不是所有的現(xiàn)象或所觀察事物之間的關(guān)系都適合于用數(shù)學(xué)來描述（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ）。盛有陳釀的木桶以及酒香、酒味之間的關(guān)系就是一例；而且，兩個或多個概念之間的某種數(shù)學(xué)關(guān)系不能解釋上述關(guān)系。考慮一下一個蘋果從離地６英尺高的樹枝落到地面上的情形。你可以把這事拍成電影，用詞語來描繪，或?qū)懗鰯?shù)學(xué)公式狊＝１／２犵狋２來顯示蘋果所穿過空間的距離等于地心引力與下落時間的平方的乘積的１／２。這三種描述方法都不能解釋為什么蘋果會以這種方式落到地面上，物理學(xué)家還不知道地心引力的本質(zhì)。然而，數(shù)學(xué)模型具有優(yōu)勢，它表示得更清晰，有希望應(yīng)用于某個物體落到地面上的所有場合。所以，大部分科學(xué)家同意，與另兩種形式相比，數(shù)學(xué)陳述（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ）總是更優(yōu)越。不幸的是，生物學(xué)和社會科學(xué)中的許多觀察成果，不可能滿足數(shù)學(xué)陳述所需要的條件，即堅定地忠誠于數(shù)學(xué)陳述規(guī)則（ｉｍｐｅｒａｔｉｖｅ）。

作出以下區(qū)分非常重要：一種是試圖對一套豐富的證據(jù)作出數(shù)學(xué)陳述；另一種是一個數(shù)學(xué)模型，包含著各種發(fā)明出來解釋某種舊有的現(xiàn)象或預(yù)測某種新現(xiàn)象的先驗的概念。開普勒（Ｋｅｐｌｅｒ）的方程式是用來描述關(guān)于火星軌道的廣泛的觀察成果的。相反，弦理論家的各種方程式包含在未曾觀察到的十維空間（ｔｅｎｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ）中振動的能量包（ｐａｃｋｅｔｓｏｆｅｎｅｒｇｙ）的觀念。如果某類現(xiàn)象既符合證據(jù)，又不需要設(shè)立太多違背已知事實的假設(shè)，以其內(nèi)在本質(zhì)而不是通過各種結(jié)果或后果來界定它的各種概念，這時，關(guān)于此類現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型更富有成效。比如，在牛頓描述一個下落的蘋果的方程式中，時間和距離的物理概念有固定的定義，該定義獨立于該落體的結(jié)局，也獨立于其他從同一株樹上落下的蘋果所需要的距離和時間。

這些要求看起來可能平淡無奇，但不幸的是在進(jìn)化生物學(xué)（ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙｂｉｏｌｏｇｙ）和經(jīng)濟(jì)學(xué)這兩個依賴形式模型的領(lǐng)域中，許多數(shù)學(xué)模型未能達(dá)到它們的要求。比如，一些進(jìn)化論的模型假定可以繁殖無窮大的種群，在某種動物的基因（稱為“異位顯性”［ｅｐｉｓｔａｓｉｓ］）中不存在彼此交互式的影響，這兩種假定都違背已知的事實。假設(shè)為某種動物的最佳行為策略制定一個進(jìn)化論的模型，它包含以下五個概念：為了“一種資源”（食物或棲息地［ｎｉｃｈｅ］）與某個競爭者競爭的“戰(zhàn)斗成本”，把它與“逃跑”相比較，該資源的“價值”以及為該動物的“內(nèi)含適應(yīng)性”（ｉｎｃｌｕｓｉｖｅｆｉｔｎｅｓｓ）制定的每個行為策略的種種含義。［３４］這任何一個概念都是從其功能上而不是從內(nèi)在本質(zhì)上來界定的。

一個觀察兩只鷹從遠(yuǎn)方接近同一個被掠食目標(biāo)的生物學(xué)家，在兩只鷹相遇前，不可能計算出與它們作出戰(zhàn)斗或逃離的決策相關(guān)的戰(zhàn)斗或退卻的適應(yīng)成本（ｃｏｓｔｔｏｆｉｔｎｅｓｓ），或每只鷹的適應(yīng)性的變化。此外，如果該資源是一個用于構(gòu)筑巢穴而不是用于獲取食物的棲息地，那么該方程式中價值、成本和適應(yīng)性的大小會發(fā)生變化。然而，令人驚訝的是，進(jìn)化論生物學(xué)家在其各種抽象的模型中忽視了這些細(xì)節(jié)，未能詳細(xì)說明所得到的或所失去的是不是食物，是不是接近交配對象的機會，是不是一個棲息處———這些都使各個方程式變得不明確，使人懷疑它們的普適性。

類似的問題也使人們懷疑許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家的模型的價值。雖然我將在第四章詳細(xì)考慮這個問題，但在這里舉一個例子有助于理解。在溫暖的６月的第一天，經(jīng)過一個寒冷的春天后，幾百萬工人將需要作出選擇：休假一天或盡自己的義務(wù)向某個雇主表示尊敬。在這種情況下，經(jīng)濟(jì)學(xué)家依賴于“優(yōu)選權(quán)”（狆狉犲犳犲狉犲狀犮犲）的概念。這些工人們必須在兩種不同的效用間作出選擇，而這兩種效用只有在每個工人完成所選擇的事情后才能衡量。經(jīng)濟(jì)學(xué)家首先需要找出這一天去上班和不去上班的工人的比例，然后根據(jù)這一事實為這種情況發(fā)明一個數(shù)學(xué)模型。

這種局限性使人想起２０世紀(jì)行為主義者所受到的挫折，他們也是依賴于“報酬”（狉犲狑犪狉犱）的概念，但沒有一種內(nèi)在定義使他們提前知道哪些現(xiàn)象擁有這種特殊的性質(zhì)。心理學(xué)家必須等待并看到動物奮力獲得的刺激物或處境（ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ）是什么，然后根據(jù)這一事實稱這些刺激物或處境為報酬。

請思考一下公認(rèn)的一張關(guān)于經(jīng)濟(jì)學(xué)家的模型的漫畫是怎樣的。在對一個１０００人進(jìn)行持續(xù)一年時間的實驗的例子中，研究者可以測量每一個人反對或迎合其妻子、雇主或好朋友要求的場合的比例。設(shè)想證據(jù)表明，一般那些更經(jīng)常地反對并較少滿足其妻子要求的男人的平均數(shù)，更多地滿足其雇主的要求但不向朋友表現(xiàn)出偏愛之意的人的平均數(shù)。草擬出一個總的模型，說明滿足需要的效用超過了反對的成本，或說明反對的效用相當(dāng)于他們選擇這種應(yīng)付三個情況的比例的平均數(shù)，都將是錯誤的。更準(zhǔn)確地講，優(yōu)先選擇一個而放棄另一個策略，是隨著特定社會背景的不同而變化的。在經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物學(xué)的模型中，沒有給特殊性（ｓｐｅｃｉｆｉｃｉｔｙ）留下一個適當(dāng)?shù)奈恢谩?nbsp;