撥換截田〔一十九問〕

今有半種金田一段，長五十步，斜闊一十步。與鄰對撥圭田一段。只云并圭田長、闊、較為正實，一十五為益方，一為正隅，平方開之，少如較四步，問圭田長、闊各幾何？

答曰：長二十五步，闊一十六步。

術曰：立天元一為半種金田之中股，如積求之。得二千四百為正實，一百為從方，五十為益隅，平方開之，得中股八步。又立天元一為較，如積求之。得四千一百七十六為正實，三千三百四十四為益方，六百三十五為從上廉，四十四為益下廉，一為正隅，三乘方開之，得較，合問。

今有四不等田一段，東長二十六步，西長二十五步，南闊一十四步，北闊一十七步。與鄰對換直田一段。只云并直田長、較為益實，五為從方，一為從隅，平方開之，所得不及平七步。問長、平各幾何？

答曰：長三十一步，平一十二步。

術曰：立天元一為四不等之元方面，如積求之。得四百八十為正實，二十八為從方，二為益隅，平方開之，得二十四步。又立天元一為平，如積求之。得七百四十四為益實，一十四為從方，八為益廉，一為正隅，立方開之，得平，合問。

今有圭田一段不云圭闊，只云長五十步，直銀五十四兩。今從尖截闊一十二步，直銀六兩。問截長及圭闊各幾何？

答曰：截長一十六步太半步，闊三十六步。

術曰：立天元一為截長，如積求之。得二千五百為正實，九為益隅，平方開之得截長。不盡，按之分術求之，合問。

今有梯田一段，小闊一十二步，大闊二十步，直錢三十二貫文。今從大頭截長四步，直錢九貫五百文。問截闊及元長各幾何？

答曰：截闊一十八步，元長一十六步。

術曰：立天元一為截闊，如積求之。得三百二十四為正實，一為益隅，平方開之得截闊，合問。

今有梯田一段，小闊二十五步，大闊六十五步，正長一百六十步今從小闊截撥七畝一百一十二步，問截長、闊各幾何？

答曰：截長五十六步，闊三十九步。

術曰：立天元一為截長，如積求之。得一萬四千三百三十六為益實，二百為從方，一為從隅，平方開之，得截長，合問。

今有梯田一段，大闊四十二步，小闊一十八步，正長一百二十步。今從大闊截地十畝一百八十七步二分步之一，問截長、闊各幾何？

答曰：截長七十五步，截闊二十七步。

術曰：立天元一為截長，如積求之。得二萬五千八百七十五為益實，四百二十為從方，一為益隅，平方開之，得截長，合問。

今有圭田一段，長一百三十六步，闊六十八步。今從尖截地二畝四分，問截長、闊各幾何？

答曰：截長四十八步，截闊二十四步。

術曰：立天元一為截長，如積求之。得二千三百四為益實，一為正隅，平方開之，得截長，合問。

今有圭田一段，長一百二十步，闊四十八步。今欲從闊截賣七畝七十五步，問截長、闊各幾何？

答曰：截長四十五步，截闊三十步。

術曰：立天元一為截長，如積求之。得一千七百五十五為益實，四十八為從方，二分為益隅，平方開之，得截長，合問。

今有圭田一段，長一百七十四步，闊一百一十六步。今從東豎截句股積三百三十七步半，問截句、股各幾何？

答曰：截句十五步，截股四十五步。

術曰：立天元一為截句，如積求之。得二百二十五為益實，一為正隅，平方開之，得截句，合問。

今有句股田一段，股長八十六步，句闊二十五步八分。今從尖截賣地一百五十三步六分，問截長、闊各幾何？

答曰：截長三十二步，闊九步六分。

術曰：立天元一為截長，如積求之。得一千二十四為益實，一為正隅，平方開之，得截長，合問。

今有句股田一段，句闊五十七步，股長九十五步。今從句橫截地八畝三十七步半，問截長、闊各幾何？

答曰：截長四十五步，截闊三十步。

術曰：立天元一為截長，如積求之。得六千五百二十五為正實，一百九十為益方，一為正隅，平方開之，得截長，合問。

今有句股田一段，句闊六十步，股長一百五十步。令甲、乙、丙三人分之，甲截積二千九十步，乙截積一千八百五步，丙截積六百五步。從南橫截一句股與乙，從東豎截一句股與丙，外剩直田一段與甲。問三人各截長、闊各幾何？

答曰：甲截長五十五步，截闊三十八步；乙截股九十五步，截句三十八步；丙截股五十五步，截句二十二步。

術曰：立天元一為乙截句，如積求之。得一千四百四十四為益實，一為正隅，平方開之，得乙截句〔即甲截闊〕。又立天元一為丙截股，如積求之。得六百五為益實，二分為從隅，平方開之得丙截股〔即甲截長〕，合問。

今有梯田一段，正長二百一十步，小闊五十步，大闊九十二步。令甲、乙、丙、丁分之。甲截積六千三百五十二步二分步之一，乙截積五千三十七步二分步之一，丙截積二千一百六十二步二分步之一，丁截積一千三百五十七步二分步之一。從上先截給甲，次與乙、丙、丁，問各截長、闊幾何？

答曰：甲截長一百五步，截闊七十一步；乙截長六十五步，截闊八十四步；丙截長二十五步，截闊八十九步；丁截長一十五步，截闊九十二步。

術曰：立天元一為甲截長，如積求之。得六萬三千五百二十五為益實，五百為從方，一為從隅，平方開之，得甲截長。又立天元一為乙截長，如積求之。得一萬七十五為益實，一百四十二為從方，二分為從隅，平方開之，得乙截長。又立天元一為丙截長，如積求之。得四千三百二十五為益實，一百六十八為從方，二分為從隅，平方開之，得丙截長。又立天元一為丁截長，如積求之。得二千七百一十五為益實，一百七十八為從方，二分為從隅，平方開之，得丁截長，合問。

今有弧田一段，弦長七十步，矢闊二十五步。今從弧背復截弧矢積二十六步，問截弦、矢各幾何？

答曰：截弦二十四步，截矢二步。

術曰：先求得圓徑七十四步。立天元一為截矢，如積求之。得二千七百四為益實，一百四為從上廉，二百九十六為從下廉，五為益隅，三乘方開之，得截矢二步。自之，以減倍積，余以矢除之，即弦，合問。

今有圓田一段，周二百六十七步。今從邊截一弧，計積一千三百一十二步中半步，問截弦、矢各幾何？

答曰：截矢二十五步，截弦八十步。

術曰：立天元一為截矢，如積求之。得六百八十九萬六百二十五為正實，五千二百五十為益上廉，三百五十六為益下廉，五為正隅，三乘方開之，得截矢，合問。

今有圓田一段，徑九十步。甲、乙共截一弧，其甲從邊復截一弧，以次給乙。甲截積二百八十三步二分步之一，乙截積五百二十六步二分步之一。問甲、乙各截弦、矢幾何？

答曰：甲截矢九步，截弦五十四步；乙截矢九步，截弦七十二步。

術曰：立天元一為甲截矢，如積求之。得三十二萬一千四百八十九為正實，一千一百三十四為益上廉，三百六十為益下廉，五為正隅，三乘方開之，得甲截矢九步。列甲積，通分內(nèi)子，內(nèi)減矢冪。余以矢除之，即甲截弦。又立天元一為共截矢，如積求之。得二百六十二萬四千四百為益實，三千二百四十為從上廉，三百六十為從二廉，五為益隅，三乘方開之，得共截矢一十八步。內(nèi)減甲截矢，余即乙截矢。又共矢自之，以減甲、乙并積通分內(nèi)子之數(shù)，余以共矢而一，即乙截弦，合問。

今有圓田一段，甲東截一弧，計積三十一步中半步。乙西截一弧，計積九十步。只云甲截矢少如乙截矢三步，問二弧各截弦、矢幾何？

答曰：甲截矢三步，截弦一十八步；乙截矢六步，截弦二十四步。

術曰：立天元一為甲截矢，如積求之。得三萬五千七百二十一為正實，三萬五千七百二十一為從方，一萬七百七十三為從上廉，九千六百六十六為益二廉，二百七為從三廉，三十三為從下廉，五為益隅，五乘方開之，得甲截矢。又立天元一為乙截矢，如積求之。得六十為益實，一十六為從方，一為益隅，平方開之，得乙截矢，合問。

今有大、小圓田各一段，共地六畝六十四分畝之六十一。只云小圓徑如大圓徑八分之五。今于二圓從邊各截一弧，共積二百二十二步半，其小弧矢不及大弧矢三步。問二弧矢各幾何？

答曰：截大弧矢八步，弦三十二步；截小弧矢五步，弦二十步。

術曰：立天元一為大圓徑，如積求之。得一千六百為益實，一為從隅，平方開之，得大圓徑四十步。五之，八而一，即小圓徑。又立天元一為截小矢，如積求之。得四億三千二百九十一萬五千一百二十五為正實，四千二百四十三萬八百為益方，一千二百六十萬一千四百五十為益上廉，二十二萬六千一百五十四為益二廉，一十八萬七千五百一十一為從三廉，五千七百二為從四廉，七百五十三為益五廉，一十四為益下廉，一為正隅，七乘方開之，得截小矢五步。倍之，以減小圓徑，余自之，以減小圓徑冪，余為實，開平方，即小弧弦，合問。

今有圓田一段，內(nèi)復有圓池占之〔二圓皆依古法〕，余地八畝強半畝。只云環(huán)之實徑自乘，多于通徑二十步。今欲從西豎截車輞積五百三十八步，問截池弦、池矢及內(nèi)、外周，兩頭博徑各幾何？

答曰：截池矢六步，池弦三十六步；內(nèi)周三十七步二分，外周七十步四分；博徑一十四步，實徑一十步。

術曰：立天元一為環(huán)之實徑，如積求之。得七百為益實，二十為益方，一為益廉，一為從隅，立方開之，得實徑。求得通徑八十步，池徑六十步。又二之輞積，如實徑而一，得一百七步六分，為車輞內(nèi)外周相和之數(shù)。

又立天元一為截池矢，如積求之。得一兆四千九十九萬七千九百一十七億五千五百五十九萬一千九百三十六為正實，二千五百五十八萬三千億三千九百八十三萬八千七百二十為益方，一十八萬七千八百二十九億八千四百六十三萬一十六為從上廉，二萬七千六百五十四億五千三百九十萬九千七百六十為從二廉，一百二十四億五千一百八十六萬八千六十四為益三廉，九億二千二百七十四萬三千三百六十為益四廉，四百九十五萬五千六百六十四為益五廉，八萬二千三百二十為從下廉，二千四百一為從隅，七乘方開之，得截池矢六步。倍之，以減池徑，余自乘，復減池徑冪，余為實，平方開之，得截池弦。又池矢自乘，倍之，以池徑除之，得數(shù)為池周弦差，加池弦，得輞內(nèi)周。以減內(nèi)、外周相和之數(shù)，余即外周。又池矢加實徑為通矢，自乘，倍之，以通徑除之，所得為輞外周弦差。以減外周，余即通弦。內(nèi)減池弦，余半之，即博徑，合問。

〔圖略〕