中